重庆一中高一上数学试卷
2022-2023学年重庆市第一中学数学高一上期末调研试题含解析
当 时， ，则 在 上单调递减，所以 在 上单调递减
因为 ，且
所以
故
故选：A.
11、A
【解析】因为{0}是含有一个元素的集合，所以{0}≠ ，故B不正确；
元素与集合间不能划等号，故C不正确；
显然相等，故D不正确.
故选：A
12、D
【解析】 为奇函数，去掉A,B；当 时 ,所以选D.
【详解】解： 函数 是连续增函数，
， ，即 ，
函数 的零点所在区间是 ，
故选：
【点睛】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号，属于基础题
6、C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
20．已知集合 ，
（1）分别求 ， ；
（2）已知 ，若 ，求实数 的取值集合
21．已知函数 的图象过点 与点 .
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，且 ，满足条件的 的值.
22．已知集合 .
（1）当 时.求 ;
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
从而得 ，解得 ，即 ，解得 ，
所以满足条件的 .
22、（1） 或 .
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求 即可.
（2）由充分条件知 ，则有 ，进而求 的取值范围.
【小问1详解】
，
当 时， ， 或 ，
∴ 或 ；
【小问2详解】
由 是 的充分条件，知： ，
∴ ，解得 ，
重庆市一中高一上学期期中考试(数学).doc
重庆市一中高一上学期期中考试（数学）说明：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，共50分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共100分。
全卷满分为150分，答题时间为1。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是正确的，请把正确答案涂在机读卡相应的位置上。
1．下列集合中是有限集的是（ ）（A ）N （B ）R （C ）()*N N ð （D ）Q2．函数011x y -+=的定义域为（ ）（A ）[)0+∞， （B ）[)01， （C ）[)()011+∞，，（D ）()1+∞， 3．下列函数中是偶函数的是（ ） （A ）441y x x =+（B ）1y x x =+ （C ）()2211y x x x=+≠ （D ）223y x x =++ 4．函数()()211f x x x =-<-的反函数是（ ）（A ）())11f x x -=≥- （B ）())11f x x -=≥-（C ）())10f x x -=> （D ）())10f x x -=>5．函数221y x x =-+的图象可由函数2y x =的图象（ ）单位得到（A ）向左平移1个 （B ）向右平移1个 （C ）向上平移1个 （D ）向下平移1个6．函数()f x =）（A ）(]1-∞-， （B ）(],1-∞ （C ）[)1,+∞ （D ）()3+∞， 7．若不等式2240kx kx -+>对x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） （A ）()0,4 （B ）()(),04,-∞+∞ （C ）[]0,4 （D ）[)0,48．设函数()f x 对任意,x y 满足()()()f x y f x f y +=+，且()24f =，则()1f -=（ ） （A ）-2 （B ）12±（C ）1± （D ）2 9．已知,x y R ∈，条件t ：“12x ≤或16y ≤”和条件b ：“28x y +≤或192xy ≤”，那么条件t 是条件b 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件10．定义在R 上的函数()y f x =满足下列两个条件：⑴对于任意的1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <；⑵()2y f x =+的图象关于y 轴对称。
重庆市重庆市第一中学校2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析
该圆的半径为 ，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
【解析】首先化简集合B，然后根据集合 、 分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案
【详解】解：因
所以
又因为 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
当 且 且 时 ，所以 ，
18、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为 ，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出 ， .
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数 （ 且 ）的图象必经过点___________.
12．已知A，B，C为 的内角.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）设 ，且 ， ， ，求证：
13．棱长为2个单位长度的正方体 中，以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴，则 与 的交点 的坐标为__________
（2）先证明 ，
再由不等式 证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，
，
，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 .
【小问2详解】
重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)
秘密★启用前2022~2023学年重庆一中上期学情调研高一数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过两点()1,2-和()2,1-的直线的倾斜角为（ ） A ．πB ．π2C ．π3D ．π42．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8％，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（ ） A ．91.08B ．101.08C ．()101.081 1.081 1.08--D ．101 1.081 1.08--3．求过两点()()0,4,4,6A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程是（ ） A ．22(1(4)25)y x +++= B ．22(4)(1)25x y ++-= C ．22(4)(1)25x y -++=D ．22(4)(1)25x y -+-=4．已知log a b c == ） A ．b<c<aB ．b a c <<C ．c<a<bD ．a b c <<5．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是0e t λμμ-=，其中0,μλ是正常数．经检测，当2t =时，00.9=u μ，则当稳定性系数降为00.5μ时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈) A ．10年B ．11年C ．12年D ．13年7．已知(1)25f x x -=-，则(1)f =（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．38．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为0.6lg I γ=.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（ ） A ．2B ．10C ．100D ．10000二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列函数中，在区间()0,∞+内单调递增的是（ ） A ．1y x x=- B ．2y x x =- C ．ln y x x =+D ．e x y =10．已知函数2()cos cos 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f xB ．()f x 的图象关于点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 图象的对称轴方程为5()122k x k ππ=+∈Z D ．()f x 在[0,2]π上有4个零点11．对于方程2214x y m m+=-，下列说法中正确的是（ ）A ．当04m <<时，方程表示椭圆B ．当24m <<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆C ．存在实数m ，使该方程表示双曲线D ．存在实数m ，使该方程表示圆 12．设函数11()(1)ln (0)f x x x m m mx=+-+≠，则下列结论正确的是（ ） A ．当0m <时，min ()1f x <- B ．当0m <时，()f x 有两个极值点 C ．当01m <<时，()f x 在(1,)+∞上不单调D ．当1m >时，存在唯一实数m 使得函数()()2g x f x =+恰有两个零点 三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．设函数()2log ,>0=4,0x x x f x x ⎧⎨⎩…，则()()1f f -=___________.14．设m 为实数，若函数2()2=-+-f x x mx m 是偶函数，则m 的值是_______．15．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt .若常数k ＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)16．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y （单位：mm ）与时间（单位：mm ）的函数关系可近似表示为y 则在40min t =时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min. 四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知集合{}12|M x x =<<，集合{}|34=<<N x x ． (1)求R R ,N M N ⋂痧；(2)设{}|2=<<+A x a x a ，若R R A N ⋃=ð，求实数a 的取值范围． 18．（1）已知1sin cos 5αα+=，若α是第二象限角，求sin cos αα-的值；（2）计算：2log 5112-⎛⎫⎪⎝⎭．19．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3n n n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点(2,1)P 在抛物线C 上. (1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为(2,3)M ，求直线l 的方程及||AB . 21．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b >>，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 22．若不等式2(1)460a x x --+>的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a +-->；(2)b为何值时，230++≥的解集为R．ax bx参考答案1．D 斜率()1211211k --===----，又倾斜角[)0,πα∈，tan 1α=，π4α=．故选：D ． 2．C因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8％，所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为1.08，公比为1.08的等比数列， 所以该厂这十年的总产值为()101.081 1.081 1.08--故选：C 3．D设圆心坐标为C （2b +2，b ），由圆过两点A （0，4），B （4，6），可得|AC |=|BC |， 即()()()()222222042246b b b b =+-+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得1b =，可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为22(4)(1)25x y -+-=． 故选：D ． 4．A在同一直角坐标系中画出22,,log xy y x y x ===的图象如下：所以2l og >>故选：A ． 5．C分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2. 6．D由()220000.9e e t λμμμ--==，得e λ-=令()000.5e tλμμ-=，得0.5t =， 两边取常用对数，得lg 0.5lg 0.92t=，所以2lg 21312lg3t =≈-． 故选:D. 7．B设1t x =-，则1x t =+，∴()2(1)523f t t t =+-=-， ∴(1)2131f =⨯-=-． 故选：B ． 8．C设乙市地震所散发出来的能量为1I ，甲市地震所散发出来的能量为2I ， 则23.10.6lg I =，14.30.6lg I =，两式作差得121.20.6lg I I =， 故12lg2I I =，则21210100II ==. 故选：C. 9．CD对于A ：因为1,==-y y x x在()0,∞+单调递减，所以1y x x=-在()0,∞+内单调递减，故A 错误． 对于B ：2y x x =-的对称轴为12x =，开口向上，∴在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 错误．对于C ：因为ln ,x y x y ==在()0,∞+单调递增， 所以ln y x x =+在区间()0,∞+内单调递增，故C 正确． 对于D ：因为e x y =在定义域R 上单调递增，所以e x y =在区间()0,∞+内单调递增，故D 正确． 故选：CD ． 10．ACD1cos 23()cos 22x f x xπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-111cos 22cos 2222x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭3112cos 224232x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()f xA 正确；易知()f x 图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误； 令2(Z)32x k k πππ-=+∈，得5(Z)122k x k ππ=+∈， 此即()f x 图象的对称轴方程，C 正确；由1()2032f x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭当[0,2]x πÎ时，112,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，作出函数11sin ,33y x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，如图所示：所以方程sin 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[0,2]π上有4个不同的实根，即()f x 在[0,2]π上有4个零点，D 正确. 故选：ACD. 11．BCD方程2214x ym m +=-，当0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即24m <<或02m <<时表示椭圆，故A 不正确；当24m <<时，40m m >->，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确； 当()40m m -<，即4m >或0m <时，方程表示双曲线，故C 正确； 当4m m =-，即2m =时，方程为222x y +=，表示圆，故D 正确. 故选: BCD 12．CD()()111ln 0f x x x m m mx ⎛⎫=+-+≠ ⎪⎝⎭的定义域为()0,∞+()()()22111111mx x m f x x mx mx +--+'=--=， ①当0m <时，易得()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为()()max 1111f x f m==-<-，()f x 没有最小值，故A 错误，B 错误；②当01m <<时，易得()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；③当1m >时，易得()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()1111f m=->-，x →+∞，()f x →-∞， 所以()()2g x f x =+恰有两个零点()2f x ⇔=-恰有两个解12f m ⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭，即()31ln 10m m m -+-=，令()()()31ln 11h m m m m m =-+->，则()12ln h m m m'=--， 设()()()12ln 1g m h m m m m '==-->，则()210mg m m-'=<，()h m '单调递减. 由()110h '=>且m →+∞，()h m '→-∞知，存在()01,m ∈+∞使得()00.h m '= 易得()h m 在()01,m 上单调递增，在()0,m ∞+上单调递减，由()120h =>且()()333331140h e e e =-+-=-<，知存在唯一的()310,e m m ∈使得()10h m =，故D 正确. 故选：CD13．2-()1114,4f --== ()()2111log 244f f f ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭,故答案为：2- 14．0因为函数2()2=-+-f x x mx m 是偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()2222x m x m x mx m ---+-=-+-，得20mx =，所以0m =， 故答案为：0. 15．22解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， ∴50＝30＋(90－30)e －0.05t ， ∴e －0.05t ＝13， ∴－0.05t ＝ln 13，∴0.05t ＝ln 3， ∴t ＝ln 30.05＝20×ln 3≈22. 故答案为：22 16．14解：因为()y f t ==()f t '⎫'=⎪⎭∴1(40)4f ='=． 故在40min t =时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为14mm/min. 故答案为：1417．(1){R 3N x x ≤ð，或}4x ≥，{}R 12M N x x ⋂=<<ð (2)[]2,318．（1）因为2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=， 所以242sin cos 25αα=-， 所以()2222449sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 12525αααααααα-=+-=-=+=， 所以7sin cos 5αα-=±．又因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-=． （2）2log 5112-⎛⎫ ⎪⎝⎭221log 5log 522225-===． 19．（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-， 则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=， 依题意，24n nb a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n nn n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n nn S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143nn n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.20．(1)F 的坐标为(0,1)，准线方程为1y =- (2)1y x =+，||8AB =（1）点(2,1)P 在抛物线2:2C x py =上，42p ∴=，2p ∴=， F ∴的坐标为(0,1)，抛物线C 的准线方程为1y =-.（2）由题可知，直线l 经过(0,1)F 与(2,3)M ，l ∴的斜率31120k -==-，∴直线l 的方程为1y x =+， 设A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则由抛物线的定义可知12||2AB y y =++，又AB 的中点为(2,3)M ，12326y y ∴+=⨯=，||628.AB ∴=+=21．（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算 . （1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m m m m +=+， 乙两次购买这种物品平均价格为，224564n n n =+. （2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a b m m ++=+， 乙两次购买这种物品平均价格为22n ab n n a b a b =++，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ++-+---===≥++++， 所以乙的购物比较经济合算.22．(1){1x x <-或}32x >(2)[]6,6-（1）由题意得3-和1是方程2(1)460a x x --+=的两个根，则有43116311a a ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩，解得3a =， 所以不等式22(2)0x a x a +-->化为2230x x -->，(1)(23)0x x +->， 解得1x <-或32x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}32x >（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤，所以b 的取值范围为[]6,6-。
重庆市第一中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷
重庆市第一中学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________7．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为8310´米每秒，1阿秒等于1810-秒．现有一条50厘米的线段，第一次截去总长的一半，以后每次截去剩余长度的一半，需要截（ ）次才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：lg50.70,lg 30.48»»）A ．30B ．31C ．32D ．338．已知函数(2)f x +是偶函数，(2)(4)(2)f x f f x -+=+，()f x 在(0,2]上的解析式为(),()lg |(2)|f x x g x x ==-，则()f x 与()g x 的图象交点个数为（ ）A ．104B ．100C ．52D ．50．(1)在坐标系中画出函数()f x的图象，并求(2)若2a=，求214513xm mx x xx m x--+++的最小值．22．已知奇函数()f x和偶函数()g x满足：【分析】由题意可得()f x 是以4为周期的周期函数，且()f x 与()g x 的图象都关于2x =对称，由()2g x =，求得102x =或98x =-，从而可得两函数图象在[98,102]-上有交点，再结合图象和周期可求得结果.【详解】因为函数(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 的图象关于2x =对称，令2x =，则(0)(4)(4)f f f +=，得(0)0f =，所以(4)(0)0f f ==，所以(2)(2)f x f x -=+，所以()(4)f x f x =+，所以()f x 是以4为周期的周期函数，因为()f x 在(0,2]上的解析式为()f x x =，()f x 的图象关于2x =对称，所以()f x 的图象如图所示，()lg |(2)|g x x =-的图象关于2x =对称，()f x 的值域为[0,2]，当2x >时，()lg(2)g x x =-，令()lg(2)2g x x =-=，得102x =，当2x <时，()lg(2)g x x =-，令()lg(2)2g x x =-=，得98x =-，因为102(98)200450--==´，由图象可知两函数图象在每个周期内有2个交点，所以()f x 与()g x 的图象交点个数为502100´=个，所以，()f x 的值域包含于[1],4-.故D 项正确.故选：BCD.12．ACD【分析】利用赋值法求出(1)f ，可判断选项A ；根据函数单调性的定义可判断选项B ；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C ；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D.【详解】对于选项A ：Q 定义在区间[4,6]-上的函数()f x 满足：对任意,R m n Î均有(1)()()f m n f n f m -++=\令0m n ==，可得(1)(0)(0)f f f +=，解得(1)0f =，故选项A 正确；对于选项B ：由(1)()()f m n f n f m -++=可得()()(1)f m f n f m n -=-+任取1x 、[]24,6x Î-，且12x x >，则()()()12121f x f x f x x -=-+.由于当1x >时，()0f x >，12x x >，所以()()()121210f x f x f x x -=-+>，即()()12f x f x >，故()f x 在定义域上单调递增，故选项B 错误；对于选项C ：令1m =，由(1)()()f m n f n f m -++=可得(2)()(1)f n f n f -+=，即(2)()0f n f n -+=，所以(2)()0f x f x -+=，即函数()f x 关于点()1,0对称.而(1)f x +的图象可由()f x 图象向左平移1个单位得到，所以函数(1)f x +关于点()0,0对称，则(1)f x +是奇函数，故选项C 正确；对于选项D ：因为(2)1f =，所以()2()(2)(2)(2)f x f x f f f x +=++=+，则不等式(2)()2f x f x >+等价于(2)(2)f x f x >+故答案为：115．8.7【分析】分段求出03x £<时的函数值，然后根据“面积”的定义得出S ，根据对数的运算化简，结合已知数值，即可得出答案.【详解】因为03x £<，所以128x £<.当122x £<，即01x £<时，()1f x =；当223x £<，即21log 3x £<时，()2f x =；当324x £<，即2log 32x £<时，()3f x =；当425x £<，即22log 5x £<时，()4f x =；当526x £<，即22log 5log 6x £<时，()5f x =；当627x £<，即22log 6log 7x £<时，()6f x =；当728x £<，即2log 73x £<时，()7f x =.根据“面积”的定义可知，函数()2x f x éù=ëû在[0,3)上的“面积”之和()()()22212log 3132log 34log 52S =+-+-+-()()()222225log 6log 56log 7log 673log 7+-+-+-2222log 3log 5log 6log 7126821=----+-+-+()2log 356718=-´´´+9.322log 63018log 218=-+»-+9.3188.7=-+=.故答案为：8.7.16．4。
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷(附答案解析)
2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.将函数y=√3sin2x+cos2x的图象向右平移π6个单位，所得函数图象的一个对称中心是()A. (0,0)B. (2π3,0) C. x=1 D. (π12,0)3.方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，则()A. α>βB. α=βC. α<βD. α，β的大小关系无法确定4.已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=()A. 2B. −2C. 0D. 235.已知函数f(x)=2x−2−x2,g(x)=2x+2−x2，下列结论错误的是()A. 函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称B. 在同一坐标系中，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C. 函数g(x)的值域是[1,+∞)D. g(2x)=2f(x)g(x)在(−∞,+∞)恒成立6.已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0，f(π)>0，则要得f(x)的图象，只需将函数y=sin2x图象()A. 向右平移π3单位 B. 向右平移π6单位C. 向左平移π3单位 D. 向左平移π6单位7.若函数f(x)=log a(8−ax)满足：对任意x1，x2∈(0,2](x1≠x2)，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (1,4)C. (1,4]D. (4,+∞)8.若函数f(x)= x 2−3 x −4的定义域为[−2,m]，值域为[，6]，则m 的取值范围( )A. [，5]B. (，5]C. [−2,5]D. [，+∞)9.用五点作图法作y =2sin4x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A. 0，π2，π，3π2，2π B. 0，π4，π2，3π4，π C. 0，π8，π4，3π8，π2D. 0，π6，π3，3π2，23π10. 给出以下命题：(1)∃x ∈R ，x 2≤0；(2)∀a ∈R ，方程x 2−ax −1=0有实根；(3)若F 1(−3,0)，F 2(3,0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0且a 为常数)，则P 的轨迹为椭圆；其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间[0,+∞)上单调递增，且f(13)=0，则不等式f(log 18x)>0的解集为( )A. (12,2)B. (2,+∞)C. (0,12)∪(2,+∞)D. (12,1)∪(2,+∞)12. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+x +1；那么y =f(x)在x <0上的解析式为 ．14. 若函数f(x)=lg 1+mx1−2x 是奇函数，则实数m 的值为______ ． 15. 已知函数的部分图象如下图所示，则该函数的解析式f (x )=_________16. 行列式∣∣∣sinx4cosx 35∣∣∣的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=√2cos(x −π12)，x ∈R ． (1)求f(π3)的值；(2)若cosθ=35，θ∈(0,π2)，求f(2θ−π6).18. 如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD =6，BD =3，DC =2． (Ⅰ)若∠ADB =π2，求∠BAC 的大小； (Ⅱ)若∠ADB =2π3，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=2x −a2x +a (a >0)在其定义域上为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并给出证明．(3)求f(x)在(−∞,1]上的最大值．20.某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．(1)根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶.要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入12x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t(万瓶)的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．21.设函数f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx+a(其中ω>0，a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)如果f(x)在区间[−π3,5π6]上的最小值为√3，求a的值．22.已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查Venn图表达集合的关系及运算，由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，即可得到结论．解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，∴B∩(∁U A)={−1,2}．故选A．2.答案：D解析：解：∵y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，把它的图象向右平移π6个单位，可得函数y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)图象，令2x−π6=kπ，k∈z，可得x=kπ2+π12，k∈z，故所得函数的图象的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈z，结合所给的选项，故选：D．由条件利用两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，∴log2x=6−x，log3x=6−x，log2α=6−α，log3β=6−β，令f(x)=log2x，g(x)=log3x，ℎ(x)=6−x，画出图形：∴α<β， 故选C ．已知方程x +log 2x =6的根为α，方程x +log 3x =6的根为β，可以令f(x)=log 2x ，g(x)=log 3x ，ℎ(x)=6−x ，利用数形结合法进行求解；此题考查函数的零点，此题我用了比较简单的方法：数形结合法，很容易就解出来了，此题是一道好题；4.答案：B解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果． 解：sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ−(−cosθ)cosθ−sinθ=2cosθcosθ−sinθ=21−tanθ=21−2=−2．故选：B ．5.答案：D解析：解：对于A ，∵f(−x)=2−x −2x2=−2x −2−x2=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，同理，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，∴A 正确； 对于B ，∵f(x)−g(x)=2x −2−x2−2x +2−x2=−2−x <0∴f(x)的图象在g(x)的图象下方，B正确；对于C，∵g(x)=2x+2−x2≥2√2x⋅2−x2=1，当且仅当x=0时取“=”，∴g(x)的值域是[1,+∞)，C正确；对于D，∵g(2x)=22x+2−2x2，2f(x)g(x)=2⋅2x−2−x2⋅2x+2−x2=22x−2−2x2，∴只有当x=0时，g(2x)=2f(x)g(x)，D错误．故选：D．A中，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，g(x)是偶函数，图象关于y轴对称；B中，f(x)−g(x)<0，得出f(x)的图象在g(x)的图象下方；C中，利用基本不等式得出g(x)≥1；D中，判断g(2x)=2f(x)g(x)只有在x=0时成立．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：∵已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0=sin(5π3+θ)，f(π)=sinθ>0，∴可取θ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，故将函数y=sin2x图象向左平移π6单位，可得f(x)的图象，故选：D．由题意先求得θ，可得f(x)得解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，考查计算能力，属于中档题．根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数f(x)在(0,2]单调递减，f(x)=log a(8−ax)转化为y=log a t，t=8−ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．解：由(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即(x1−x2)和[f(x1)−f(x2)]异号，则f(x1)−f(x2)x1−x2<0，∴根据函数单调性的定义，则f(x)在(0,2]单调递减，当0<a<1时，则函y=log a t，在(0,2]是减函数，由题设知t=8−ax为增函数，则需a<0，故此时无解；若a>1，则y=log a t，在(0,2]是增函数，则t为减函数，则需a>0且8−a×2>0，解得1<a<4，综上可得实数a的取值范围是(1,4)．故实数a的取值范围(1,4)．故选B．8.答案：A解析：本题考查的是函数的定义域和值域中含参数的问题。
重庆一中高一上学期期中数学试卷(含解析)
重庆一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=27．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．48．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]9．（5分）已知函数y=lg的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈的值域为．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（13分）计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤）（1）；（2）3．17．（13分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|2x2+（2k+5）x+5k＜0}；（1）若k=﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B=R，求实数k的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣，x∈（0，+∞），且f（2）=．（1）用定义证明函数f（x）在其定义域上为增函数；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（3x﹣2﹣1）＜f（9ax﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x+c，（a，c∈N*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．（1）求函数f（x）的解析表达式；（2）若对任意x∈，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．重庆一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分．每题只有一个正确答案）1．（5分）以下表示正确的是（）A．∅=0 B．∅={0} C．∅∈{0} D．∅⊆{0}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题考察集合与集合，集合与元素间的关系，要注意空集∅，然后注意判断．解答：解：A，空集∅只能等于集合，等于0，不正确，B，{0}中有一个元素0，不等于∅，不正确，C，{0}中没有元素∅，不能使用∈符号表示其关系，不正确，D，∅是任意集合的子集，D正确，故选：D．点评：∅是集合，但不含有任何元素，它是任意集合的子集．2．（5分）函数f（x）=﹣ln（2﹣x）的定义域为（）A．C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．4．（5分）已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．解答：解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查函数值的大小比较，基本知识的考查．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x n，代入点（4，2），解出n，再判断单调增区间．解答：解：设幂函数f（x）=x n，则4n=2，解得，n=，即有f（x）=，则有x≥0，则增区间为（0，+∞）．故选C．点评：本题考查幂函数的解析式和单调区间，注意运用待定系数法，属于基础题．6．（5分）x＞1的充分不必要条件是（）A．x＞0 B．x≥1 C．x=0 D．x=2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件的定义判断．解答：解：根据充分必要条件的定义可判断：x=2，是x＞1的充分不必要条件，故选：D点评：本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题．7．（5分）已知f（+1）=x+2，且f（a）=3，则实数a的值是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．4考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：设，则x=（t﹣1）2，t≥1，从而f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，由此能求出a．解答：解：∵f（+1）=x+2，且f（a）=3，设，则x=（t﹣1）2，t≥1，∴f（t）=（t﹣1）2+2t﹣2=t2﹣1，∴a2﹣1=3，解得a=2或a=﹣2（舍）．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（﹣5，4]B．（﹣5，3）C．（﹣1，4）D．（﹣1，3]考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先画出函数的图象，得到x2+x3的值，求出x1的取值范围，从而得到答案．解答：解：画出函数f（x）的图象，如图示：，不妨设则x1＜x2＜x3，则x2+x3=4，﹣5＜x1≤﹣1，∴﹣1＜x1+x2+x3≤3，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了函数的对称性，是一道中档题．9．（5分）已知函数y=lg的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪的值域为R，∴当a2﹣1=0时，a=1或a=﹣1，验证a=1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了对数函数的应用问题，解题时应根据理解数函数的解析式以及定义域和值域是什么，属于基础题．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f=xf（x）+1，则方程f（x）=0的实根个数为（）A．0B．1C．2D．4考点：根的存在性及根的个数判断．分析：设设函数的零点为x0，则f（x0）=0，赋值思想：x=0，代入f=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f=xf（x）+1可得：f=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾，判断无零点．解答：解：∵f=xf（x）+1，∴设函数的零点为x0，则f（x0）=0，∴f=x0f（x0）+1，f（0）=x0×0+1=1，把x=0代入f=xf（x）+1可得f（1）=1，x=1，代入f=xf（x）+1可得：f=1×f（1）+1，即f（1）=1×1+1=2，与f（1）=1，矛盾．∴函数f（x）无零点，方程f（x）=0的实根个数为0故选：A点评：本题考查了抽象函数的零点的求解判断，赋值思想，反正法，属于难题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=x2+1，x∈的值域为．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数y=x2+1，x∈在上递减，在上递增，计算即可得到最值和值域．解答：解：函数y=x2+1，x∈在上递减，在上递增，则x=0取最小为1，x=﹣1时，y=2，x=2时，y=5．则最大为5．则值域为：．故答案为：．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，运用单调性解题，属于基础题和易错题．12．（5分）已知函数f（x）=+a为奇函数，则常数a=．考点：有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：运用函数的性质得出f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，代入即可求解．解答：解：∵函数f（x）=+a为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0，+a=0，a=，故答案为：．点评：本题考查了函数的定义、性质，属于容易题．13．（5分）函数y=log2（4x﹣x2）的递增区间是（0，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点；二次函数的性质．专题：计算题．分析：由﹣x2+4x＞0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（﹣x2+4x）的单调增区间，只要求t=﹣x2+4x在0＜t≤4的单调增区间．解答：解：由﹣x2+4x＞0，得0＜x＜4，（2分）即定义域为x∈（0，4）．设t=﹣x2+4x（0＜t≤4），则当x∈（0，2]时，t为增函数；（8分）又y=log2t（0＜t≤4）也为增函数，（9分）故函数的单调递增区间为（0，2]．（10分）故答案为：（0，2]．点评：本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．14．（5分）一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为，对于a，b，c有以下几个结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a+b+c＞0，⑤a﹣b+c＞0．其中正确结论的序号是（2），（3），（4）．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：由题意知：x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，由韦达定理可得到系数a，b，c之间的关系．结合函数的图象可以解决．解答：解：由题意，x=，x=2是方程ax2+bx+c=0的两根，且开口向下，利用函数的图象可知，f（1）＞0，f（﹣1）＜0，又对称轴为，∴b＞0，故答案为：（2），（3），（4）点评：本题主要考查一元二次不等式的运用，应注意不等式的解集与方程解之间的关系，同时应正确利用函数的图象．15．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两根，则|x1﹣x2|的取值范围是，都有f（x）﹣2mx≥1成立，求实数m 的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）f（1）=5可得c=3﹣a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，解得m的取值范围．（2）法二：不等式f（x）﹣2mx≥1恒成立等价于2m﹣2≤x+在上恒成立．只需求出（x+）min．解答：解：（1）∵f（1）=5∴5=a+c+2，即c=3﹣a，又∵6＜f（2）＜11∴6＜4a+c+4＜11，∴∴，又∵a∈N*，∴a=1，c=2．所以f（x）=x2+2x+2．（2）法一：设g（x）=f（x）﹣2mx﹣1=x2﹣2（m﹣1）x+1，x∈，则由已知得：当m﹣1≤1即m≤2时，g min（x）=g（1）=4﹣2m≥0，此时m≤2；当1＜m﹣1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；当m﹣1≥2即m≥3时，g min（x）=g（2）=9﹣4m≥0，此时无解．综上所述，m的取值范围为（﹣∞，2]．法二：由已知得，在x∈上恒成立．由于在上单调递增，所以，故2（m﹣1）≤2，即m≤2．点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．20．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（1）若f（x）在时，f（x）＜1．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并给出你的证明；（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数F（x）定义域中的任意一个x，均有F（x+T）=F（x），则称F（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出的值．考点：函数的周期性；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，可得f（0），令m=n=1，即得f（1）；（2）令m=0，n=x，由条件，即可得到奇偶性；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，运用周期，即可得到所求值．解答：解：（1）由于f（x）不恒为0，故存在x0，使f（x0）≠0，令m=x0，n=0，则f（x0）+f（x0）=2f（x0）f（0），则f（0）=1．令m=n=1，则f（2）+f（0）=2f2（1），又f（0）=f（2），则f2（1）=1，则f（1）=±1，由已知，f（1）＜1，故f（1）=﹣1；（2）令m=0，n=x，得，f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），即有f（﹣x）=f（x），即有f（x）为偶函数；（3）由f（1+m）=f（1﹣m）得f（﹣x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），即f（x）以2为周期的周期函数，令m=n=，f（）+f（0）=2f2（），即f（）+1=2f2（），再令m=，n=得，f（1）+f（）=2f（）f（），即f（）﹣1=2f（）f（）．而f（）＜1，解得，f（）=，f（）=﹣，由条件得，f（）=f（），f（）=f（），故f（）+f（）+…+f（）=0，f（x）以2为周期的周期函数，则=336×0+f（）=f（）=．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及运用，考查运算能力，考查抽象函数的解决方法：赋值法，属于中档题．。
2022-2023学年重庆市第一中高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（） A.“1x ∃<，使21x >” B.“1x ∃<，使21x ≤” C.“1x ∀≥，使21x >”D.“1x ∀≥，使21x ≤”2．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－13．设集合M={a|∀x∈R，x 2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p ：a∈M，命题q ：a∈N，那么命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系xOy 中, 以1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于,A B 两点, 点,M N 分别在线段,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切, 则MN 的最小值为A.1B.2C.2D.25．已知点（a ，2）在幂函数()(3)bf x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（） A.12()f x x = B.12()2f x x = C.3()f x x =D.1()f x x -=6．已知M ，N 都是实数，则“0MN >”是“()222log log log MN M N =+”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要7．若函数()()sin f x x πϖ=-+2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为 A.52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B.()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8相等的是 A.sin2cos2- B.cos2sin2- C.cos2D.cos2-9．已知函数，则()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()()11f f --=A.22log 32-B.2log 71-C.2D.2log 610．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.3y x = B.3log y x =- C.3x y =D.1y x=二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.12．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的侧面积为cm13．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______. 14．函数21log y x =-+的定义域为________15．已知函数()()22log 4f x ax ax =-+.（1）若()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________；（2）若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．设函数()(0xxf x a ma a -=+>且1)a ≠是定义在R 上的奇函数（1）求m 的值；（2）若()10f <，试判断函数的单调性(不需证明)，求出不等式()()226120f x x f x ++-->的解集17．已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-. （1）求()f x 的定义域；（2）若函数1()42x x g x a a +=⋅--，且对任意的1[5,6]x ∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.18．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，分别取BC ，CD 的中点E ，F ，连接AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕进行折叠，使点B ，C ，D 重合于一点P .（1）求证：AP EF ⊥； （2）求三棱锥P AEF -的体积19．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<. （1）若A B =，求实数a 的值； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.20．已知0a >且满足不等式215222a a +->. （1） 求不等式()()log 31log 75a a x x +<-；（2）若函数()log 21a y x =-在区间[]3,6有最小值为2-，求实数a 值21．如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“1x ∃≥，使21x >”的否定形式为：1x ∀≥，使21x ≤ 故选：D 2、D【解析】先将22222x x x -+-转化为11[(1)]21x x -+-，根据－4<x <1，利用基本不等式求解. 【详解】22211[(1)]2221x x x x x -+=-+--又∵－4<x <1， ∴x －1<0 ∴－(x －1)>0∴11[(1)]12(1)x x ---+≤---．当且仅当x －1＝11x -，即x ＝0时等号成立 故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 3、A【解析】由题意，对于集合M ，△=a 2-4＜0，解得-2＜a ＜2； 对于集合N ，a≠3若-2＜a ＜2，则a≠3；反之，不成立. 命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A 4、D【解析】因为1,1C 为圆心的圆与 x 轴和y 轴分别相切于 ,A B 两点, 点,M N 分别在线段 ,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切，设切点为 Q ，所以AM BN QM QN MN +=+=，设 MNO ∠θ=，则()cos sin ,21cos sin OM ON MN MN OA OB MN θθθθ+=++==++，221cos sin 14MN πθθθ==≥=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求MN 的最小值的 5、A【解析】由幂函数的定义解出a ，再把点代入解出b .【详解】∵函数()(3)bf x a x =-是幂函数，∴31a -=，即4a =， ∴点（4，2）在幂函数()bf x x =的图象上，∴12b =，故12()f x x = 故选：A. 6、B【解析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取1,2M N =-=-，满足0MN >.但是22log log M N 、无意义，所以充分性不满足； 必要性：当()222log log log MN M N =+成立时，则有00M N >⎧⎨>⎩,所以0MN >.所以必要性满足. 故选：B 7、D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：()sin()sin()2f x x x ππωω=-+sin 2sin()3x x x πωωω=+=+， 根据题中条件满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+， 从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8、A22cos sin =-，结合三角函数的符号即可得到结果.22cos sin ==-,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，= sin2cos2- 故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力. 9、B【解析】因为()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，所以()()()()2112617117log 71f f f f --=---=--==-，，故选B. 10、A【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =，其定义域为R ，在R 上既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于B ，3log y x =-，是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C ，3x y =，为指数函数，不为奇函数； 对于D ，1y x=，为反比例函数，其定义域为{|0}x x ≠，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、12【解析】由函数的奇偶性可知()()22f f =--，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 12、80【解析】图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm ，底面边长是8cm ， 侧面积为 ×4×8×5=80（cm 2） 考点：三视图求面积.点评：本题考查由三视图求几何体的侧面积 13、45【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为60人进而求得样本中高三年级参加登山的15人，即可求解. 【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =， 所以样本中抽取的高三的人数为320060253⨯=++人，又因为全校参加登山的人数占总人数的14， 所以样本中高三年级参加登山的人数为160154⨯=， 所以样本中高三年级参加跑步的人数为601545-=人. 故答案为：45. 14、[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为[2,)+∞.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 15、 ①.[)2,0- ②.[)16,+∞【解析】（1）分析可知内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，由此可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）分析可知()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集，分0a =、0a ≠两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）令24u ax ax =-+，2log y u =.当0a =时，()2log 42f x ==，该函数为常值函数，不合乎题意. 所以，0a ≠，内层函数24u ax ax =-+的对称轴为直线12x =， 由于函数()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且外层函数2log y u =为增函数，故内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，所以，04240a a a <⎧⎨-+≥⎩，解得20a -≤<；（2）因为函数()f x 的值域是R ，则()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集. 当0a =时，内层函数为4u =，不合乎题意；当0a ≠时，则有2160a a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得16a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[)16,+∞. 故答案为：（1）[)2,0-；（2）[)16,+∞.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）1m =- （2）{}|26.x x -<<【解析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，从而可求出m 的值； （2）由()10f <可得01a <<，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，即10m += ， 1m ∴=-，当1m =-时，()xxf x a a -=-，()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，故1m =-符合题意; 【小问2详解】 ∵1(1)0f a a=-<，又0a >且1a ≠， 01a ∴<<，x x y a y a -∴==-，都是R 上的减函数，()f x ∴是定义在R 上的减函数，故()()226120f x x f x ++-->()()22612f x x f x ⇒+>+， 2226124120x x x x x ∴+<+⇒--<26x ⇒-<<，∴不等式的解集{}|26.x x -<<17、（1）(4,)+∞.（2）（2，+∞）. 【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于max min ()()f x g x <，如其中一个不易求得，如min ()g x 不易求，则转化为max ()()f x g x <恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解 【详解】（1）由题可知20x +>且40x ->， 所以4x >.所以()f x 的定义域为(4,)+∞.（2）由题易知()f x 在其定义域上单调递增.所以()f x 在[5,6]x ∈上的最大值为4(6)log 162f ==， 对任意1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <恒成立等价于max ()2()f x g x =<恒成立.由题得()2()222x x g x a a =⋅-⋅-.令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =⋅-->恒成立.当0a =时，1t <-，不满足题意.当0a <时，22242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩， 解得2a >，因为0a <，所以舍去.当0a >时，对称轴为1t a =， 当12a <，即12a >时，2242a a ⋅-->，所以2a >； 当124a ≤≤，即1142a ≤≤时，2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭，无解，舍去； 当14a >，即104a <<时，2482a a ⋅-->，所以23a >，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．18、（1）证明见解析（2）13【解析】（1）通过90APE APF ∠=∠=︒，证明PA ⊥平面PEF ，然后证明AP EF ⊥；（2）利用13P AEF A PEF PEF V V S AP --==⋅，求出几何体的体积【小问1详解】 证明： 90APE APF ∠=∠=︒，即,AP PE AP PF ⊥⊥ , ,,PE PF P PE PF =⊂平面PEF ，PA ∴⊥平面PEF ,又EF ⊂平面PEF ，所以AP EF ⊥；【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面PEF ，∴11111123323P AEF A PEF PEF V V SAP --===⨯⨯⨯⨯=⋅ 19、（1）2a =（2）0a ≤或6a ≥【解析】（1）求出集合B ，再根据A B =列方程求解即可；（2）根据A B =∅分A =∅，A ≠∅讨论求解.【小问1详解】 由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<< A B =11215a a -=⎧∴⎨+=⎩， 解得2a =；【小问2详解】A B =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥， 综合得0a ≤或6a ≥.20、（1）37,45⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）运用指数不等式的解法，可得a 的范围，再由对数不等式的解法，可得解集；（2）由题意可得函数()log 21a y x =-在[]3,6递减，可得最小值，解方程可得a 的值试题解析：（1）∵22a +1＞25a -2.∴2a +1＞5a -2，即3a ＜3∴a ＜1，∵a ＞0，a ＜1∴0＜a ＜1.∵log a （3x +1）＜log a （7-5x ）.∴等价为3107503175x x x x +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞， 即137534x x x ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞， ∴3745x ＜＜， 即不等式的解集为（34，75）.（2）∵0＜a ＜1∴函数y =log a （2x -1）在区间[3，6]上为减函数，∴当x =6时，y 有最小值为-2， 即log a 11=-2，∴a -2=21a =11， 解得a =1111. 21、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。