2018-2019学年重庆一中高一下学期期末考试 数学 Word版含答案
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可． 【详解】 由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ． 【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值． 【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ． 【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （ ） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况， 所以他们选择相同交通工具的概率为3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为： 【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案． 【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n na a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n na -=， 即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_31
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.函数的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题2.在等差数列中，，当最大时，的值是________.【答案】6或7【解析】分析】利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.3.若，则______.【答案】，【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】【分析】根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.【答案】464【解析】【分析】根据等比数列求和公式求解【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为，，所以，【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．【答案】【解析】试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.“”是“”成立的（）A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A. 8B. 2C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】根据条件解得首项，再求【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题14.如图，函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）【答案】【解析】【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为，则，，，，所以，答：电视塔的高为约.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题16.已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【答案】（1）（2）只有一项【解析】【分析】（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果【详解】解：（1）；（2）解不等式得，因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题17.已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）如果，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解【详解】解：（1）因为.所以，因为，所以.（2）由（1）可知，所以，因为，所以，所以.因为.所以.【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题18.已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论成立.综上，对时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．20.已知数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.函数的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数定义得结果【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题2.在等差数列中，，当最大时，的值是________.【答案】6或7分析】利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值.【详解】设等差数列的公差为，，，所以，因为，，所以当或时，有最大值，因此当的值是6或7.【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键.3.若，则______.【答案】，【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值求解三角方程【详解】因为【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2019年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2019年到2022年的总产值为______万元（精确到万元）.【答案】464【解析】【分析】根据等比数列求和公式求解【详解】由题意得从2019年到2022年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______.【答案】180【解析】【分析】根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果【详解】因为，，所以，【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.【答案】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________．【答案】100【解析】因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100．点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解．10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ．【答案】【解析】试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为.考点：三角函数的概念.二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.“”是“”成立的（）A. 充分非必要条件.B. 必要非充分条件.C. 充要条件.D. 既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】【分析】依次分析充分性与必要性是否成立.【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A.【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A. 8B. 2C. 4D. 1【答案】D【解析】【分析】根据条件解得首项，再求【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】比较与时不等式左边的项，即可得到结果【详解】因此不等式左边为，选C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题14.如图，函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值，即可进行比较判断选择【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C.【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）【答案】【解析】【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为，则，，，，所以，答：电视塔的高为约.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题16.已知数列的通项公式为.（1）求这个数列的第10项；（2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【答案】（1）（2）只有一项【解析】【分析】（1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果【详解】解：（1）；（2）解不等式得，因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项.【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题17.已知函数（其中，）的最小正周期为.（1）求的值；（2）如果，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解【详解】解：（1）因为.所以，因为，所以.（2）由（1）可知，所以，因为，所以，所以.因为.所以.【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题18.已知数列满足关系式，.（1）用表示，，；（2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之.【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明【详解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.证明：当时，结论显然成立；假设时结论成立，即，则时，，即时结论成立.综上，对时结论成立.【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．20.已知数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题。
2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2019年下学期教学质量检测试卷高一 数学一、选择题1.若集合{}{}|21,|02A x x B x x =-<<=<<, 则集合A B ⋂=( ) A. {}|11x x -<< B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -<<D. {}|01x x <<【答案】D 【解析】试题分析：作数轴观察易得A B ⋂={}|01x x <<. 考点：集合的基本运算.2.空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A. ()2,3,5--- B. ()2,3,5 C. ()2,3,5-- D. ()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称问题．属于基础题． 3.过两点(2,)A m -，(),4B m 的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A. 1- B. 3C. 1D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式计算即可.【详解】根据直线斜率的计算公式有4tan 451(2)mm ︒-==--,解得1m =．【点睛】本题考查直线斜率的计算，属于基础题． 4.若偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则（ ）A. 0a >B. 0a <C. 0a =D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质与幂函数性质可得．【详解】偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则它在(0,)+∞上是减函数，所以0a <．故选：B ．【点睛】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题． 5.下列说法不正确的．．．．是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D 【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 6.已知函数()f x 是定义在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（ ）A.14B. 114-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在上的奇函数，，故答案为D ．考点：奇函数的应用．7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，则异面直线11A C 与MN 所成的角等于（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】 【分析】连接11,,AB AC B C ，可证1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，求出此角即可．【详解】连接11,,AB AC B C ，因为M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，所以1//MN AB ，又正方体中11//A C AC ，所以1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，1AB C ∆是等边三角形，1B AC ∠＝60°．所以异面直线11A C 与MN 所成的角为60°．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．8.圆()2221x y -+=与直线y x =的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 直线过圆心【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较．【详解】圆()2221x y -+=的圆心是(2,0)C ，半径为1，圆心到直线3y x =即0x -=的距离为1d r ===，直线与圆相切．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断．9.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．10.经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆方程为（ ） A. ()()22122x y +++= B. ()()22122x y -+=+ C. ()()22122x y ++-= D. ()()22122x y -+-=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点A 的距离都是半径可求解． 【详解】由题意设圆心为(,2)C a a -2221(2)(21)2a a a a --=-+-+1a =，即圆心为(1,2)C -，半径为12122r --==。
2019学年重庆一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）（A）___________________________________ （B）（C）______________________________ （D）2. 设a＝，b＝（3,1），若a b，则实数k的值等于（）（A）－_________________________________ （B）－___________________________________ （C）___________________________________ （D）3. 设等差数列{a n }的前n项和为S n ，若a 5 ＋a 14 ＝10，则S 18 等于（）（ A）20____________________ （B）60____________________________ （C）90________________________ （D）1004. 圆与圆的位置关系为（）（A）内切____________________________ （B）相交______________________________ （C）外切________________________ （D）相离5. 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）（A）12____________________________ （B）11________________________ （C）3____________________________ （D）－ 16. 已知等比数列{a n }中，a 1 ＝1，q＝2，则T n ＝＋＋…＋的结果可化为（）（A）1－____________________ （B）1－______________________________ （C）（1－）______________ （D）（1－）7. “m=1”是“直线与直线平行”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）（A）15 （B）105______________ （C）245 （D）9459. 现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4” ，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5” ，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）（A）________________________ （ B）_________________________________ （C）________________________ （ D）10. 在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若＝1，则AB的长为（）（A）______________ （B）4______________________________ （C）5____________________ （D）611. 已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（）（A）_________________________（ B ）（ C ）____________________________（ D ）12. 已知集合，，若，则的最小值（）（A）（B）______________________________________ （C）（6－2 ）（D）二、填空题13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取___________ 名学生．14. 在中，角所对边长分别为，若，则b=___________．15. 已知点P，Q为圆C：x 2 ＋y 2 ＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________ ．16. 点C是线段 AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围＿＿＿＿．三、解答题17. 已知的面积是 3 ，角所对边长分别为，．（Ⅰ ）求；（Ⅱ ）若，求的值．18. 已知圆：，直线l过定点．（Ⅰ ）若l与圆相切，求直线l的方程；（Ⅱ ）若l与圆相交于、两点，且，求直线l的方程．19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅱ）若从数学成绩在[40,50）与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20. 已知数列{a n }满足（其中）．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）设，其前n项和是T n ，求证：T n ＜．21. 已知动点满足方程．（Ⅰ ）求动点P到直线距离的最小值；（Ⅱ ）设定点，若点之间的最短距离为 , 求满足条件的实数的取值．22. 已知函数为奇函数，且．（Ⅰ ）求实数a与b的值；（Ⅱ ）若函数，设为正项数列，且当时，，（其中），的前项和为，，若恒成立，求的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_24
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a ，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2 B. 0 C. -2 D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )A. B=A∩CB. B∪C=CC. A CD. A=B=C【答案】B【解析】【分析】由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．【详解】由题B A，∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B C，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，故选B．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题2.已知角的终边经过点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．【详解】因为，，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．3.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．考点：诱导公式4.已知中，，，为边上的中点，则( )A. 0B. 25C. 50D. 100【答案】C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（）A. 菱形B. 矩形C. 直角梯形D. 等腰梯形【答案】A【解析】【分析】由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．【详解】∵，∴与平行且相等，∴四边形为平行四边形．又，∴，即平行四边形的对角线互相垂直，∴平行四边形为菱形．故选A．【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理，即可判断．【详解】因为，所以三点一定共线．故选：B．【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．8.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.【详解】由已知则故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）A. 5B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出a即可．详解】函数f（x）＝acosx+sinx sin（x+θ），其中tanθ＝a，，其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案为D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A. 2B. 0C. -2D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.14.已知，，，若，则__________．【答案】-3【解析】由可知，解得，15.若为锐角，，则__________．【答案】【解析】因为为锐角，，所以，.16.函数的定义域为__________；【答案】【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．【详解】依题意可得，，解得即，故函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．17.已知，则 __________．【答案】【解析】18.有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；③函数有三个零点；④函数在上单调递减，在上单调递增.其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知.（1）若三点共线，求的关系；（2）若,求点的坐标.【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】【分析】（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．【详解】由题意知，，．（1）∵三点共线，∴∥，∴，∴．(2)∵，∴，∴，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间.【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为.（Ⅱ）由，得∴的单调增区间为由得∴的单调减区间为21.设向量．（Ⅰ）若与垂直，求值；（Ⅱ）求的最小值.【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．试题解析：（Ⅰ）由条件可得，因为与垂直，所以，即，所以，所以.（Ⅱ）由得，所以当时，取得最小值，所以的最小值为.22.已知函数f(x)＝sin ωx·cosωx＋cos2ωx－(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .（Ⅰ）求f(x)的表达式；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.【答案】（1）f(x)＝sin.（2）【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.试题解析：(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．所以g(x)＝sin.由，得所以所求的单调减区间为。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_5
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【答案】D【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_8
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；2．本科考试时间为120分钟，满分为100分．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．）1.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为，故选D.【点睛】本小题主要考查由直线一般式求斜率和倾斜角，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2.在等差数列中，，则A. 32B. 45C. 64D. 96【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质列方程，解方程求得的值.【详解】根据等差数列的性质有，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查观察能力，属于基础题.3.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角公式求出结果.【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦的二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知，则下列不等式不成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.5.已知实数满足约束条件，则的最小值是A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】画出可行域，向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，向下平移基准直线到可行域边界点，由此求得最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6.已知数列满足：，则的前10项和为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用裂项求和法求得数列前项和.【详解】依题意，故.【点睛】本小题主要考查裂项求和法求数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题.7.中，角所对的边分别为，若，则角的值A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】由题意得，在中，根据余弦定理，有意义，，是的内角，或故选8.等比数列前项和为，则下列一定成立的是A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】根据特殊的等比数列对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】不妨设为等比数列，由此排除A,B两个选项.不妨设，，由此排除D选项.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查选择题特殊值的解法，属于基础题.9.已知，，且，则的最小值为A. B. C. 5 D. 9【答案】A【解析】【分析】先求得的表达式，代入中，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.【详解】由正弦定理可得,,以BC所在直线轴，则,则表示轴上的点P与A和的距离和，利用对称性，关于轴的对称点为，可得的最小值为=.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11.计算的结果为_____．【答案】.【分析】利用两角差的正弦公式对表达式进行化简，由此求得表达式的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查两角差的正弦公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.12.倾斜角为且过点直线方程为______．【答案】.【解析】【分析】直接根据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.【详解】依题意得，化简得.【点睛】本小题主要考查直线方程点斜式，考查倾斜角和斜率的对应关系，属于基础题.13.若直线与直线平行，则实数_____．【答案】1.【分析】根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值，排除重合的情况后求出结果.【详解】由于两直线平行，故，解得，当时，，与重合，不符合题意，故.【点睛】本小题主要考查两条直线的位置关系，考查两直线平行的表示，属于基础题.14.已知α为锐角，且cos(α＋)＝，则sinα＝________．【答案】【解析】。
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2019年重庆一中高2021级高一下期期末考试数学试题卷 2019.7数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.112.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.36C.30D.203.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =( )A.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC⃑⃑⃑⃑⃑ B.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC⃑⃑⃑⃑⃑ C.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ D.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC⃑⃑⃑⃑⃑6.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32 B.3 C.2 3 D.27.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为() A.53B.103C.56D.1169.若ab b a 24log )43(log =+ ,则b a +的最小值是（） A.326+B.327+C.346+D.347+10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D －PAC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶3D.1∶611.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ） A ．10π B ．4π C. 16πD ．8π12.在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的 茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中 有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数 字记为x ，那么x 的值为________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝___. 15.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面 直线AB 1与BD 所成的角为________.16.(原创)在△ABC 中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 则BECF的取值范围为． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设))(1(log 131*+∈-=N n S b n n ，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；19.(本小题满分12分)某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占%80．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组)65,55[，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该 区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20.(本小题满分12分)如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC ＝CE ，点F 为CE 的中点.(1)若BE=BC=CD=2，求三棱锥BFC D -的体积；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE ？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)在中，角所对的边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．22.(原创)(本小题满分12分)已知数列,8,1},{21==a a a n 且)(244*12N n a a a n n n ∈--=++ (1)设n n n a a b 21-=+，证明数列}2{-n b 是等比数列，并求数列}{n a 的通项； (2)若n n a c 1=，并且数列}{n c 的前n 项和为n T ，不等式36445k T n ≤对任意正整数n 恒成立，求 正整数k 的最小值。
（注：当4≥n 时，则n n 221≥-）ABC ∆,,A B C ,,a b c (sin ,sin sin )m A B C =-(3,)n a b b c =-+m n ⊥C ABC ∆1c =3a b -)2(2+n n 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符11由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列. 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *). (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.所以b n ＝31log (1－S n ＋1)＝31log ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2= 18.(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE . 19.(1)由，得.(2)平均数为；岁； 设中位数为，则岁.20.(1)解：因为平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC ⊥BC ，所以DC ⊥平面BCE ，332)3121(3131=⨯⨯⨯⨯==∆-DC S V BFC BFC D(2)解 当P 为AE 中点时，有PM ⊥BE ，证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，∵P 为AE 的中点，H 为BE 的中点， ∴PH ∥AB ，又AB ∥CD ，∴PH ∥CD ，∴P ，H ，C ，D 四点共面. ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ， CD ⊂平面ABCD ，CD ⊥BC .∴CD ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴CD ⊥BE ，∵BC ＝CE ，H 为BE 的中点，∴CH ⊥BE ，又CD ∩CH ＝C ，∴BE ⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，∴BE ⊥PM ，即PM ⊥BE . 21.（2）由（1）得，即，又为锐角三角形，故，从而，由，所以，故， 所以．由，所以，所以，即 22.（1）证明：222442222222111121=----=----=--++++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ，而421=-b ∴}2{-n b 是以4为首项2为公比的等比数列，122+=-n n b221+=+n n b 即22211+=-++n n n a a ，nn n n n a a 2112211+=-++累加法可求出121212-⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n n a ∴22)12(1-+=-n n n a （2）22)12(111-+==-n n n n a c ，261,81,1321===c c c 09.8364451≥⇒≤k k T ，1.9364452≥⇒≤k k T ，41.9364453≥⇒≤k k T由条件知当4≥n 时，n n 221≥-，即)121121(21)12)(12(1)12)(22(1224122)12(121+--=-+<-+=-+≤-+=-n n n n n n n n n c n n ∴)12(21728899)12171(21104121)(154321+-=+-+<+++++++=-n n c c c c c c c T n n n9.936445728899≥⇒≤<k k 而*N k ∈综上所述k 的最小值为10.56A B π+=56B A π=-ABC ∆506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩32A ππ<<1c =1sin sin sin6a bA Bπ==2sin ,2sin a A b B ==2sin 2sin()6b A B A A π-=-=-+2sin cos 2cos sin cos 2sin()666A A A A A A πππ=--=-=-32A ππ<<663A πππ<-<1sin()262A π<-<b -∈。