三角函数的收缩代换
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)
精锐教育学科教师辅导教案例3：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-23)2-45, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+2π,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ5. 利用数形结合 例5： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：原函数可变形为y x x =---s i n c o s ().02这可看作点Ax xB (c o s s i n )()，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 221+=上的动点。
由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。
由几何性质，y y m a x m i n .==-3333，6、换元法 例6：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.当时，如下图所示，有-≤≤11ayga ayggmin max()()()==--12112，为和中的较大者，即y a ay a am a xm a x()()=--≤≤=+<≤34103401当时，如下图所示，有ay g ay g a>=-=+==-1134134m a xm i n()().10. 判别式法例10求函数xxxxytansectansec22+-=的最值。
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)
精锐教育学科教师辅导教案切化弦(13tan10)+ cos 21,tan()cos 23ααβα=-=-等），（答：特别提醒：这里t ∈这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ5. 利用数形结合 例5： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：原函数可变形为y x x =---s i n c o s ().02这可看作点Ax xB (c o s s i n )()，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 221+=上的动点。
由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。
由几何性质，y y m a x m i n .==-3333，6、换元法 例6：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.解 y=(1+1sinx )(1+1cosx )=1+sinx+cosx+1sinxcosx令 sinx+cosx=t(1<t ≤ 2 ), 则sinx ·cosx=t 2-12，∴y=1+2121-+t t =t 2+2t+1t 2-1=t+1t-1 =1+2t-1, 由1<t ≤ 2 ,得y ≥3+2 2 , ∴函数的最小值为3+2 2 . 7. 利用函数在区间内的单调性例7： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
三角恒等变换
4、 理解三角变换的特点，提高推理、计算能力第三章：三角恒等变换课题导学：上图是发电站的电网图，发电站发出的三相交流电经过叠加以后，才能输出供用户使用，而在实际生活中，有许多这样的问题，它们的共同特点是“周期运动的叠加”解决有关周期运动的叠加问题，要用到三角恒等变换公式，本章我们就要学习三角恒等变换的有关知识。
知识点一、两角和与差的三角函数（一）两角差与和的正、余弦公式 1、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 2、sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-3、cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+4、cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-基础巩固例1、求cos75cos15sin 255sin15o o o o -示例反馈1：化简sin 200cos140cos160sin140o o o o -示例反馈2：化简sin163sin 223sin 253sin313o o o o +方法总结：当三角函数计算中出现的角度不是我们直接口算出来的常用的三角函数值时，我们要把它转化成我们常用的角度并注意公式的逆用。
例2：（1）已知4cos ,(,0),52παα=∈-求cos()3πα-的值 （2）若取掉(,0)2πα∈-，求cos()3πα-示例反馈2：已知324ππβα<<<，312sin(),cos()513αβαβ+=--=，求cos 2α的值能力提高：1、化简2cos503sin10cos10o oo-2、已知三角形ABC 的三个内角,,A B C 满足2A B B +=，且112cos cos cos A C B+=-求cos 2A C -的值3、已知11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=，求cos()αβ-的值（二）、辅助角公式（收缩代换）22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++其中2222sin ,cos b a a b a b ϕϕ==++22sin cos cos()a b a b αααϕ+=+-其中2222cos ,sin b a a ba bϕϕ==++例1、化简2sin 50cos10(13tan10)cos35cos 40cos50cos55o o o o o o o+++示例反馈1：求2[2sin50sin10(13tan10)].2sin 80o o o o ++的值示例反馈2、（1）函数cos cos()3y x π=++的最大值是（2）当22x ππ-≤≤时，函数()sin 3cos f x x x =+的最小值为（三）、两角和与差的正切公式的应用 1、公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+基础巩固1、 化简cos15sin15cos15sin15o oo o-+2、 化简tan 58tan 921tan 58tan 88o oo o++方法总结：熟练利用公式把已知条件中的角通过相加减转化成熟悉角并求出其三角函数值。
高中数学三角函数代换公式大集锦
高中数学三角函数代换公式大集锦基本公式公式一：设α 为随意角，终边同样的角的同一三角函数的值相等：sin(2k π+α)= sin αcos(2k π+α)= cos αtan(2k π+α)= tan αcot(2k π+α)= cot α公式二：设α为随意角，π +α的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：sin( π+α)=- sin αcos( π+α)=- cosαtan( π+α)= tan αcot( π+α)= cot α公式三：随意角α与 - α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=- sin αcos(- α)= cos αtan(- α)=- tan αcot(- α)=- cot α公式四：利用公式二和公式三能够获得π - α与α的三角函数值之间的关系：sin( π - α)= sin αcos( π - α)=- cosαtan( π - α)=- tan αcot( π - α)=- cot α公式五：利用公式 - 和公式三能够获得2π - α与α的三角函数值之间的关系：sin(2 π - α)=- sin αcos(2 π - α)= cos αtan(2 π - α)=- tan αcot(2 π - α)=- cot α公式六：π/2 ±α及 3π/2 ±α与α的三角函数值之间的关系：sin( π/2+ α)= cos αcos( π/2+ α)= - sin αtan( π/2+ α)= - cot αcot( π/2+ α)= - tan αsin( π/2 - α)= cos αcos( π/2 - α)= sin αtan( π/2 - α)= cot αcot( π/2 - α)= tan αsin(3 π/2+ α)= - cosαcos(3 π/2+ α)= sin αtan(3 π/2+ α)= - cot αcot(3 π/2+ α)= - tan αsin(3 π/2 - α)= - cosαcos(3 π/2 - α)= - sin αtan(3 π/2 - α)= cot αcot(3 π/2 - α)= tan α( 以上 k∈Z)注意：在做题时，将 a 当作锐角来做会比较好做。
三角函数像的变换与性质
三角函数像的变换与性质三角函数的变换与性质是数学中一个重要的概念。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换及其性质，从而帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、三角函数的基本定义在开始讨论三角函数的变换与性质之前，我们先来回顾一下三角函数的基本定义。
在直角三角形中，正弦函数（sine）和余弦函数（cosine）分别是一个角的对边和斜边、邻边和斜边的比值；而正切函数（tangent）是一个角的对边和邻边的比值。
这些定义可以用以下方程表示：sin(θ) = opposite/hypotenusecos(θ) = adjacent/hypotenusetan(θ) = opposite/adjacent其中，θ代表角度。
二、三角函数的变换在数学中，我们经常会遇到需要对三角函数进行变换的情况。
下面是三种常见的三角函数变换形式。
1. 平移变换平移变换是指通过改变三角函数的参数，将函数的图像向左或向右平移。
例如，对于正弦函数sin(x)，我们可以通过将参数x替换为x+h（其中h为一个常数）来实现平移变换，即sin(x+h)。
这样一来，函数的图像向左平移h个单位。
类似地，cos(x)和tan(x)也可以进行平移变换。
2. 垂直伸缩变换垂直伸缩变换是指通过改变函数的幅度来改变函数的图像。
具体而言，我们可以将三角函数的参数乘以一个常数a来实现垂直伸缩变换。
例如，对于正弦函数sin(x)，如果将参数x替换为ax，则函数的图像会在纵向上收缩为原来的1/a倍。
同理，cos(x)和tan(x)也可以进行垂直伸缩变换。
3. 水平伸缩变换水平伸缩变换是指通过改变函数的参数来改变函数图像的宽度。
具体而言，我们可以把三角函数的参数替换为bx来实现水平伸缩变换。
例如，对于正弦函数sin(x)，如果将参数x替换为bx，则函数的图像在横向上会收缩为原来的1/b倍。
cos(x)和tan(x)也可以应用水平伸缩变换。
三、三角函数的性质除了变换之外，三角函数还具有一些固有的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。