例析三角函数中“1”的代换
例析三角函数中“1”的代换
石阡县第三高中 张军
三角函数是中学数学教材中一种重要的函数，它又是研究其他各类知识的重要工具。
凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形为研究手段。
三角式的变形，包括三角式的化简、求三角式的值、证明恒等式和三角不等式等内容。
特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容。
在三角函数中，“1”的代换有：βαcot tan 1⋅=，αα22cos sin 1+=， 45tan 1=，1cos sec =⋅αα，1sin csc =⋅αα等等。
在具体的三角变换过程中，常根据题目不同特征选择不同的变换方式，若能把常数“1”恰当处理并灵活运用常会有意想不到的惊喜。
下面举例说明。
例1、 已知
11
tan tan -=-αα
，求2cos sin sin 2++ααα的值。
分析：本题若常规思想，可由已知先求出αtan ，再由同角三角函数关系求得αsin 和αcos ，进而求出关系式的值，这种思想简单直接，
但运用起来却很繁琐、费力，若借助题目条件的特殊性整体考虑，将“αααcos sin sin 2+”的分母“1”看做αα2
2cos sin +直接转化为tan α的关系式求解救容易多了。
解：由已知得2
1tan =α。
2
cos sin sin 2++ααα
5132121212121tan tan tan 2cos sin cos sin sin 2
2
22222=++⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛=+++=+++=αααααααα 评析：对形如ααcos sin b a +，αααα22cos cos sin sin c b a ++的式子称为关于αsin 、αcos 的齐次式，对涉及他们的三角式通常利用整体考虑的方法求解，使其转化为只含有正切的式子。
例2 证明： αααα2222sin tan sin tan =-
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。
无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。
解：方法一（由右到左）
右边=()ααααα22222cos tan tan cos 1tan -=-
=αααα
α
α222222
sin tan cos cos sin tan -=-=左边
因此 αααα2222sin tan sin tan =-
方法二（由左到右）
左边=()
1sec sin 1cos 1sin sin cos sin 2
22
2222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααααααα ==αα22tan sin 右边
因此αααα2222sin tan sin tan =-
例3、求函数()x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin 2244-++=的最小正周期、最大
值和最小值。
分析：由所给式子x x x x 2244cos sin cos sin ++可联想()2
22cos sin 1x x +=。
解 ()()
x x x
x x x x f cos sin 22cos sin cos sin 222
22
--+=
：
()()2
12sin 41cos sin 121
cos sin 12cos sin 122+=+=--=
x x x x x x x
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43最小值是4
1。
例4、化简x
x x
x 6644sin cos 1sin cos 1----
分析：所给三角函数式分子、分母次数都较高，应将高次项化去，可考虑将x x 44sin cos +配方利用1cos sin 22=+x x ，达到将次的目的，对x x 66cos sin +变形为
()()()()x x x x x x x x 4224223
232cos cos sin sin cos sin cos sin +-⋅+=+……
去“降次”；或将分子中的“1”换为()2
22cos sin x x +将分母中的“1”
换成()3
22cos sin x x +，展开消去高次项，下面用后一种思路化简。
解：原式=()()()
3
2
cos sin sin cos 3sin cos 2sin cos
cos sin
cos sin cos sin
22222
2
66
3
2
2
44222=
+=
--+--+x x x x x x x
x x x x x x x
评注：()()Z n x x x x n
∈+=+=2
2
22cos sin cos sin 1，
“1”的代换在三角函数的变形中有着广泛的应用，还可用于降幂、升幂。
“1”的代换应用是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，
提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要积累解题经验，参透其中的奥秘。
高中数学中“1”的代换
高中数学中“1”的代换高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效。
1．“1”在指数函数、对数函数中的应用例1：计算5lg 2lg 35lg 2lg 33++解法一：原式()()5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 5lg 2lg 22++-+= 5lg 2lg 35lg 5lg 2lg 2lg 22++-=5lg 5lg 2lg 22lg 22++=()25lg 2lg +=1= 解法二：2lg 15lg 5lg 2lg 1-=⇒+=代入原式得()()2lg 12lg 32lg 12lg 33-+-+2lg 32lg 32lg 2lg 32lg 312lg 2323-+-+-+=1= 点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。
注：5lg 2lg 1+=例2：已知01>>>b a 且11log >-）（x b a ，求x 的取值范围。
解：首先01>-x ，即1>x又 a a x b =>-11log ）（，而1>a1log 01log b b x =>-⇒）（，而10<<b211<⇒<-⇒x x综合知21<<x点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性解之。
注：()()101log 001≠>=≠=b b a a b 且2．“1”在三角函数中的应用例3：已知2tan =α，求αα2cos 2sin +的值。
分析：由2tan =α可求出552sin ±=α，55cos ±=α代入计算，有点麻烦，不妨借助1的代换来解题。
解：原式1cos cos sin 22ααα+=ααααα222cos sin cos cos sin 2++=（分子分母同除以α2cos ） 11t a n 1t a n 22=++=αα 点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。
浅议“1”在三角函数中的作用
浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。
尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。
尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。
当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。
下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。
一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。
例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。
解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。
解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。
解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。
三角函数中1的妙用
三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候，我们会发现经常会与“1”有些合作，下面我就自己在教学中，利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一：sin 2α+cos 2α=1应用举例例1． 已知α是第一象限角，化简下式ααcos sin 21+解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到221b a +=，自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2，到此时解题思路豁然开朗 解：ααcos s in 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2：已知3tan =α，求ααcossin 的值 解析：这道题目是一个齐次式，这类题目的特点是已知角α的正切值，求含有正弦和余弦的三角多项式的值，解题的方法是化弦为切，而这道题目要用化弦为切有困难，所以我们就要观察它的特点，没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母是1，而1=αα22cos sin +，这样题目就迎刃而解了解：∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二：14tan=π（145tan 0=）应用举例 例3：求值015tan 115tan 1-+ 解析：题目的形式是分式，联想到两角和的正切公式，而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别，这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同，则自然会想到令1=tan450，后面的问题自然容易解决 解：0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三：形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ，ϕsin 22=+b a b 或设ϕs in 22=+b a a ，ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4：化简x x cos sin 3+解析：化简x x c o s s i n 3+，就意味着将原式化成)s in (ϕ+xa 或)cos(ϕ+x a 的形式，由理论三我们可得解题方法 解：x x cos s in 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2（x x cos 6sin sin 6cos ππ+） =2)6sin(π+x例5：求函数x x x x x f 22cos 3cos s in 2s in )(++=的最大值，并求出此时的x 的值解：x x x x y 22cos 3cos s in 2s in ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx ， 当2242πππ+=+k x ， 即)(8Z k k x ∈+=ππ时，22m a x +=y理论四：单位圆中的三角函数线的应用单位圆中，令半径1=r ，给出了任意角的三角函数的几何形式，为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫；同时三角函数线也是精确作出正弦函数，余弦函数，正切函数图象的理论依据，这为后面的学习打下了很好的基础。
三角函数中的1
三角函数中的1
居小娟
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】在高中数学《三角函数》一章中，关于“1”的应用非常广泛，“1”经常出现在关于三角函数式的化简、求值及证明中，它的变换对解答这类题目有至关重要的作用．下面，笔者就对这类题目中的“1”的变换作个总结。
【总页数】2页(P1-2)
【作者】居小娟
【作者单位】北京市第140中学,100054
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.“三角函数线”在《三角函数》教学中的研究现状及教学建议 [J], 赵久勇;孟素红
2.三角函数线在三角函数教学中的应用 [J], 卓秀清
3.在鼓励中前进在前进中探索在探索中完善——记高三三角函数的一节复习课 [J], 任运广
4.在鼓励中前进在前进中探索在探索中完善——记高三三角函数的一节复习课[J], 任运广
5.分类思想在三角函数、反三角函数教学中的渗透 [J], 罗华
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2020学年高中数学第1章三角函数章末复习课讲义苏教版必修4(2021-2022学年)
第１章三角函数任意角的三角函数概念(1）已知角α的终边过点P(-4m，3m）(m≠0），则2sｉｎα+ｃoｓα的值是＿_____＿＿．(２）函数y=错误!+错误!未定义书签。
的定义域是___＿＿＿＿_.思路点拨：(1）根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负.(２)利用三角函数线求解.（1）错误!未定义书签。
或－错误!(2)错误![(１)r=|OP|＝错误!未定义书签。
=5｜ｍ|。
当ｍ＞0时,sin α＝错误!未定义书签。
＝＼ｆ（３m,5m）＝＼ｆ(3，5）,cｏs α=错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
=-错误!未定义书签。
,∴2sin α＋cｏｓα＝错误!.当m<０时，sin α=错误!=错误!=-错误!未定义书签。
，cos α＝错误!＝错误!未定义书签。
＝错误!，∴2sin α+cos α＝-错误!.故2sin α＋cｏｓα的值是＼f(２,５）或－错误!未定义书签。
.（2)由错误!得错误!未定义书签。
如图，结合三角函数线知:错误!解得2k π≤ｘ≤２k π+错误!未定义书签。
(k ∈Z ),∴函数的定义域为错误!未定义书签。
]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：(１)任意角和弧度制。
理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
(2)任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域．1．(1)已知角α的顶点在原点,始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边经过点P (－＼r(３）,y ），且ｓin α=错误!y (ｙ≠0）,判断角α所在的象限，并求cos α和ta ｎ α的值；（2)若角α的终边在直线y ＝－3x 上,求１０ｓi ｎ α＋错误!的值．[解］ （１)依题意，点P 到原点Ｏ的距离为|PO ｜=错误!，∴sin α＝错误!未定义书签。
＝错误!＝错误!y .∵ｙ≠0，∴9＋3y 2＝１6,∴ｙ２＝错误!未定义书签。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
同角三角函数万能置换公式
同角三角函数万能置换公式是一种用来简化三角函数运算的方法，通过将不同的三角函数之间进行置换，可以简化复杂的三角函数表达式，并得出更简洁的结果。
这种方法可以在解决各种三角函数相关问题时极大地提高计算效率，减少出错几率，是学习和掌握三角函数知识的重要工具之一。
同角三角函数的万能置换公式包括正弦、余弦、正切、余切等函数之间的置换关系，通过这些关系可以将一个复杂的三角函数表达式转化为另一个更简单的形式，从而便于计算和分析。
以下是一些常用的同角三角函数万能置换公式：1. 正弦与余弦的置换：\sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)2. 正切与余切的置换：\tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cot(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)3. 正割与余割的置换：\sec(x) = \csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\csc(x) = \sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)4. 余弦与正切的置换：\cos(x) = \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2}-x\right)5. 正弦与正割的置换：\sin(x) = \sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sec(x) = \csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)这些置换公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，将其转化为更容易计算和理解的形式。
在解决各种三角函数相关问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的置换公式，进行替换和简化，从而得出准确的结果。
除了上述常用的置换公式外，还有一些其他的同角三角函数置换公式，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等，这些公式在解决特定类型的问题时也非常有用。
三角函数之间的关系初中
初中数学三角函数的关系初中常见的三角函数关系公式初中常见的三角函数关系公式主要有三角函数的倒数关系、商数关系、平方关系等等。
1、三角函数的倒数关系公式：tanαcotα=1，sinαcscα=1，cosαsecα=12、三角函数的商数关系公式：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα3、三角函数的平方关系公式：(sina)^2+(cosa)^2=1，1+(tana)^2=(seca)^2，1+(cota)^2=(csca)^2三角函数公式的转换关系除了上面初中常见的三角函数关系公式外，同学们还需要掌握的公式有倍角公式、半角公式、积化和差公式以及两角和差公式等等。
1、倍角公式：sin2a=2sina*cosa，cos2a=(cosa)²-(sina)²=2(cosa)²-1=1-2(sina)²，tan2a=2tana/[1-(tana)²]sin(3a)=3sina-4(sina)³，cos(3a)=4(cosa)³-3cosa，tan(3a)=[3tana-(tana)³]/[1-3(tana)²]2、半角公式：sin^2(a/2)=[1-cos(a)]/2，cos^2(a/2)=[1+cos(a)]/2，tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sin(a)/[1+cos(a)]3、积化和差公式：sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2，cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2，sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24、和差化积公式：sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5、两角和差公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ；cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数关系互余角的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系tanα·cotα=1三角函数的边角关系公式假设在直角坐标系中，点A的坐标为(x，y)，原点到点A的线段长为r，线段r和横坐标的夹角为α，则有三角函数的边角关系公式为：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/x三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2三角函数和差角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)sinα·cscα=1cosα·secα=1倍角公式1、二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
例说“1”在解三角函数问题中的妙用
例说“1”在解三角函数问题中的妙用作者：段会来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期“1”在高中数学解题中往往扮演很重要的角色，若能适时巧妙地用上“1”的一些代换，将“1”进行转化，不但能让学生简化解题步骤，得到事半功倍的效果，还能极大地激发学生学习数学的兴趣.本文就“1” 在解三角函数问题中的运用举例说明.妙用一巧妙运用边长为“1”的直角三角形，帮助记忆特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值在解三角函数问题中应用非常广泛，而学生们往往容易记错，巧妙地运用边长为“1”的直角三角形，可以帮助我们记忆特殊角的三角函数值.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=1，则BC=1，AB=2，可得45°的各三角函数值.同理，如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则∠A=60°，AB=2，BC=3，可得30°和60°的各三角函数值.妙用二巧妙运用sin2α+cos2α=1解题例1（2011年重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin（α-π4）的值为.解法1由sin2α+cos2α=1，sinα=12+cosα，α∈（0，π2），得sinα=7+14，cosα=7-14，所以sinα+cosα=72.所以cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-74，sin（α-π4）=sinαcosπ4-cosαsinπ4=sinαcosπ4-cosαsinπ4=22（sinα-c osα）=24，所以cos2αsin（α-π4）=-142.解法2由sinα=12+cosα，得sinα-cosα=12.两边同时平方，得（sinα-cosα）2=14，即sin2α-2sinαcosα+cos2α=14，整理得2sinαcosα=34，所以（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+34=74.又因为α∈（0，π2），所以sinα+cosα=72.所以cos2αsin（α-π4）=cos2α-sin2α22（sinα-cosα）=-2（sinα+cosα）=-142.点评此类题目通常有多种解法，本文选择其中的两种解法.解法1为常规解法，根据已知条件，利用方程思想分别求出sinα和cosα的值，然后代入所求的式子求解.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将“1”进行代换，避免了解二次方程组的复杂过程.例2（2012年辽宁）已知sinα-cosα=2，α∈（0，π），则tanα=A. -1B.-22C.22D. 1解法1由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，即sin2α=-1.由α∈（0，π），得2α∈（0，2π），所以2α=3π2，即α=3π4，所以tanα=-1.故选A.解法2由sinα-cosα=2，得（sinα-cosα）2=2，所以2sinαcosα=-1，所以2sinαcosαsin2α+cos2α=-1.由已知得cosα≠0，分子分母同时除以cos2α，得2tanαtan2α+1=-1，解得tanα=-1.故选A.点评解法1根据已知条件，解三角方程求出角α的值，然后代入所求的式子求解，但是此法易漏根或增根.解法2是巧妙运用sin2α+cos2α=1，将分母“1”进行代换，化弦为切，避免了解三角方程.妙用三巧妙运用tan45°=1解题例3求1+tan75°1-tan75°的值.解法1因为tan75°=tan（45°+30°）=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=2+3，所以1+tan75°1-tan75°=1+（2+3）1-（2+3）=-3.解法21+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-3.点评解法1利用两角和与差的正切公式求出tan15°，然后代入所求的式子求解，但是此法运算量较大.解法2是巧妙运用tan45°=1，将“1”进行代换，逆用公式，快捷方便.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则