三角函数中“1”的代换
浅议“1”在三角函数中的作用
浅议“1”在三角函数中的作用作者：赵春燕来源：《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中，数字“1”可以说是无处不在，无时不有。
尽管它只是一个普通的小数字，但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。
尤其是在三角函数问题中，如果能够巧妙、合理地使用“1”，那么在解题中就能化繁为简，化难为易。
当你在题海中“山重水复疑无路”时，它就可让你“柳暗花明又一村”，从而思路豁然开朗，效果事半功倍。
下面就结合我个人的教学实践，谈谈“1”在三角函数中的作用。
一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1，可以根据需要互相替换，从而迅速解决问题。
例1：已知α是第一象限角，化简：1+2sinαcosα解析：对于根式的化简，思路主要是去根号，而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式，沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”，根号下就成了完全平方式，然后再根据α是第一象限角，即sinα+cosα>0，从而得出结果。
解：1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=（sinα+cosα）2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2：已知sinx=m-3[]m+5，cosx=4-2m[]m+5求m的值。
解析：本题要求的结果是m的值，而含有m的式子分别表示了sinx和cosx，利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起，从而得到一个关于m的一元二次方程，解方程就可以得到m。
解：Θsin2α+cos2α=1 ∴（m-3[]m+5）2+（4-2m[]m+5）2=1即m（m-8）=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中，1会直接出现在题目中，而1=tan45°=cos0°=sin90°=…，能否将1恰当地换成上述的这些量，将对我们的解题大有帮助。
三角函数中的1
三角函数中的1
居小娟
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】在高中数学《三角函数》一章中，关于“1”的应用非常广泛，“1”经常出现在关于三角函数式的化简、求值及证明中，它的变换对解答这类题目有至关重要的作用．下面，笔者就对这类题目中的“1”的变换作个总结。
【总页数】2页(P1-2)
【作者】居小娟
【作者单位】北京市第140中学,100054
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.“三角函数线”在《三角函数》教学中的研究现状及教学建议 [J], 赵久勇;孟素红
2.三角函数线在三角函数教学中的应用 [J], 卓秀清
3.在鼓励中前进在前进中探索在探索中完善——记高三三角函数的一节复习课 [J], 任运广
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5.分类思想在三角函数、反三角函数教学中的渗透 [J], 罗华
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“1”在三角函数中的灵活运用
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参考文献 【】 丁孝林． ｌ 高校优秀学生干部培养教育研 究． 新西部 ，２０ ，１ ０７ ２ ｆ 李鹏飞，陈露． ２ １ 高校学生干部培养探 究． 人教两。２ ０． ．７ ０８０ ０ ４ 【 李雪． ３ 】 论高校学生干部 的角色定位 与认 知… 培 养学生干部的 “ 己与 宽人 ”意 识． 宁行政 学 院学报 ，２０ ，０ 律 辽 ０９ ８ 【 王 敏 丽 ． 学生 干部 的 选拔 、 培养 与 管理初 探 ． ４ 】 高校 中国科 教创 新 导
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作者简介
翟会会 （ ９５ １８ 一），研究方向：体育教 育训练学。
数学代换法的10种方式
㊀㊀艺术的大道上荆棘丛生,这也是好事,常人都望而生畏,只有意志坚强的人例外.雨果Җ㊀四川㊀蔡勇全㊀㊀对于某些数学表达式问题,若按常规寻求解题思路,往往非常棘手.这时若调整思维方式,考查数学表达式的结构特征,尝试用代换法,往往能茅塞顿开㊁化难为易.本文例谈数学代换法的10种方式,供同学们研读.1㊀对偶代换对偶代换是指对于某些结构特殊的数符表达式,通过合理构造对偶关系,进行适当的运算可以整体解决问题的一种代换.例1㊀求s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n20ʎco s80ʎ的值.令M =s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n 20ʎc o s 80ʎ,N =c o s 220ʎ+s i n 280ʎ+3c o s 20ʎs i n80ʎ,则M +N =2+3(s i n20ʎc o s 80ʎ+c o s 20ʎs i n80ʎ)=2+3s i n100ʎ.①M -N =3ˑs i n (-60ʎ)-c o s 40ʎ+c o s 160ʎ=-2s i n100ʎs i n60ʎ-32.②式①+②得2M =12,M =14,所以s i n 220ʎ+c o s 280ʎ+3s i n20ʎc o s 80ʎ=14.另外,构造三角形,运用正弦定理㊁余弦定理也可解答本题.变式1㊀已知x ㊁y ㊁z ɪ(0,1),求证:11-x +y +11-y +z +11-z +x ȡ3.提示㊀令M =11-x +y +11-y +z +11-z +x ㊁N =(1-x +y )+(1-y +z )+(1-z +x ),则可推理得M +3=M +N ȡ6.变式2㊀求证:12㊃34㊃56㊃ ㊃2n -12n <12n +1(n ɪN ∗).提示㊀令M =12㊃34㊃56㊃ ㊃2n -12n ㊁N =23㊃45㊃67㊃ ㊃2n2n +1,则可推理得M 2<MN =12n +1.2㊀三角代换三角代换是指对于某些代数表达式,通过联想某个三角函数恒等式,将自变量设为关于某三角函数的中间变量的一种代换.三角代换将代数问题转化成三角函数问题,便于运用三角函数的等式和性质来解决问题.例2㊀已知数列{a n }满足a 1=1,a n =1+a 2n -1-1a n -1(n ɪN ∗且n ȡ2),求{a n }的通项公式.由题设易知a n >0,作三角代换a n =t a n θn(n ɪN ∗,θn ɪ(0,π2)),则a n =1+t a n 2θn -1-1t a n θn -1=1-c o s θn -1s i n θn -1=t a n θn -12(n ȡ2),即t a n θn =t a n θn -12(n ȡ2),则θn =θn -12ɪ(0,π2).又因为θ1=1,所以θ1=π4,数列{θn }是以π4为首项㊁12为公比的等比数列,θn =π4ˑ(12)n -1=π2n +1,故a n =t a n π2n +1.着眼于正常数a 和实变数u 的表达式a 2+u 2,可作三角代换u =a t a n θ;着眼于正常数a 和实变数u 的表达式a 2-u2,可作三角代换u =a s i n θ或u =a c o s θ等.变式1㊀已知数列{a n }满足a 0=13,a n =1+a n -12(n ɪN ∗),求证:数列{a n }是单调数列.提示㊀联想半角公式,令a 0=c o s θ=13(其中θ为锐角),则a 1=1+c o s θ2=c o s θ2,进而a 2=c o s θ4,a 3=c o s θ8, ,a n =c o s θ2n .变式2㊀设数列{a n }满足a 1=12,a n +1=1+a n1-a n(n ɪN ∗),则a 2015=.41㊀㊀朝着一定目标走去是 志 ,一鼓作气中途绝不停止是 气 ,两者合起来就是 志气 .一切事业的成败都取决于此.卡耐基提示㊀联想公式t a n (π4+θ)=1+t a n θ1-t a n θ,可作代换a n =t a n θn ,则t a n θn +1=t a n (π4+θn ),则t a n θn +4=t a n θn ,即a n +4=a n ,求得a 2015=a 503ˑ4+3=a 3=-2.变式3㊀已知实数x ㊁y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值.提示1㊀配方得(2x -54y )2+(394y )2=5,令2x -54y =5c o s θ,394y =5s i n θ,其中θɪ[0,2π),最后求得原式的值为85.提示2㊀设x =S c o s α,y =S si n α,{代入已知等式得4S -5S s i n αc o s α=5.3㊀增值代换增值代换是指若一个变量t 在某一常量(或变量)A 附近变化时,则作代换t =A +δ或t =A -δ.例3㊀已知x >y >0,且满足x y =1,求x 2+y 2x -y的最小值.因为x >y >0,可令x =y +α,则α>0,x 2+y 2x -y =(x -y )2+2x y x -y=α2+2α=α+2αȡ2α㊃2α=22(当且仅当α=2,即x =2+62,y =6-22时取等号,所以x 2+y 2x -y的最小值为22.解答本题,可尝试作减量代换y =x -α,利用增值的关系将式子进行改头换面是一种常见的基本技能,因为它可以将 不等 的问题转化为 相等 的问题来研究,从而便于更直观地比较大小.变式㊀设x i (i =1㊁2㊁3㊁4)为正实数,且满足x 1ɤ1,x 1+x 2ɤ5,x 1+x 2+x 3ɤ14,x 1+x 2+x 3+x 4ɤ30,求x 1+12x 2+13x 3+14x 4的最大值.提示㊀令x 1+α=1,x 1+x 2+β=5,x 1+x 2+x 3+γ=14,x 1+x 2+x 3+x 4+θ=30,其中α㊁β㊁γ㊁θ均为非负实数,所以x 1+12x 2+13x 3+14x 4=1-α+12(4+α-β)+13(9-γ+β)+14(16+γ-θ)=10-12α-16β-112γ-14θɤ10,接着检验.4㊀分式代换分式代换是指对如下2种情况的处理:1)当条件中出现形如 a b c =1的式子时,第1种代换策略是令a =x y ,b =y z ,c =z x ,第2种代换策略是令a =y z x 2,b =z x y 2,c =x y z 2;2)当条件中含有ðni =1xi=1时,可作代换x i =a iðnj =1aj(i =1,2,3, ,n,n ɪN ∗),如此便可使题目获得创造性的解决.例4㊀已知a ㊁b ㊁c ɪR +,且满足a b c =1,求12a +1+12b +1+12c +1的最小值.方法1㊀令a =x y,b =y z ,c =z x ,其中x ㊁y ㊁z ɪR +,所以12a +1+12b +1+12c +1=y y +2x +z z +2y +x x +2z .由柯西不等式得[y (y +2x )+z (z +2y )+x (x +2z )]㊃(y y +2x +z z +2y +x x +2z )ȡ(x +y +z )2(其中当x =y =z 时取等号),y y +2x +z z +2y +xx +2z ȡ(x +y +z )2y (y +2x )+z (z +2y )+x (x +2z )=1.所以所求表达式的最小值等于1.方法2㊀令a =y z x 2,b =z x y2,c =x y z 2,其中x ㊁y ㊁z ɪR +,则12a +1+12b +1+12c +1=x 2x 2+2y z +y 2y 2+2z x +z 2z 2+2x y .根据柯西不等式得(x 2x 2+2y z +y 2y 2+2z x +z 2z 2+2x y )㊃(x 2+2y z +y 2+2z x +z 2+2x y )ȡ(x +y +z )2(其中当x =y =z 时取等号),以下同方法1.本题的条件等式和目标代数式都分别是对称的,虽然一看题就可猜出最后结果,但作51只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里.黑格尔为解答题,其演算过程还是要严密的.变式1㊀已知正实数x ㊁y 满足2y +x -x y =0,且不等式x +2y >m 2+2m 恒成立,求实数m 的取值范围.提示㊀由2y +x -x y =0可得2x +1y=1,令2x =a a +b ,1y =b a +b,则x =2(a +b )a ,y =a +b b ,x +2y =2(a +b )a +2(a +b )b=4+2(b a +a b )ȡ4+2ˑ2b a ㊃a b=8.由原不等式恒成立得m 2+2m <8,解得实数m 的取值范围是(-4,2).变式2㊀已知x 1㊁x 2㊁x 3㊁x 4ɪR +,且11+x 1+11+x 2+11+x 3+11+x 4=1,求z =x 1x 2x 3x 4的最小值.提示㊀令11+x 1=a a +b +c +d ,11+x 2=b a +b +c +d ,11+x 3=c a +b +c +d ,11+x 4=d a +b +c +d ,其中a ,b ,c ,d ɪR +,x 1=b +c +d a ȡ33b c d a ,x 2=a +c +d b ȡ33a c db ,x 3=a +b +dc ȡ33a b d c ,x 4=a +b +c d ȡ33a b c d ,最后求得z 的最小值等于81.5㊀局部或整体代换局部(整体)代换是指通过观察和分析,把解题的注意力和着力点放在问题的局部(整体)形式和结构特征上,从而触及问题的本质,通过代换,使之化繁为简㊁化难为易.例5㊀求c o s π5-c o s 2π5的值.令y =c o s π5-c o s 2π5,则y 2=co s 2π5+c o s 22π5-2c o s π5c o s 2π5=1+c o s 2π52+1+c o s 4π52-2㊃s i n 2π52s i n π5㊃s i n4π52s i n2π5=12+12(c o s 2π5+c o s 4π5)=12-12ˑ(c o s π5-c o s 2π5)=12-12y ,则y 2+12y -12=0,解得y =12或y =-1(舍去),所以c o s π5-c o s 2π5=12.此外可作对偶代换,令M =c o s π5-c o s 2π5,N =c o s π5+c o s 2π5,则可推导出MN =12N .变式1㊀设x 是实数,求证:(x 2+4x +5)(x 2+4x +2)+2x 2+8x ȡ-10.提示㊀令y =x 2+4x +2,则y ȡ-2.变式2㊀已知x >0,求证:x +1x -x +1x+1ɤ2-3.提示㊀令u =x +1x (u ȡ2).6㊀和差代换和差代换是指对于任意2个实数x ㊁y ,总有x =x +y 2+x -y 2,y =x +y 2-x -y 2.ìîí其原理是a =x +y 2,b =x -y 2ìîí等价于x =a +b,y =a -b .{例6㊀已知实数x ㊁y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值.方法1㊀令x =a +b ,y =a -b ,代入已知等式得3a 2+13b 2=5,则a 2ɪ[0,53],所以有S =x 2+y 2=2(a 2+b 2)=1013+2013a 2,S ɪ[1013,103],则S m a x =103,S m i n =1013,1S m a x +1S m i n=85.方法2㊀由x 2+y 2=S ,令x 2=S 2+t ,y 2=S 2-t ,t ɪ[-S 2,S 2],则x y=ʃS 24-t 2,代入已知等式得4S ʃ5S 24-t 2=5,整理得100t 2+39S 2-160S +100=0,所以39S 2-160S +100ɤ0,解得S m a x =103,S m i n =1013,1S m a x +1S m i n=85.61短时期的挫折比短时间的成功好.毕达哥拉斯一般地,当条件中出现和式ðnk =1a k =s (定值),则可考虑作代换a k =s n +t k (k =1,2,3, ,n ,其中n ɪN ∗),其中ðnk =1t k =0.变式1㊀已知实数x ㊁y ㊁z 满足x +y +z =5,x y +yz +z x =3,求z 的最大值.提示㊀由x +y =5-z ,令x =5-z 2+d ,y =5-z 2-d ,则3=x y +y z +z x =x y +z (x +y )=(5-z2+d )(5-z 2-d )+z (5-z )=(5-z 2)2-d 2+5z -z 2,即3z 2-10z -13=-4d 2ɤ0,解得z m a x =133.变式2㊀解方程组x 1+x 2+ +x 2015=1,x 21+x 22+ +x 22015=12015.ìîí提示㊀令x 1=12015+y 1,x 2=12015+y 2,x 2015=12015+y 2015,代入得y 1+y 2+ +y2015=0,y 21+y 22+ +y 22015+22015(y 1+y 2+ +y2015)=0,则y 21+y 22+ +y 22015=0,则y 1=y 2= =y 2015=0,则x 1=x 2= =x 2015=12015.7㊀分母代换处理某些分子较简而分母相对复杂的分式问题时,通过对分母进行代换可使解题思路变得简洁.例7㊀是否存在常数c ,使得不等式x2x +y+y x +2y ɤc ɤxx +2y +y 2x +y 对任意正实数x ㊁y恒成立?若存在,请求出c 的值;若不存在,请说明理由.假设存在常数c 满足条件,由题意知,c ɤxx +2y +y 2x +y 对任意正实数x ㊁y恒成立,令x +2y =a ,2x +y =b ,{解得x =2b -a 3,y =2a -b 3,代入题设不等式得c ɤ13(2b a +2a b -2)对任意a ㊁b ɪR +恒成立,而13(2b a +2a b -2)ȡ13(4-2)=23,当且仅当a =b >0时取等号,则c ɤ23.另一方面,x 2x +y +y x +2y ɤc 恒成立,同理c ȡ23.综上所述,存在常数c=23满足题意.通过分式中的分母代换,可大幅度地改变结构或简约表述,从而便于后面的变通.变式㊀已知a ㊁b ㊁c ɪR +,求u =a b +3c +b 8c +4a+9c 3a +2b的最小值.提示㊀令x =b +3c ,y =8c +4a ,z =3a +2b ,反解可得a =-13x +18y +16z ,b =12x -316y +14z ,c =16x +116y -112z ,所以a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b=18(y x +4x y )+16(z x +9x z )+116(4z y +9y z )-6148ȡ18㊃4+16㊃6+116㊃12-6148=4748.8㊀常量代换常量代换是指把常量用一个字母或代数式替换,暂时把常量看作变量,通过变动的㊁一般的状态来考查不变的㊁特殊的情形.例8㊀求解方程:x 2+103x +80+x 2-103x +80=20.原方程可化为(x +53)2+5+(x -53)2+5=20,由此令5=y ,因此(x +53)2+y 2+(x -53)2+y 2=20.因为20>103,所以动点P (x ,y )的轨迹是焦点为(ʃ53,0)㊁长轴长为20的椭圆x 2100+y 225=1.代入5=y 得原方程的解为x =ʃ45.解答本题,也可作常数代换-5=y ;本题的几何意义是求椭圆x 2100+y 225=1与直线y =ʃ5交点的横坐标.变式1㊀解不等式:x 2-6x +13+x 2+6x +13ɤ8.提示㊀原不等式可化为(x -3)2+4+(x +3)2+4ɤ8,令4=y 2,最后解得原不等式的解集为[-4217,4217].变式2㊀求证:33+33+33-33<233.提示㊀令33+33=m ,33-33=n ,则m >n >0,m 3+n 3=6.又因为m 2(m -n )>n 2(m -n ),即71㊀㊀故天将降大任于是人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤,空乏其身,行弗乱其所为,所以动心忍性,曾益其所不能.孟子m n (m +n )<m 3+n 3,则(m +n )3=6+3m n (m +n )<6+3(m 3+n 3)=24,m +n <233.9㊀连比或连等代换连比(连等)代换是指对于连比式或连等式的已知条件,通常是设连比式或连等式的值为k ,把大量字母通过转化归结为关于k 的表达式(函数),对k 施行运算,简便而单一.例9㊀已知s i n θx =c o s θy ,c o s 2θx 2+s i n 2θy2=103(x 2+y 2),求y x的值.解㊀令s i n θx =c o s θy=k ,则s i n θ=k x ,c o s θ=k y .代入s i n 2θ+c o s 2θ=1可得k 2=1x 2+y2,所以s i n 2θ=x 2x 2+y 2,c o s 2θ=y 2x 2+y 2,代入c o s 2θx 2+s i n 2θy2=103(x 2+y 2)可得y 2x 2(x 2+y 2)+x 2y 2(x 2+y 2)=103(x 2+y 2),整理得3x 4+3y 4-10x 2y 2=0,即(3x 2-y 2)(x 2-3y 2)=0,所以y x =ʃ3或ʃ33.连比(连等)代换的突出特点是促使条件中的变量大为减少,使问题简单化;本例也可将条件式转化为x y =s i n θco s θ=t a n θ,然后将x =y t a n θ代入已知方程求解.变式㊀已知2015x 3=2016y 3=2017z 3,其中x yz >0,且32015+32016+32017=32015x 2+2016y 2+2017z 2,求证:1x +1y +1z=1.提示㊀设2015x 3=2016y 3=2017z 3=k 3,k >0,则x =k 32015,y =k 32016,z =k 32017,所以原式=3(32015+32016+32017)k 2=32015+32016+32017,k =32015+32016+32017,1x +1y +1z =32015k +32016k +32017k =1.10㊀目标代换目标代换是指先将所求目标用一个待定系数进行代换,并通过它建立关系,再确定待定系数的值,从而求出目标.例10㊀已知x >y >0,且满足x y =1,求3x 3+125y 3x -y的最小值.令3x 3+125y 3x -y的最小值为m ,其中x >y >0,则初步得m >0.由于3x 3+125y 3x -yȡm ,则3x 3+125y 3+ym ȡx m .又因为3x 3+125y 3+ym =x 3+x 3+x 3+125y 3+y m ȡ55x 3㊃x 3㊃x 3㊃125y 3㊃ym =55125x 5(x y )4m =5x 5125m ,所以x m=5x 5125m .解得m =25.经检验,当且仅当x =5,y =55时,3x 3+125y 3x -y取得最小值25.通过放缩不等式求最值,通常要检验等号成立的条件.目标代换策略的本质是 执果索因 ,即假设目标已经存在,从目标出发,受 算2次 思想的启发,建立等式,从而解决问题.变式1㊀已知x ㊁y ㊁z ɪR +,求x y +2y z x 2+y 2+z 2的最大值.提示㊀令x y +2y z x 2+y 2+z 2的最大值为k ,其中x ㊁y ㊁z ㊁k ɪR +.由x y +2y z x 2+y 2+z 2ɤk 得x 2+y 2+z 2ȡ1k x y +2k y z .又因为x 2+y 2+z 2=x 2+m y 2+(1-m )y 2+z 2ȡ2m x y +21-m yz ,则比较可得1k =2m ,2k =21-m ,解得m =15,k =52.变式2㊀若正实数x ㊁y ㊁z 满足x 2+y 2+z 2=1,求2x y +yz 的最大值.提示㊀令x 2+y 2+z 22x y +yz 的最小值为k ,则x 2+y 2+z 2ȡ2k x y +k y z .又因为x 2+y 2+z 2=x 2+m y 2+(1-m )y 2+z 2ȡ2mx y +21-m yz ,则比较得2m =2k ,21-m =k ,{解得m =23,k =23,所以2x y +yz 的最大值为32.综上各例知,数学代换的恰当选取和成功解题,反映着解题者的数学基础㊁数学潜能和思维品质.(作者单位:四川省资阳市外国语实验学校)81。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
专题1-1 三角函数 重难点、易错点突破(含答案)
专题1-1 三角函数重难点、易错点突破（建议用时：180分钟）1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.三、齐次式求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y ＝cos x －12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(－13π4)与tan(－17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 二、化平方式例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))．三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________. 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________． 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0，2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是单调减函数 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sinπx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x 2－sin 2x的最值．例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合．二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x的最值．例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q的最小值．易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值．二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x的奇偶性．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值．专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2. 答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论.例2 证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3，1＝(sin 2x ＋cos 2x )2，所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x cos 2x ＋3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x ＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32. 即原命题得证.点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α，得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α，得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N ＋).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析 因为0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图象如图所示： 可知cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12). 答案 [－12，12) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值.例3 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的单调增区间. (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中， 令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的单调减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1， 所以f (x )＝sin(2x －π3)， 由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z . 答案 x ＝5π12＋k π2，k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例5 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称.由x ＋φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，可得函数的对称轴方程是x ＝x 3π2＋3k π－φ，k ∈Z .令3π2＋3k π－φ＝0，k ∈Z ， 解得φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0，2π)，故φ＝3π2. 答案 3π2点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图： 由图知，x ∈(π4，5π4).答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论.例3 解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1＝(cos x ＋32)2－74， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上是单调增函数，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(－13π4)＝－tan π4，tan(－17π5)＝－tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)上是单调增函数，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5).点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．例2 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)， 所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2.点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2.例3 解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．例4 解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．例5 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图象，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值.∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z ).∴ω＝8k －103(k ∈Z ). ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值.故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图象，如图所示.当k ≤0时，显然成立；当0<k ≤1时，由图象可知： sinπx2≥kx 在[0，1]上成立.综上所述，k ≤1. 答案 (－∞，1]点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断.本题讨论y ＝kx 与y ＝sinπx2的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图象，如图所示.当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数，应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解 原函数变形得：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14.例2 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值．例3 解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2.∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615.点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．例5 解y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－a22－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2，2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(1－t 2)． 例7 解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0,1]上是减少的， 所以当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)． 所以α＋β＝π4或3π4. [剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1)求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π.又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.例3 [错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.例4 [错解] f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x 2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．[正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得sin x ＋cos x ≠－1， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．例5 [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0， ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .。
三角函数之间的关系初中
初中数学三角函数的关系初中常见的三角函数关系公式初中常见的三角函数关系公式主要有三角函数的倒数关系、商数关系、平方关系等等。
1、三角函数的倒数关系公式：tanαcotα=1，sinαcscα=1，cosαsecα=12、三角函数的商数关系公式：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα3、三角函数的平方关系公式：(sina)^2+(cosa)^2=1，1+(tana)^2=(seca)^2，1+(cota)^2=(csca)^2三角函数公式的转换关系除了上面初中常见的三角函数关系公式外，同学们还需要掌握的公式有倍角公式、半角公式、积化和差公式以及两角和差公式等等。
1、倍角公式：sin2a=2sina*cosa，cos2a=(cosa)²-(sina)²=2(cosa)²-1=1-2(sina)²，tan2a=2tana/[1-(tana)²]sin(3a)=3sina-4(sina)³，cos(3a)=4(cosa)³-3cosa，tan(3a)=[3tana-(tana)³]/[1-3(tana)²]2、半角公式：sin^2(a/2)=[1-cos(a)]/2，cos^2(a/2)=[1+cos(a)]/2，tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sin(a)/[1+cos(a)]3、积化和差公式：sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2，cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2，sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/24、和差化积公式：sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]，cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]5、两角和差公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ；sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ；cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)；tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数关系互余角的关系sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系tanα·cotα=1三角函数的边角关系公式假设在直角坐标系中，点A的坐标为(x，y)，原点到点A的线段长为r，线段r和横坐标的夹角为α，则有三角函数的边角关系公式为：sinα=y/rcosα=x/rtanα=y/x三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2三角函数和差角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)sinα·cscα=1cosα·secα=1倍角公式1、二倍角公式正弦形式：sin2α=2sinαcosα正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 2、三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)3、四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)半角公式1、正弦sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、余弦cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、正切tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]诱导公式1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)。
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义县高中 高一数学组 胡克让
三角函数是高中数学的重要内容，与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。
这部分中基本计算公式特别的多，而且在解决三角函数问题时又是基础工具，能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。
这部分公式大致分为三类，现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题，希望能给同学们带来帮助。
在三角函数的求值，化简，证明时，常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化。
常见的代换有：
22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44
αα
αααα
αααα
αααααα
π
π
=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅== 等等。
下面例析几道题，供同学们参考。
例1
已知sin cos αα-=tan cot αα+的值为 .
分析：本题解法有二，一种是将sin cos 2αα-=-
与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α，再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=求出所求值；一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=对tan cot αα+化简变形，发现只需要求出sin cos αα的
值即可，而将sin cos αα-=sin cos αα的求解，进而问题得以解决。
两种方法对比，显然后者简单，而且运算量很少。
解析：sin cos 2
αα-=-Q 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4
1sin cos 8
sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα
∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3
α=-，求下列各式的值：
（1）2232sin
sin cos 5cos 2αααα-+ （2）11sin cos αα
- 分析：这道题很多同学可能会去求解sin α与cos α的值，然后代入即解决了问题，这种思想简单直接，但运用起来却很繁琐，费力。
解决这道题简便的方法是将所求直接转化为tan α的关系式，这就需要将原来代数式中的“1”用22
sin cos αα+来代换。
解析：（1）原式2232sin sin cos 5cos 21
αααα-+= 222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα
-+=+（分子分母同时除以2cos α） 2232tan tan 51032tan 120
ααα-+==+ （2）原式2222sin cos sin cos sin cos αααααα
+=+-（分子分母同时除以2cos α） 22tan 110tan 1tan 13
ααα+==+- 例3 化简：1tan 1tan θθ
+- 分析：可能会有很多同学认为这已经是最简形式，其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化，这就需要对原式中的相关“1”用tan 4π
代换。
解析：原式tan
tan 4tan()41tan tan 4
πθ
πθπθ+==+- 例4 证明：2222tan sin tan sin αααα-=
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。
无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。
解析：方法一（由右到左）
右边22222
tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=- 22
2222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-=左边 因此 2222
tan sin tan sin αααα-=
方法二（由左到右） 左边2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα
=-=-=- 22sin tan αα==右边
因此 2222tan sin tan sin αααα-=
“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验，参透其中的奥秘。