数理经济学第6章课后题答案

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概率论与数理统计课后答案第6章

概率论与数理统计课后答案第6章

概率论与数理统计课后答案第6章第6章习题参考答案1.设是取⾃总体X的⼀个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最⼤似然估计:(1),其中未知,;(2),其中未知,。

2.设是取⾃总体X的⼀个样本,其中X服从参数为的泊松分布,其中未知,,求的矩估计与最⼤似然估计,如得到⼀组样本观测值X 0 1 2 3 4频数17 20 10 2 1求的矩估计值与最⼤似然估计值。

3.设是取⾃总体X的⼀个样本,其中X服从区间的均匀分布,其中未知,求的矩估计。

4.设是取⾃总体X的⼀个样本,X的密度函数为其中未知,求的矩估计。

5.设是取⾃总体X的⼀个样本,X的密度函数为其中未知,求的矩估计和最⼤似然估计。

6.设是取⾃总体X的⼀个样本,总体X服从参数为的⼏何分布,即,其中未知,,求的最⼤似然估计。

7. 已知某路⼝车辆经过的时间间隔服从指数分布,其中未知,现在观测到六个时间间隔数据(单位:s):1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,试求该路⼝车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最⼤似然估计值。

8.设总体X的密度函数为,其中未知,设是取⾃这个总体的⼀个样本,试求的最⼤似然估计。

9. 在第3题中的矩估计是否是的⽆偏估计?解故的矩估计量是的⽆偏估计。

10.试证第8题中的最⼤似然估计是的⽆偏估计。

11. 设为总体的样本,证明都是总体均值的⽆偏估计,并进⼀步判断哪⼀个估计有效。

12.设是取⾃总体的⼀个样本,其中未知,令,试证是的相合估计。

13.某车间⽣产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X服从正态分布,从某天⽣产的产品中随机抽取6个,量得直径如下(单位:mm):14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。

14.假定某商店中⼀种商品的⽉销售量服从正态分布,未知。

为了合理的确定对该商品的进货量,需对和作估计,为此随机抽取七个⽉,其销售量分别为:64,57,49,81,76,70,59,试求的双侧0.95置信区间和⽅差的双侧0.9置信区间。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

⎝ 2 2⎠
2
则X
=Y


1 2

X (1)
= Y(1)


1 2
, X(n)
= Y(n)


1 2
,即
1 2
(
X
(1)
+
X(n)) =
1 2 (Y(1)
+ Y(n) ) + θ
−1 2

可得 E( X ) = E(Y ) + θ − 1 = E(Y ) +θ − 1 = θ , Var(X ) = Var(Y ) = 1 Var(Y ) = 1 ,
n
∑ 由伽玛分布的可加性知 Y = X i 服从伽玛分布 Ga(n, λ),密度函数为 i=1
pY
( y)
=
λn Γ(n)
y n−1 e−λ y
Ι y>0

∫ ∫ 则 E⎜⎛ 1 ⎟⎞ = E⎜⎛ n ⎟⎞ = ⎝ X ⎠ ⎝Y ⎠
+∞ n ⋅ λn y n−1 e−λ y dy = nλn
0 y Γ(n)
n
∑ 4. 设总体 X ~ N (µ , σ 2),X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本.试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计. 解:因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2,

最新《数理金融学》题库答案

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b bb C 1bw0,a,b第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。

1期的两个可能状态 的状态价格分别为a 和b 。

考虑一个参与者,他的禀赋为(e oga&b )。

其效用函数是对数形式1U (C o ;C ia ;G b ) log C o 2(l°gG a logG b )问:他的最优消费/组合选择是什么?解答:给定状态价格和他的禀赋,他的总财富是w e o a e a b e 1b 他的最优化问题是1max C 0,C 1a,C1logc 。

-(log^a logG b )s.t.WGa C1ab C lb) 0G , Ga ,C 1b 0其一阶条件为:1/C o 1-(1/C !a ) 21 匚(1/务)2C 0a C 1a iC o,i给定效用函数的形式,当消费水平趋近于0时,边际效用趋近于无穷。

因此,参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正, 即所 有状态价格严格为正。

在这种情况下,我们可以在一阶条件中去掉这 些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。

因此,i C i 0(i 0,a,b )。

对于C我们立即得到如下解:1 c —, 1 1 c1a , 1 1c2b2 1a2 1b把c的解代人预算约束,我们可以得到的解:2最后,我们有1 1 w 1 wc w,G a ,c1b244可以看出,参与者把一半财富用作现在的消费,把另外一半财富作为未来的消费。

某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。

状态价格高的状态下的消费更昂贵。

结果,参与者在这些状态下选择较低的消费。

2.考虑一个经济,在1期有两个概率相等的状态a和b。

经济的参与者有1和2,他们具有的禀赋分别为:0 200 e : 100 ,e?: 00 ' 50两个参与者都具有如下形式的对数效用函数:1U(c) logc g -(log c a log C D)在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。

高等数学(经管类专业适用)-第6章习题解答

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第6章 概率统计练习6.1.11.观察一次打靶试验中击中的环数,若击中1环记为{1},并设A={奇数环}, B={小于9环},求Ω,A+B ,AB ,A +B .【解】Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A+B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,AB={1,3,5,7} ,A +B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,10}.2.一位工人生产3件零件,设i A ={第i 个零件是不合格品}(1,2,3i =).请用诸i A 表示如下事件:(1) 全是合格品; (2) 全是不合格品;(3) 恰好有一个零件是不合格品; (4) 至少有一个零件是不合格品.【解】(1) 123A A A ;(2) 123A A A ;(3) 123123123A A A A A A A A A ++;(4) 123A A A ++. 练习6.1.21.一个小停车场有20个停车位,现在有6辆车需停在该停车场,有多少种不同的停放方法?【解】620P =20⨯19⨯18⨯17⨯16⨯15=27907200(种)2.学校举办一场十佳歌手赛,现从班上报名的15个同学中选取2个参加,共有多少种选法?【解】215151410521C ⨯==⨯(种) 3.10个螺丝钉中有3个是坏的,从中随机抽取4个,求: (1)恰好有两个是坏的概率; (2)4个全是好的概率.【解】设A ={恰好有两个是坏螺丝钉},B ={ 4个全是好螺丝钉}, (1)因4221037210,63,A n C m C C ====所以3()10A m P A n ==; (2)又4735B mC ==,故1()6B m P B n ==. 练习6.1.31.甲、乙两批种子发芽率分别是0.7和0.8,现从这两批种子中随机地各取一粒,求下列事件的概率:(1)两粒种子都发芽; (2)至少有一粒种子发芽.【解】设A ={甲的种子发芽},B={乙的种子发芽},由于两粒种子是独立地发芽,所以(1) ()()()P AB P A P B ==0.7⨯0.8=0.56;(2) ()()()()P A B P A P B P AB +=+-= 0.7+0.8-0.56=0.94.2.在200名学生中选修统计学的有137名,选修经济学的有50名,选修计算机的有124名.还知道,同时选修统计学与经济学的有33名,同时选修经济学与计算机的有29名同,同时选修统计学与计算机的有92名,三门课都选修的有18名.试求200名学生中在这三门课中至少选修一门的概率.【解】设A ={选修统计学},B ={选修经济学},C ={选修计算机},则 D ={至少选修一门}=A+B+C ,所以()()()()()()()()P D P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ =137200+50200+124200-33200-29200-92200+18200=78(=0.875). 3.某射手的命中率为0.95,他独自重复向目标射击5次,求他恰好命中4次的概率以及至少命中3次的概率.【解】恰好命中4次的概率44155(4)(0.95)(0.05)0.2036P C =≈; 至少命中3次的概率555(3)(4)(5)P P P ++=33244155555(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)(0.95)(0.05)C C C ++≈0.9987.习题6.11.在100件产品中,有2件次品,从中任取5件,问: (1)恰有1件次品的抽法有多少种? (2)没有次品的抽法有多少种? (3)至少有1件次品的抽法有多少种?【解】(1)14298236122807224560C C =⨯=;(2)59867910864C =; (3)142329829872245601520967376656C C C C +=+=.(本题的结果也可借助软件Excel 来求得)2.10个球中有3个红球7个绿球,随机抽取3个球分给3个小朋友,每人一球,求三个小朋友中恰有一个得到红球的概率.【解】用古典概型求解,设A ={三个小朋友恰有一个得到红球},因310n P =,123373m C C P =, 故 21()40m P A n ==. 3.在编号为1,2,…,100的奖券中,规定偶数号或三的倍数号中奖,现从中随机抽取一张,求中奖的概率.【解】设A ={偶数号奖券},B ={三的倍数号奖券},50()100P A =,33()100P B =,16()100P AB = 则C ={中奖奖券}=A +B ,故()()()()()P C P A B P A P B P AB =+=+- =503316100100100+-=670.67100=. 4.有10道判别对错的测验题,一人随意猜答,他答对7道题的概率是多少? 【解】由题意知,猜答10道测验题可看成10重伯努利试验,且0.5p =.所以答对7道题的概率是7731010(7)(0.5)(0.5)0.1172P C =≈. 5.长期统计资料表明,某地区在4月份下雨(设为事件A )的概率为14,刮风(设为事件B )的概率为13,既刮风又下雨的概率为18,求(),(),()P A B P B A P A B +. 【解】因111(),(),()438P A P B P AB ===,所以()3()1(),(),()8()2P AB P AB P A B P B A P B P A ==== 11()()()()24P A B P A P B P AB +=+-=. 练习6.2.11.已知随机变量X 只能取-1,0,1,2这四个值,其相应的概率依次为1232,,,2448c c c c,求常数c 的值.【解】 因11k k p ∞==∑,所以1232122448c c c c c+++=⇒=. 2.某银行举行有奖储蓄活动,现发行有奖储蓄券10万张,其中一等奖100张,二等奖500张,三等奖2000张,现任抽一张储蓄券,试求中奖等级X 的分布律.【解】若不中用{X =0}表示,其概率表示为{}00p P X ==, 根据题意X 为随机变量,其可能取值为0,1,2,3.{}1510010.00110p P X ====, {}2550020.00510p P X ====,{}35200030.0210p P X ====, {}001(0.0010.0050.02)0.974p P X ===-++=.则0k p ≥(0,1,23k =,),且301k k p ==∑.故随机变量X 的分布律为3.某观众拨打电视台热线电话参与活动,已知拨通电话的概率为0.4%,求观众拨打300次至少拨通1次电话的概率.【解】{至少拨通1次电话}的对立事件是{拨通0次电话}所求概率为1-00300300(0.004)(0.996)C 1≈.(本题的结果可借助软件Excel 来求得) 练习6.2.21.求0-1分布的分布函数.【解】由于0-1分布的分布律为:1{}(1)k k P X k p p -==-,0,1k =.当0x <时,(){}()0F x P X x P ==∅=≤;当01x <≤时,(){}{0}1F x P X x P X p ====-≤;当x ≥1时,(){}{0}{1}11F x P X x P X P X p p ===+==-+=….综合以上结果,则有00,()101,1 1.x F x p x x <⎧⎪=-<⎨⎪⎩,,≤,≥2.已知连续型随机变量X 的概率密度为()0kx x f x ≤≤⎧=⎨⎩,03, ,其它. 求(1)系数k ;(2){12}P X <≤.【解】(1) 由概率密度的性质,得3239()1022x kf x dx k xdx k +∞====-∞⎰⎰, 解得29k =, 所以2,03()90,x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩,其它.(2) 221{12}193P X xdx <≤==⎰. .3.设~(0,1)X N ,查表求 (1) {}2P X ≤;(2) {}1P X >-;(3){}0.5P X <. 【解】(1) {2}(2)0.9772P X ≤=Φ=;(2) {1}1(1)(1)0.8413P X >-=-Φ-=Φ=;(3) {}0.5(0.5)(0.5)2(0.5)120.691510.383P X <=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.4.设2~(1,2)X N ,查表求 (1) {}1P X ≤;(2) {}3P X <.【解】(1){}111()(0)0.52P X -≤=Φ=Φ=;(2){}3{33}P X P X <=-<<3131()()22---=Φ-Φ (1)1(2)=Φ-+Φ=0.8413-1+0.9772=0.8185.练习6.2.3某企业生产某种产品,生产出来后畅销的概率为0.7,滞销的概率为0.3.现有二种方案:(1)扩大工厂的规模,如果产品畅销可盈利700万元,滞销则亏损300万元;(2)不改变工厂规模,如果产品畅销可可盈利400万元,滞销则亏损100万元.试用决策矩阵表和决策树的方法选择一种最佳方案.【解】(1)用决策矩阵表的方法根据题意,建立如下损益矩阵表(单位:万元)从表可见,根据期望收益值最大的决策准则,选用扩大工厂规模的方案. (2)用决策树的方法由题意,画出对应的决策树如图所示.比较状态点B ,C ,显然扩大工厂规模的数学期望值大,即400>250,点B 和决策点R 之间的方案枝所代表的方案即为所选的最优方案,点B 的期望值即为决策的效益期望值.最后将状态点C 剪掉,采用扩大工厂规模的方案.习题6.21.现有产品10件,其中有3件次品,任意从中取出2件,求取出次品数X 的分布律. 【解】根据题意X 为随机变量,其可能取值为0,1,2.{}2712107015C p P X C ====,{}117322107115C C p P X C ====,{}2332101215C p P X C ====.则0k p ≥(1,23k =,),且317711151515k k p ==++=∑.故随机变量X 的分布律为2.设某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击30次,求击中目标次数X 的分布律.【解】由题意知(30,0.8)X B ,所以X 的分布律为3030{}(0.8)(0.2),0,1,2,,30.kk k P X k C k -===3.包裹的特快专递(EMS)规定:每包不得超过1公斤.令X 为任选一个包裹的重量,其密度函数为0.50()0k x x f x +<≤⎧=⎨⎩(), 1, ,其它. 求(1)系数k ;(2)这类包裹的重量X 至少3/4公斤的概率是多少? (3)这类包裹的重量X 最多1/2公斤的概率是多少? 【解】(1) 由概率密度的性质,得1201()(0.5)(0.50.5)10f x dx k x dx k x x k +∞=+=+==-∞⎰⎰, 所以0.5,01()0,x x f x +<≤⎧=⎨⎩,其它. (2) 1311{}(0.5)34324P X x dx ≥=+=⎰.(3)113{}(0.5)228P X x dx ≤=+=⎰4. 测量某目标距离的误差(单位:mm )2(20,40)X N ,求一次测量误差的绝对值不超过30mm 的概率.【解】{}3020302030()()4040P X ---≤=Φ-Φ (0.25)1(1.25)0.5987=Φ-+Φ=-+=5. 某企业计划推出一款新型产品,企业的备选方案有三种:(1)建立新型的生产线,投入的成本最大,但产量最高;(2)改造原来的生产线,投入的成本比新建生产线少,产量也会相应少些;(3)是继续使用原来的生产线,不会投入相应的成本,产量最少.根据市场需求分析和估计,产品畅销、一般、滞销的概率为0.5,0.3, 0.2.根据产量和销量的不同,企业的盈利情况如下表:(单位:万元)试通过决策分析,确定生产线方案.【解】由企业的盈利情况表,可以将不同方案的期望值计算出来1()500.5150.3100.227.5E A =⨯+⨯-⨯=, 2()300.5200.300.221E A =⨯+⨯+⨯=, 3()100.5100.300.28E A =⨯+⨯+⨯=,比较期望值,选择期望收益值最大的方案作为最优方案,即确定建立新型生产线的方案. 练习6.3.11、求满足{}0.05P U λ≥=的U 分布的临界值λ. 【解】由0.05α=得,()10.97520.05λΦ=-=,查标准正态分布表得 1.96λ=.2、求满足{}0.01,P T λ≥=10n =的t 分布的临界值λ. 【解】根据0.01α=,19n -=,查t 分布临界值表得 3.25λ=.3、求满足{}2120.95P λχλ<<=,15n =的2χ分布的临界值12,λλ. 【解】由已知114n -=,0.05α=.计算{}2110.9752P αχλ>=-=,查2χ分布临界值表得1 5.629λ=;计算{}220.0252P αχλ≥==,查2χ分布临界值表得226.119λ=.练习6.3.21.乳业有限公司生产的袋装牛奶是用自动包装机包装的.每袋牛奶净含量X 服从正态分布2(,)N μσ,今从一批装好的牛奶中随机地抽取8袋,测其牛奶的净含量(单位:ml )如下:499.5,500,498.5,501.5,500.5,500.5,499.5,500.5.试估计这批牛奶净含量的均值μ与方差2σ.【解】499.5+500+498.5+501.5+500.5+500.5+499.5+500.5500.06258x ==,82221111()(500.0625)0.8169617n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑, 所以2ˆˆ500.0625,0.81696μσ==. (本题的结果可借助软件Excel 来求得)2.已知某种电子元件的寿命服从正态分布2(,)N μσ,现随机抽取10个,测得各电子元件的寿命(单位:小时)如下:3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260试估计这种电子元件寿命的均值μ与方差2σ.【解】3100+3480+2520+3700+2520+3200+2800+3800+3020+3260314010x ==,102221111()(3140)198133.333319n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑, 所以2ˆˆ3140,198133.333μσ==. (可利用软件Excel 帮助计算) 练习6.3.31.设随机变量X 服从正态分布,即2~(,2.8)X N μ,已知一个容量为10的样本,其样本均值1500x =,求总体均值μ的置信区间(置信水平为0.95).【解】根据题意2~(,2.8)X N μ,总体方差2σ已知,求总体均值μ的置信区间, (1)因10.95α-=,则0.05α=,查标准正态分布表得 1.96λ=;(2)由已知,1500x =,10n =, 2.8σ=,计算得1501.7355x +=,1498.2645x =(3)所以μ的置信水平为95%的置信区间为(1498.2645,1501.7355).2.某保险公司要估计去年投保人的平均理赔额,随机地抽取25个投保人,得理赔均值为739.98元,标准差为312.70元,已知理赔额2~(,)X N μσ,试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.【解】根据题意知2~(,)X N μσ,总体方差2σ未知,求总体均值μ的置信区间, (1)因195%α-=,0.05α=,25n =,查t 分布临界值表得 2.064λ=; (2)由已知,739.98x =,312.70s =;计算区间端点值869.06256,x +=610.80744x -=(3)所以μ的置信水平为95%的置信区间为(610.80744,869.06256).3.某超市连续统计了十二个月的销售额(单位:万元),得方差20.305s =,如果销售额2~(,)X N μσ,试求方差2σ的置信水平为95%的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ,总体均值μ未知,求总体方差2σ的置信区间, (1)因195%α-=,0.05α=,111n -=,查2χ分布临界值表得1 3.816λ=,221.92λ=; (2)由已知,20.305s =,计算区间端点值21(1)n s λ-=0.8792,22(1)n s λ-=0.1531;(3)所以2σ的置信水平为95%的置信区间为(0.1531,0.8792).*练习6.3.41.据统计资料知,某地区家庭对食品月支出X 元服从正态分布,即2~(,20)X N μ,现随机抽取9个家庭,得知家庭对食品的平均月支出为780元.是否可以认为居民家庭对食品月支出均值为800元?(0.05α=)【解】由题意知,2~(,20)X N μ,方差2σ已知,要检验总体均值μ. (1)提出假设01:800,:800H H μμ=≠;(2)选取统计量~(0,1)X U N ;(3)对检验水平0.05α=,查标准正态分布表得 1.96λ=,故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞; (4)根据样本值计算出780x =,统计量的值为3u ==,落入拒绝域,所以拒绝接受0H ,不认为居民家庭对食品月支出均值为800元.2.已知某砖瓦厂生产机制砖的抗断强度2kg /cm X 服从正态分布2(,)N μσ,从一批机制砖中随机抽取6块,经测量计算出31.6x =,0.867s =.试在检验水平0.05α=下,检验这批机制砖的抗断强度均值μ是否为232.0kg /cm .【解】由题意知,总体2~(,)X N μσ,其中2σ未知. 要检验总体均值μ. (1)提出假设01:32.0,:32.0H H μμ=≠;(2)选取统计量~(1)X T t n -;(3)对显著性水平0.05α=,15n -=,查t 分布临界值表得 2.571λ=,因此,拒绝域为(, 2.571)(2.571,)-∞-+∞ ;(4)由样本31.6x =,s =0.867.得统计量的值为 1.13t =,不落入拒绝域,因此接受0H .即认为这批机制砖的抗断强度均值μ为232.0kg /cm .3.已知某厂生产的饮料中钙含量服从正态分布2(,2)N μ.现改进了加工工艺,随机抽取了9瓶100ml 加钙饮料,测得其钙含量(单位:mg )分别为:63.5 61.3 58.7 59.6 62.5 63.8 61.5 60.7 59.2 .问新工艺下饮料钙含量的方差是否为4?(0.01)α=【解】由题意知2~(,2)X N μ,均值μ未知,要检验总体方差2σ. (1)提出假设222201:2,:2H H σσ=≠;(2)选取统计量 22220(1)~(1)n S n χχσ-=-;(3)对显著性水平0.01α=,18n -=,查2χ分布临界值表得1 1.344λ=及221.955λ=,因此拒绝域为(0,1.344)(21.955,)+∞ ;(4)由样本值计算出61.2x =,2 3.3625s =,统计量的值为28 3.36256.7254χ⨯==,没有落入拒绝域,故接受0H .认为新工艺下饮料钙含量的方差是4.习题6.31.某百货公司准备在某地设置分店,为了确定分店的规模和商品的种类,需要知道该地区住户人均年收入情况,为此,在该地区随机抽查了10户居民,得人均年收入(单位:元)如下1213,1203,1106,1208,1307,1206,1101,1203,1216,1328.已知人均年收入服从2(,)N μσ,试估计该地区人均年收入的均值μ与方差2σ.【解】1213+1203+1106+1208+1307+1206+1101+1203+1216+13281209.110x ==,102221111()(1209.1)5131.6619n i i i i s x x x n ===-=-≈-∑∑, 故该地区人均年收入均值μ与方差2σ的估计值分别为:2ˆˆ1209.1,5131.66μσ==. (可利用软件Excel 帮助计算)2.测某型号螺丝钉的长度5次,数值(单位:mm )分别为108.5 109.0 110.0 110.5 112.0假设测量的长度服从正态分布2~(,0.5)X N μ,试求这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间 (0.05α=).【解】根据题意2~(,0.5)X N μ,总体方差2σ已知,求总体均值μ的置信区间, (1)因0.05α=,查标准正态分布表得 1.96λ=; (2)由样本算得,110x =,5n =,0.5σ=,计算得110.44x +=,109.56x =(3)所以这批螺丝钉的长度均值μ的置信区间为(109.56,110.44).3.环保局人员从河流中取出15个水样,测定样本中的污染物的数量,计算得样本方差236.29s =.已知河流中的污染物的数量服从正态分布.求置信水平为95%的总体方差的置信区间.【解】根据题意2~(,)X N μσ,总体均值μ未知,求总体方差2σ的置信区间, (1)因195%α-=,0.05α=,114n -=,查2χ分布临界值表得1 5.629λ=,226.119λ=;(2)由已知,236.29s =,计算区间端点值21(1)n s λ-=90.258,22(1)n s λ-=10.452;(3)所以置信水平为95%的2σ的置信区间为(10.452,90.258).*4.某面粉厂用自动装袋机包装面粉,已知每袋面粉标准重量(单位:kg )2(25,0.1)X N ,长期实践表明方差2σ比较稳定, 从某日生产的袋装面粉中随机抽取10袋, 测得重量(单位:kg )分别为24.9,25.0,25.1,25.2,25.2,25.1,25.0,24.9,24.8,25.1试在检验水平0.05α=下,检验这批袋装面粉的重量均值μ是否合乎标准.【解】由题意知,2(25,0.1)X N ,方差2σ已知,要检验总体均值μ. (1)提出假设01:25,:25H H μμ=≠;(2)选取统计量~(0,1)X U N ;(3)对检验水平0.05α=,查标准正态分布表得 1.96λ=,故拒绝域为(,1.96)-∞- (1.96,+∞; (4)根据样本值计算出25.03x =,统计量的值为0.949u ==,没有落入拒绝域,所以接受0H ,即认为这批袋装面粉的重量均值μ是合乎标准的.复习题6一、选择题1. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )个.A. 241026P ⋅;B. 242610P P ⋅;C. 242610⋅;D.242610P ⋅.2. 设事件A 与B 相互独立,如果11(),(),43P A P B ==则()P A B +=( ) A.712 B. 12 C. 512 D. 133. 若1(,)3X B n 且{2}{3}P X P X ===,则n 为( ). A. 2 B. 4 C. 6 D. 84.掷一颗骰子,用随机变量X 表示出现的点数,则{24}P X <≤的值为( ). A.16; B.13; C. 12; D. 23. 5. 设总体2~(,)X N μσ,且λ为临界值.若2σ未知,2,x s 分别为样本均值和样本方差,样本容量为n ,则总体均值μ的置信区间为( ).A. (,)x x nnλσλσ-+B. (,)ssx x nnλλ-+C .(x x +D .(x x -【答案】 二、填空题1. 口袋中有3个红球2个白球,从中任取2球,则取出的2球颜色相同的概率为______________.2. 一射手向指定目标射击4枪,各枪射中与否相互独立,且每枪射中的概率是0.2,则4枪中恰好射中1枪的概率为 .3. 设(1,4)X N , 则{1}P X ≤ = _________.4. 设{}0.1P T λ≥=,且10n =,则t 分布的临界值λ= .5. 设12,,,n X X X 是取自正态总体2(1,)N σ-的一个样本,X 为样本均值,X 服从的分布为 .【答案】1.223225C C C +=25;2.134(0.2)(0.8)0.4096C =;3.(0)0.5Φ=;4.1.833;5.标准正态分布. 三、解答题1. 在10件产品中有3件次品,现从中任取2件产品,求下列事件的概率: (1)两件都是正品;(2)恰有一件正品;(3)至少有1件正品.【解】设A ={两件都是正品};B={恰有一件正品},D={至少有1件正品},则A 与B 为互不相容事件,且D=A+B(1)P(A)=27210715C C =;(2)P(B)= 1173210715C C C =;(3)P(D)=P(A+B)=1415 . 2. 三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为111,,543.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率.【解】设i A ={第i 人破译密码},1,2,3i =,则123111(),(),()543P A P A P A ===,由题意,所求概率为1231231234323()1()1()()()15435P A A A P A A A P A P A P A ++=-++=-=-= 3. 设随机变量2(2,)X N σ ,且1{2}0.32P X <<=,求{0}P X <.【解】因1212232{2}()()0.5[1()]0.322P X σσσ--<<=Φ-Φ=--Φ=, 可得3()2σΦ=0.8,查表得30.842σ=,即σ=10.56, 所以02{0}()1(1.12)10.8686P X σ-<=Φ=-Φ=-=0.1314.4. 某工厂生产一种螺钉的长度服正态分布,为测量产品的长度(单位:mm ),现抽取10件,测得长度如下:32,33,30,36,38,39,35,37,36,34试估计这种产品的总体均值μ与总体方差2σ.【解】32+33+30+36+38+39+35+37+36+3410x ==35,10222111170()(35)7.778199n i ii i s x x x n ===-=-=≈-∑∑, 所以这种产品均值μ与方差2σ的估计值分别为:2ˆˆ35,7.778μσ==. 5.某果树场有一批红枣树,根据长期资料分析知,其每株产量服从正态分布,产量方差为4002kg .现随机抽9株,产量(单位:kg )分别为:112,131,98,105,115,121,90,110,125.求这批红枣树每株平均产量的置信水平为0.95的置信区间.【解】根据题意2~(,20)X N μ,总体方差2σ已知,求总体均值μ的置信区间, (1)因10.95α-=,即0.05α=,查标准正态分布表得 1.96λ=; (2)由样本算得,10079x =,9n =,20σ=,计算得124.96x =,98.82x -= (3)所以这批红枣树每株平均产量μ的置信区间为(98.82,124.96).。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案-1

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案-1

1
E (Y(1)Y( n ) ) = ∫ dy( n ) ∫
0
1
y( n )
0
y(1) y( n ) ⋅ n(n − 1)( y( n ) − y(1) ) n−2 dy(1) = ∫ dy( n ) ∫
0
1
y( n )
0
y(1) y( n ) ⋅ n ⋅ (−1)d ( y( n ) − y(1) ) n−1
则 X = Y +θ −
⎧0, y < 0; ⎪ pY ( y) = I0<y<1, FY ( y ) = ⎨ y , 0 ≤ y < 1; ⎪1, y ≥ 1. ⎩
有 Y (1)与 Y (n)的密度函数分别为
p1 ( y ) = n[1 − FY ( y )]n−1 pY ( y ) = n(1 − y ) n−1 Ι 0< y<1 , pn ( y ) = n[ FY ( y )]n−1 pY ( y ) = ny n−1Ι 0< y<1 ,
故 1 / X 不是λ的无偏估计.
ˆ) > 0 ,试证 (θ ˆ) 2 不是θ 2 的无偏估计. ˆ 是参数θ 的无偏估计,且有 Var(θ 3. 设 θ ˆ) = θ ,有 E[(θ ˆ) 2 ] = Var(θ ˆ) + [ E (θ ˆ)]2 = Var(θ ˆ) + θ 2 > θ 2 ,故 (θ ˆ) 2 不是θ 2 的无偏估计. 证:因 E (θ
ˆ1 , µ ˆ2 , µ ˆ 3 都是总体均值µ 的无偏估计; 故µ
ˆ1 ) = 因 Var(µ 1 1 1 1 1 1 14 Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 , 4 9 36 4 9 36 36 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 2 ) = Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 , Var(µ 9 9 9 9 9 9 3 1 1 4 1 1 4 1 ˆ 3 ) = Var( X 1 ) + Var( X 2 ) + Var( X 3 ) = σ 2 + σ 2 + σ 2 = σ 2 , Var(µ 36 36 9 36 36 9 2

概率与数理统计第六章习题参考解答

概率与数理统计第六章习题参考解答

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解:10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ,即2b X =,解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解:202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ,即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解:(1)由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A 求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解:(1)()E X λ= 令11μ=A ,即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx ni ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆnii x x n λ===∑ (2)由(1)知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解:(1)似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01nii x d L p ndp pp=-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pnxp n dp p L d ni i解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ (2)155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解:由22()2()x f x μσ--=(1)2σ已知,似然函数22122()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x e μμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑(2)μ已知,似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x n x ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i i x n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni ixn L d d解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ,故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解:(1)矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=,得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22ni i x x n θ===∑ (2)2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33n ii x x n θ===∑(3) ),(~p m B X ,m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解:(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解:1212222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i ni i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβni i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解:(1)由1/2EX μθ==,得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第六章

《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第六章

习题六1.设总体X ~N (60,152),从总体X 中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100~(0,1)/X Z N nμσ-=即 60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N (4.2,52)中抽取容量为n 的样本,若要求其样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于0.95,则样本容量n 至少取多大? 【解】4~(0,1)5/X Z N n-=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<<2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φ(0.4n )=0.975,故0.4n >1.96,即n >24.01,所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N (1000,σ2)(单位:小时),随机抽取一容量为9的样本,并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误,事后失去了此试验的结果,只记得样本方差为S 2=1002,试求P (X >1062). 【解】μ=1000,n =9,S 2=10021000~(8)100/3/X X t t S n-==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t ->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本,假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上,求总体的标准差. 【解】~(0,1)/X Z N nσ=,由P (|X -μ|>4)=0.02得P |Z |>4(σ/n )=0.02,故210.02σ⎡⎤⎛-Φ=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭查表得2.33,=所以5.43.σ== 5.设总体X ~N (μ,16),X 1,X 2,…,X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本,S 2为其样本方差,且P (S 2>a )=0.1,求a 之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S a P S a P χχχ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭查表得914.684,16a= 所以 14.6841626.105.9a ⨯==6.设总体X 服从标准正态分布,X 1,X 2,…,X n 是来自总体X 的一个简单随机样本,试问统计量Y =∑∑==-ni ii i XX n 62512)15(,n >5服从何种分布? 【解】2522222211~(5),~(5)i nii i i XX X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立. 所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X ~N (20,3)的容量分别为10,15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值,Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),Y ~N (20,315),且X 与Y 相互独立. 则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N = 所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X ~N (0,σ2),X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】~(0,1),iX N σi =1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立, 所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布,参数为(10,5).9.设总体X ~N (μ1,σ2),总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,1n X 和Y 1,Y 2,…,2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本,则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 则122222112211()(1),()(1),n n ij i j XX n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X ~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X 2n (n ≥2)是总体X 的一个样本,∑==ni i X n X 2121,令Y =∑=+-+ni i n iX X X12)2(,求EY .【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则 21111,222nn i ii i X X Z Z nn =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x-e 21 (-∞<x <+∞),X 1,X 2,…,X n 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为S 2,求E (S 2).解: 由题意,得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xxx E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰ 所以2()2E S =.。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1

n
∑ 4. 设总体 X ~ N (µ , σ 2),X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本.试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计. 解:因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2,
( X i+1

Xi
)2
是σ
2
的无偏估计.
5. 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本,
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X

1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计,问何者更有效?
证:因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ,有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ,
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3.
证:因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ
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第六章 习题答案1.考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件 解:可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ,1max =y对于)0,1(B 来说,有112221≤=+x x ,因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2.考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件 解:利用图解法求的均衡点为)0,0(o ,0min =y求法同上,可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件 解:利用图解法求的均衡点为)0,0(o ,0min =y求法同上,可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4.写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解:)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5.求解下面最优化问题(1)⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y (4)⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f (5)⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解:(1)22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为:2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== (2)图解法可行域为314,,1055x y λ===,均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为:12112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为:1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为:2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6.考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明:(1)均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件;(2)当引进新乘数00≥λ,把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ,则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

解:(1)312112(,,)(1)L x x x x x λλ⎡⎤=+---⎣⎦一阶必要条件为:211231231213(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪=-=⎨∂⎪⎪⎡⎤---=⎣⎦⎪≥---≥⎪⎩不符合K-T 条件。

(2)此时,31200112(,,,)(1)L x x x x x λλλλ⎡⎤=+-+⎣⎦一阶必要条件为:201123123123(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪==⎨∂⎪⎪⎡⎤-+=⎣⎦⎪≥-+≥⎪⎩ 当00λλ==时,符合K-T 条件7.消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为2121),(x x x x U =假设消费者的收入为12元,两种商品价格分别为2,121==p p 。

试求最优的商品组合。

解:由题意知,112212212P x P x x x +=+≤1212(,,)(212)L x x x x λλ=+-一阶必要条件为:121212020(212)00,212L x L x x x x x λλλλ⎧∂==⎪∂⎪⎪⎪∂=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎪⎩解得126,3,x x λ=== 8.求解消费者问题Mx p x p t s x x x U ≤++=221121..ln )(max α效用极大值点,并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。

解:12121122(,,)ln ()L x x x x p x p x M λαλ=+-+- 一阶必要条件为:112221122112210()00,Lp x L p x x p x p x M p x p x Mλαλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1121211,,M p x x p p p ααλ=-== 1222120000p H p x p p α⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭验证其为负定。

9.一个消费者生活在小岛上,那里只生产两种产品,x 和y ,生产可能前沿是20022≤+y x ,他消费所有的产品,她的效用函数是3xy U =,这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束,约束条件是20x y +≤ (1)写出库恩—塔克一阶条件(2)求消费者最优的x 和y ,确定约束条件是否发挥限制作用。

解:(1)32211212(,,,)(200)(20)L x y xy x y x y λλλλ=-+--+-K-T 一阶条件为:31221222212221220320(200)0(20)0,0,2000200L y x xL xy y x x y x y x y x y λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=--≥⎪∂⎪⎨+-=⎪+-=⎪⎪≥+-≤⎪⎪+-≤⎩ (2)假设第二个约束条件(定量配额)没有发挥作用,由互补松弛性得20λ=,故有312122120320(200)0y x xy y x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得1x y λ===20x y +≤故为K-T 条件最终解。

反之21λ=32222030(20)0y xy x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得25,15,3375x y λ===,因22200x y +>故被拒绝。

10.一家电子公司在外国设立一个发电站。

现在需要规划其产能。

电力需求的高峰时段的需求函数是11400Q P -=,非高峰时段的需求函数是22380Q P -=。

变动成本是20(两个市场都要支付),产能成本是每单位10,只要一次支付并且可以在两个时期中使用。

(1)写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。

(2)求出这个问题中的最优产量和产能。

(3)每个市场分别能支付多少(即1λ和2λ的值是多少)(4)现在假设产能成本是每单位30(只需要支付一次)。

求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用(即1λ和2λ)。

11.给定最优化问题⎩⎨⎧>=≥=0,x ,,2,1)(s.t.)min m i r x G F(x y i i(1) 为了得到可应用的极大化的充分条件,哪些凹—凸条件需要追加在F 和i G 上? (2) 论述极小化问题的库恩—塔克条件。

解:(1)对于极大化问题,存在下列充分条件:⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(max n i x m j b g t s f y i j jx x 如果满足:a.目标函数)(x f 为凹函数且可微;b.每个约束函数)(x jg 为凸函数且可微;c.点*x 满足库恩—塔克极大化条件。

则点*x 为目标函数()y f =x 的整体极大值点。

对于极小化问题,存在下列充分条件:⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(min n i x m j b g t s f y i j j x x 如果满足:a.目标函数()f x 为凸函数且可微;b.每个约束函数)(x j g 为凹函数且可微; C.点*x 满足库恩—塔克极小化条件。

(2)构造拉格朗日函数])([)(),(1i mi i i r x G x f x L --=∑=λλ,如果若*x 为该问题的均衡解,则存在拉格朗日乘数0λ≥*使得)(**λ,x 满足库恩—塔克必要条件:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂≥≤∂∂=∂∂≥≥∂∂************mi x L x L x x L x x x x L ii i i ,,2,10),(00),(0),(00),( λλλλλλλλ12.对于下面问题,库恩—塔克充分性定理是否适用(1)⎩⎨⎧≥≥+-+-=0,4..)4()3(min 21212221x x x x t s x x y ,(2)⎩⎨⎧≥≥+-+=0,04..2 min 21212121x x x x x t s x x y 13.考虑如下模型⎩⎨⎧≥≥≥++=0,02..min 21212221x x x x t s x x y (a )库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗?库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗?(b )写出库恩—塔克条件,并求解最优值(**21,x x )。

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