第四章 练习题及参考答案

第四章 静态场的解 练习题1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置（2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3）解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。

（2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=4321011114r r r r q πεφ 其中，()()()()()()()()222422232222222121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++=++++=+++-=+-+-=2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为d 。

证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232dQa 。

证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－Q 连线上大小分别为Q Daμ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。

可见Q Q ''',构成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：图1图2q -q+q -2322DQa D a Q D a ql p =⨯==。

结论得证。

3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。

利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。

建立直角坐标系，由边界条件(ϕ球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。

B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。

由图示及点电荷的电位公式得：0)(4)(4)(00=+'++=f a q a d q A πεπεϕ，0)(4)(4)(00=-'+-=f a q a d q B πεπεϕ。

解此方程组得：da f q d a q 2,=-='。

所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q rq ''+=0044πεπεϕ。

其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。

值分别为21222122])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。

4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （〉d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算球外任一点的电位。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果，q daq -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。

所以任意场点P 处的电位为：r q r q rq ''''+''+=000444πεπεπεϕ其中r r r ''',,分别是点电荷q 、q '和q ''到场点P 的距离（可在具体坐标系中表示出来）。

5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h 。

（1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。

（2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为－1。

解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0=ρ。

故电位函数满足拉普拉斯方程 02=∇ϕ。

建立坐标系，令0=z 为导体平面，已知点电荷位于z 轴上，坐标为（0，0，h ）。

边界条件为： 0)0(,0)(===∞z ϕϕ。

则镜像电荷位于z 轴上（0，0，h -）点，大小为-1.于是空间任意场点P 【坐标为（z y x ,,），】的电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为/004141r rπεπεϕ-+=。

其中r r ',是场点分别到已知点电荷1与镜像电荷-1的距离，其值分别为2222222)(,)(h z y x r h z y x r +++='-++=。

（2）证明：由上题电位值可计算出P 点的电场强度各分量的值份分别为)(41),11(4),11(4330330330r h z r h z E r r y E r r x E zy x '+--='-='-=πεπεπε 由静电场的边界条件s n D ρ=，可得导体表面的电荷面密度为：232220)(2h y x hE Z s ++-==περ所以导体表面上总感应电荷为：1)(223222-=++-=='⎰⎰⎰∞∞-∞∞-h y x dxdy hds q s πρ ，结论得证。

6、如题图（a ）所示，在0<z 的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q 。

求 （1）0>z 和0<z 的两个半空间内的电位；（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q '。

解：（1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。

根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（c ）所示）q q εεεε-'=-+，位于 h z -= 0q q εεεε-''=+， 位于 h z = 上半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q '共同产生，即10100222200444()()q q R R q r z h r z h ϕπεπεπεεε'=+'⎧⎫=-⎨⎬++-++⎪⎪⎩⎭ 下半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q ''共同产生，即2222042()()q q R r z h ϕπεπεε''+==++-（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为()1200120()p z z z z E E σε===•-=-n P P0210022320()()2()()z hqz zr h εεϕϕεπεε=-∂∂=-=-∂∂++极化电荷总电量为02232000()d 2d d ()P P P S hq rq S r r r r h εεσσπεε∞∞-===-++⎰⎰⎰题 4.24图（b ）图 2.13 zqεh ε hq '1RPR 'o题 4.24图（a ） zqεho0ε z0εh0ε q q ''+2RPo题 4.24图（c ）00()qq εεεε-'=-=+ 7、如图示，一个半径为R处有一个点电荷q 。

（1）求点电荷q 与导体球之间的静电力； （2）证明当q 与Q 同号，且DR R D RD q Q --<2223)( 成立时，F 表现为吸引力。

解：（1）导体球上除带有电荷量Q 之外，点电荷q 还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。

根据镜像法，像电荷q '和q ''的大小和位置分别为（如题图所示）q D R q -='， DR d 2='q DRq q ='-=''，0=''d 导体球自身所带的电荷Q 则与位于球心的点电荷Q 等效。

故点电荷q 受到的静电力为2200()4()4q q q q Q qF F F F qq q D q D d D πεπε'''→→→=++'''+=+'-()2220()4q Q R D q Rq D D D R D πε⎧⎫+⎪⎪=-⎨⎬⎡⎤⎪⎪-⎣⎦⎩⎭ （2）当q 与Q 同号，且F 表现为吸引力，即0<F 时，则应有()[]0)(222<--+D R D D Rq D q D R Q由此可得出DRR D RD q Q --<2223)(8、已知一点电荷q 与无穷大导体平面相距为h ，若把它移动到无穷远处需要作多少功？解：建立一维直角坐标系，坐标原点位于无穷大导体平面上。

令已知点电荷q 位于坐标轴上，距坐标原点为h 。

直接计算电场力做功为⎰•=l d E q W ρρ其中电场是已知点电荷q 所在空间的电场（由q 以外的电荷所激发），即镜像电荷q '在此空间产生的电场：y ye y qe y q E ˆ)2(4ˆ)2(42020πεπε-='=ρ 则要求的功为h q dy y qq qEdy l d E q W h022016)2(4πεπε-=-==•=⎰⎰⎰∞ρρ 可见，电场力做负功，则外力克服电场力做功为 hq W 0216πε=9、无限大导体平面上方有一电荷线密度为l ρ的长直线电荷，电荷线与导体平面的距离为h ，求此电荷线单位长度所受的力。

解：由于连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理可知，同样可以应用点电荷的平面镜像法求解。

因此，长直线电荷l ρ的镜像电荷为线密度为l l ρρ-='，距离导体平面为h 的电荷。

已知线电荷l ρ所受的力即镜像电荷l ρ'在此空间产生的电场E ρ所施加。

其电场为 r lerˆ π20ερ-=E ρ 则长度为L 的线电荷l ρ（总电荷L Q l ρ=）所受的电场力为hLh L l l l π4)2( π2020ερερρ-=-==QE F故单位长度所受的力为： hL Fl π402ερ-==f10、一导体长槽两侧壁向y 方向无限延伸且电位为零，槽底面电位为0U ，如图所示。

求槽横截面内的电位分布。

解：由于所求区域无源，且为二维场，电位函数()y ,x φ满足的拉普拉斯方程为： ()022222=∂∂+∂∂=∇yx y ,x φφφ边界条件为：00=ϕ=x0=ϕ=a x00U y =ϕ= 0=ϕ∞=y利用分离变量法，令：()()()y g x f y ,x =φ 则得：0022222222=+=+=+y x y x k k g k dyg d f k dx fd 根据边界条件00===+∞→==y a x x φφφ，()y ,x φ的通解可写为：再由边界条件，可得()y an n n ex a n A y x ππφ-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑sin ,11sin U x a n A n n y =⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞==πφ利用三角函数的正交归一性，求得n A 为：()⋅⋅⋅==1,3,540n n U A n π则得槽内的电位分布为()y an n ex a n n U y x πππφ-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑sin 4,...5,3,1011、如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。