位错习题解答
位错习题2012.10
1
5’
3
3’ 4’ 2’ 1’ b
0
0’
2、 设面心立方晶体中的为滑移面，位错滑移后的滑
移矢量为a [11 0 ] /2
（1）在晶胞中画出柏氏矢量b的方向并计算出其大小。 （2）在晶胞中画出引起该滑移的刃型位错和螺型位 错的位错线方向，并写出此二位错线的晶向指数 。
3、 假定某面心立方晶体可以开动的滑移系为 (11 1) [011]， 试回答： （1）写出引起滑移的单位位错的相对矢量。 （2）如果滑移是由纯刃型位错引起的，试指出位错 线的方向。 （3）指出上述情况下，滑移时位错线运动的方向。
11、在fcc晶体的(-111)面上，全位错的柏氏矢量有哪些？ 如果它们是螺型位错，能在哪些面上滑移和交滑移? 12、面心立方晶体中，在(111)面上的单位位错 a[-110]/2，在(111)面上分解为两个肖克莱不全位错， 请写出该位错反应，并证明所形成的扩展位错的宽度 由下式给出：
2
ds
Gb
7、在面心立方晶体的（111）面上有b=a/2[-110] 的位错，试问该位错的刃型分量及螺型分量应处 于什么方向上？在晶胞中画出它们的方向，并写 出它们的晶向指数。 8、若面心立方晶体中有b=a/2[-101]的全位错和 b=a/6[12-1]的不全位错，此两位错相遇发生位错 反应，试问： （1）此反应能否进行？为什么？
2
（G切变模ห้องสมุดไป่ตู้，γ层错能）
13、在面心立方晶体中，（111）晶面和（11-1）晶 面上分别形成一个扩展位错： (111)晶面：a[10-1]/2→ a[11-2 ]/6 + a[2-1-1]/6 (11-1)晶面：a[011]/2→ a[112 ]/6 + a[-121]/6 试问： (1) 两个扩展位错在各自晶面上滑动时，其领先位错 相遇发生位错反应，求出新位错的柏氏矢量； (2) 用图解说明上述位错反应过程； (3) 分析新位错的组态性质。
晶体缺陷习题及答案解析
晶体缺陷习题与答案1 解释以下基本概念肖脱基空位、弗仑克尔空位、刃型位错、螺型位错、混合位错、柏氏矢量、位错密度、位错的滑移、位错的攀移、弗兰克—瑞德源、派—纳力、单位位错、不全位错、堆垛层错、汤普森四面体、位错反应、扩展位错、表面能、界面能、对称倾侧晶界、重合位置点阵、共格界面、失配度、非共格界面、内吸附。
2 指出图中各段位错的性质，并说明刃型位错部分的多余半原子面。
3 如图，某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为b 的位错环，并受到一均匀切应力τ。
(1)分析该位错环各段位错的结构类型。
(2)求各段位错线所受的力的大小及方向。
(3)在τ的作用下，该位错环将如何运动?(4)在τ的作用下，若使此位错环在晶体中稳定不动，其最小半径应为多大?4 面心立方晶体中，在(111)面上的单位位错]101[2ab =，在(111)面上分解为两个肖克莱不全位错，请写出该位错反应，并证明所形成的扩展位错的宽度由下式给出πγ242Gb s d ≈(G 切变模量，γ层错能)。
5 已知单位位错]011[2a能与肖克莱不全位错]112[6a 相结合形成弗兰克不全位错，试说明：（1）新生成的弗兰克不全位错的柏氏矢量。
(2)判定此位错反应能否进行？(3)这个位错为什么称固定位错?6 判定下列位错反应能否进行?若能进行，试在晶胞上作出矢量图。
(1)]001[]111[]111[22a a a→+(2)]211[]112[]110[662a a a+→(3)]111[]111[]112[263a a a→+7 试分析在(111)面上运动的柏氏矢量为]101[2a b =的螺位错受阻时，能否通过交滑移转移到(111)，(111)，(111)面中的某个面上继续运动?为什么?8 根据晶粒的位向差及其结构特点，晶界有哪些类型?有何特点属性?9 直接观察铝试样，在晶粒内部位错密度为5×1013/m 2，如果亚晶间的角度为5o ，试估算界面上的位错间距(铝的晶格常数a=2.8×10-10m)。
位错及界面部分第二次习题答案
1、面心立方晶体中，把2个b都为[110]a/2且平行的同号螺位错从100nm推近到8nm作功多少?已知a=0.3nm，G=7×1010Pa。
解：两个同号螺位错（单位长度）间的作用力F 与它们之间的距离d 的关系为位错的柏氏矢量，两螺位错从100nm推近到8nm 作功为2、在同一滑移面上有2个互相平行的位错，其中一个位错的柏氏矢量和位错线方向的夹角为θ。
两位错的b大小相等，夹角为30°，这2个位错在滑移面上的相互作用力是否可能为零？已知常用金属材料的柏松比约为1/33、在3个平行的滑移面上有3根平行的刃型位错线A，B，C，其柏氏矢量大小相等，A，B被钉扎不能动，（1）若无其它外力，仅在A，B应力场作用下，位错C向哪个方向运动？（2）指出位错向上述方向运动时，最终在何处停下？答案见习题册P87：3-314、在Fe晶体中同一滑移面上，有3根同号且b相等的直刃型位错线A，B，C受到分剪应力τx的作用，塞积在一个障碍物前，试计算出该3根位错线的间距及障碍物受到的力（已知G=80GPa，τx=200MPa，b=0.248nm）答案见习题册P88：3-365、写出距位错中心为R1 范围内的位错弹性应变能。
如果弹性应变能为R1 范围的一倍，则所涉及的距位错中心距离R2 为多大?6、单晶体受拉伸形变，拉伸轴是[001]，应力为σ，求对b=a[ -101]/2 及t 平行于[1-21 ]的位错滑移和攀移方向所受的力。
已知a=0.36nm。
解：单位长度位错线在滑移面上所受的力F 是外加应力场在滑移面滑移方向的分切应力τ与柏氏矢量b 的乘积：F g=τb。
在单向拉伸（应力为σ）的情况，τ= σcosλcosϕ。
因b=a[ -101]/2 及t 平行于[1-21 ]，所以滑移面是(111)，因此，λ是[001] −[-101] 的夹角，ϕ是[001] −[111] 的夹角。
根据第1 题的计算知。
而b 的模为，最后得式中σ的单位为Pa。
位错及界面部分第三次习题答案
1、见习题集P86 题3-282、写出位错反应a[ 01-1 ]/2+a[ 2-11]/2 的反应结果，这个反应能否进行？形成的位错能不能滑动？为什么？解：a[ 01-1 ]/2+a[ 2-11]/2→a[100]，根据位错反应的Frank 判据，反应式左端的柏氏矢量平方和为a2/ 2 + 3a2/2 = 2a2，而右端的柏氏矢量平方为a2，因2a2> a2 ，所以反应可以进行。
a[ 01-1 ]/2 位错的滑移面是(111) ，a[ 2-11]/2 位错的滑移面是(11-1) ，所以反应生成的位错线在(111) 与(11-1) 的交线[-110] 上，这个位错的滑移面是(001)，它不是面心立方容易滑移的滑移面，所以不易滑动。
3、某面心立方点阵晶体的(1-11)面上有一螺型单位位错，其位错线为直线，柏氏矢量为a/2[110]，(1)在晶胞中标明该位错的柏氏矢量，该位错滑移产生的切变量是多少？(2)该位错能否自动分解成两根肖克莱不全位错，为什么？并在晶胞中标明两根肖克莱不全位错的柏氏矢量；(3)在（1-11）面上由上述两不全位错中间夹一层错带形成扩展位错。
若作用在该滑移面上的切应力方向为[1-1-2]，该扩展位错如何运动？若切应力方向为[110]，该扩展位错又如何运动？(4)该扩展位错可能交滑移到哪个晶面，并图示之，指出产生交滑移的先决条件是什么？答：(1)√2a/2（hu+kv+lw=0）(2)能（满足几何能量条件）a/6[121]+a/6[21-1]= a/2[110] （几何条件）∣a/6[121]∣2+∣a/6[21-1]∣2 <∣a/2[110]∣2a2/6+ a2/6<a2/2（能量条件）(3)(1-11)面上形成a/2[110]螺位错束集或扩展；扩展位错宽度不变，（1-11）面上沿[1-1-2] 方向运动；(4)(-111)面；在外切应力作用下形成束集。
4、已知某fcc的堆垛层错γ=0.01J/m2，G=7×1010Pa，a=0.3nm，a[11-2]/6a[2-1-1]/6两个不全位错之间的平衡距离为多少？见习题集P86 题3-29 305、设有两个α相晶粒和一个β相晶粒相交于一公共晶棱，已知β相所张的两面角为100°，界面能为γαα为0.31Jm2，试求两相之间的界面能γαβ见习题集P90 题3-426、在铝晶体中，设晶粒内全部为刃型单位位错，其密度ρ=2×1012／m2。
位错习题2012.10
9、在晶体的同一滑移面上有两个半径分别为r1和r2的 位错环，其中r1>r2，它们的柏氏矢量相同，试问在切 应力作用下何者更容易运动？为什么？ 10、判断下列位错反应能否进行？若能进行，试在晶 胞图上作出矢量关系图。 （1）a/2[-1-11]+a/2[111] →a [001] （2）a/2[110] → a/6[12-1] + a/6 [211] （3）a/2[110]→ a/6[112] + a/3 [11-1] （4）a/2[10-1]+a/2[011] →a/2 [110] （5）a/3[112]+a/6[11-1] →a/2 [111]
4、已知某fcc晶体的堆垛层错，γ=0.01J/m2， G=7×1010Pa，a=0.3nm，试确定a/6[11-2]和a/6[2-1-1] 两个不全位错之间的平衡距离。 5、柏氏矢量为a/2[110]的全位错可以在面心立方晶体 的哪些{111}面上存在？试写出该全位错在这些面上分 解为两个a/6<112>不全位错的反应式。 6、试分析在fcc中下述反应能否进行？并指出其中3个 位错的性质类型，反应后生成的新位错能否在滑移面 上运动？ a/2[10-1]+a/6[-121] →a/3[11-1]
2
（G切变模量，γ层错能）
13、在面心立方晶体中，（111）晶面和（11-1）晶 面上分别形成一个扩展位错： (111)晶面：a[10-1]/2→ a[11-2 ]/6 + a[2-1-1]/6 (11-1)晶面：a[011]/2→ a[112 ]/6 + a[-121]/6 试问： (1) 两个扩展位错在各自晶面上滑动时，其领先位错 相遇发生位错反应，求出新位错的柏氏矢量； (2) 用图解说明上述位错反应过程； (3) 分析新位错的组态性质。
中南大学材料科学基础课后习题答案1位错
一、解释以下基本概念肖脱基空位：晶体中某结点上的原子空缺了，则称为空位。
脱位原子进入其他空位或者迁移至晶界或表面而形成的空位称为肖脱基空位弗兰克耳空位：晶体中的原子挤入结点的空隙形成间隙原子，原来的结点位置空缺产生一个空位，一对点缺陷（空位和间隙原子）称为弗兰克耳（Frenkel ）缺陷。
刃型位错：晶体内有一原子平面中断于晶体内部，这个原子平面中断处的边沿及其周围区域是一个刃型位错。
螺型位错：沿某一晶面切一刀缝，贯穿于晶体右侧至BC 处，在晶体的右侧上部施加一切应力τ，使右端上下两部分晶体相对滑移一个原子间距，BC 线左边晶体未发生滑移，出现已滑移区与未滑移区的边界BC 。
从俯视角度看，在滑移区上下两层原子发生了错动，晶体点阵畸变最严重的区域内的两层原子平面变成螺旋面，畸变区的尺寸与长度相比小得多，在畸变区范围内称为螺型位错混合位错：位错线与滑移矢量两者方向夹角呈任意角度，位错线上任一点的滑移矢量相同。
柏氏矢量：位错是线性的点阵畸变，表征位错线的性质、位错强度、滑移矢量、表示位错区院子的畸变特征，包括畸变位置和畸变程度的矢量就称为柏氏矢量。
位错密度：单位体积内位错线的总长度ρυ=L/υ ；单位面积位错露头数ρs =N/s位错的滑移：切应力作用下，位错线沿着位错线与柏氏矢量确定的唯一平面滑移, 位错线移动至晶体表面时位错消失，形成一个原子间距的滑移台阶，大小相当于一个柏氏矢量的值. 位错的攀移: 刃型位错垂直于滑移面方向的运动, 攀移的本质是刃型位错的半原子面向上或向下运动，于是位错线亦向上或向下运动。
弗兰克—瑞德源：两个结点被钉扎的位错线段在外力的作用下不断弯曲弓出后，互相邻近的位错线抵消后产生新位错，原被钉扎错位线段恢复到原状，不断重复产生新位错的，这个不断产生新位错、被钉扎的位错线即为弗兰克-瑞德位错源。
派—纳力：周期点阵中移动单个位错时，克服位错移动阻力所需的临界切应力单位位错：b 等于单位点阵矢量的称为“单位位错”。
位错习题答案
位错习题答案位错习题答案位错是晶体中晶格的缺陷，它对材料的力学性能和物理性能有着重要的影响。
位错习题是学习材料科学与工程中位错概念和位错运动的重要方式。
下面将给出一些位错习题的答案，帮助读者更好地理解位错的性质和行为。
1. 位错的定义是什么？答：位错是晶体中晶格的缺陷，是晶体中原子排列的一种异常。
它是由于晶体中原子的错位或错配而引起的，可以看作是晶体中的一条线或面。
位错的存在会导致晶体中的原子排列出现错位，从而影响材料的力学性能和物理性能。
2. 位错的分类有哪些？答：位错可以分为线状位错和面状位错两种类型。
线状位错是指晶体中原子排列出现线状缺陷，常见的有边错和螺旋错。
面状位错是指晶体中原子排列出现面状缺陷，常见的有晶格错和堆垛错。
3. 位错的运动方式有哪些？答：位错的运动方式可以分为刃位错的滑移和螺位错的螺旋运动。
刃位错的滑移是指位错沿晶体中某个晶面方向滑动，从而改变晶体中原子的排列。
螺位错的螺旋运动是指位错沿晶体中某个晶面形成螺旋线运动，从而改变晶体中原子的排列。
4. 位错对材料的性能有什么影响？答：位错对材料的性能有着重要的影响。
位错的存在会导致材料的塑性变形，使材料具有较好的可塑性和可加工性。
位错也会影响材料的力学性能，如强度、韧性和硬度等。
此外，位错还会影响材料的电学、热学和磁学性能。
5. 如何通过位错来改变材料的性能？答：通过控制位错的类型和密度，可以改变材料的性能。
增加位错密度可以提高材料的塑性和可加工性，但会降低材料的强度。
减小位错密度可以提高材料的强度和硬度，但会降低材料的可塑性。
此外，通过引入位错可以改变材料的晶体结构，从而影响材料的电学、热学和磁学性能。
6. 位错的观测方法有哪些？答：位错的观测方法主要有透射电子显微镜（TEM）、扫描电子显微镜（SEM）和X射线衍射等。
透射电子显微镜可以观察到位错的形貌和分布情况，扫描电子显微镜可以观察到位错的表面形貌。
X射线衍射可以通过位错对X射线的散射来确定位错的类型和密度。
晶体缺陷习题及答案
晶体缺陷习题及答案晶体缺陷习题及答案晶体缺陷是固体材料中晶格结构的一种缺陷或不完美。
它们可以是原子、离子、分子或电子的缺陷，对材料的性质和行为有着重要的影响。
在材料科学和固体物理学中，研究晶体缺陷是一项重要的课题。
下面将为大家提供一些晶体缺陷的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
习题一：什么是晶体缺陷？请简要描述一下晶体缺陷的种类。
答案：晶体缺陷是指固体材料中晶格结构的缺陷或不完美。
晶体缺陷可以分为点缺陷、线缺陷和面缺陷三种类型。
点缺陷包括空位、间隙原子、替位原子和杂质原子等；线缺陷包括位错和螺旋位错等；面缺陷包括晶界、堆垛层错和孪晶等。
习题二：请简要描述一下晶体中的空位缺陷和间隙原子缺陷。
答案：空位缺陷是指晶体中某些晶格位置上没有原子的缺陷。
在晶体中，原子有一定的热运动，有些原子可能会从晶格位置上跳出来，形成空位。
空位缺陷会导致晶体的密度减小，热稳定性降低。
间隙原子缺陷是指晶体中某些晶格位置上多出一个原子的缺陷。
在晶体中，有时会有一些原子占据了本不属于它们的晶格位置，形成间隙原子。
间隙原子缺陷会导致晶体的密度增大，热稳定性降低。
习题三：请简要描述一下晶体中的替位原子缺陷和杂质原子缺陷。
答案：替位原子缺陷是指晶体中某些晶格位置上被其他原子替代的缺陷。
在晶体中，有时会有一些原子替代了原本应该占据该位置的原子，形成替位原子。
替位原子缺陷会导致晶体的晶格常数发生变化，对晶体的性质产生重要影响。
杂质原子缺陷是指晶体中掺入了少量杂质原子的缺陷。
杂质原子可以是同位素原子或不同原子种类的原子。
杂质原子缺陷会导致晶体的导电性、光学性质等发生变化。
习题四：请简要描述一下晶体中的位错和螺旋位错。
答案：位错是指晶体中晶格排列发生错位的缺陷。
位错可以是边界位错或螺旋位错。
边界位错是指晶体中两个晶粒的晶格排列发生错位。
边界位错可以是位错线、位错面或位错体。
边界位错会影响晶体的力学性能和导电性能。
螺旋位错是指晶体中晶格排列呈螺旋状的缺陷。
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练习题Ⅲ（金属所）1.简单立方晶体，一个Volltera过程如下：插入一个(110)半原子面，然后再位移2/]1[，10其边缘形成的位错的位错线方向和柏氏矢量是什么？2.在简单立方晶体中有两个位错，它们的柏氏矢量b和位错的切向t分别是：位错(1)的b(1)=a[010]，t(1)=[010]；位错(2)的b(2)=a[010]，t(2)=[100]。
指出两个位错的类型以及位错的滑移面。
如果滑移面不是惟一的，说明滑移面所受的限制。
3.以一个圆筒薄壁“半原子面”插入晶体，在圆筒薄壁下侧的圆线是不是位错？4.写出距位错中心为R1范围内的位错弹性应变能。
如果弹性应变能为R1范围的一倍，则所涉及的距位错中心距离R2为多大?这个结果说明什么？5.面心立方晶体两个平行的反号刃型位错的滑移面相距50 nm，求它们之间在滑移方向以及攀移方向最大的作用力值以及相对位置。
已知点阵常数a=0.3 nm，切变模量G=7?1010 Pa，? =0.3。
6.当存在过饱和空位浓度时，请说明任意取向的位错环都受一个力偶作用，这力偶使位错转动变成纯刃型位错。
7.面心立方单晶体（点阵常数a=0.36 nm）受拉伸形变，拉伸轴是[001]，拉伸应力为1MPa。
求b=a[101]/2及t平行于[121]的位错在滑移和攀移方向所受的力。
8.若空位形成能为73kJ/mol，晶体从1000K淬火至室温（约300K），b约为0.3nm，问刃位错受的攀移力有多大?估计位错能否攀移？9.当位错的柏氏矢量平行x1轴，证明不论位错线是什么方向，外应力场的?33分量都不会对位错产生作用力。
10.证明在均匀应力场作用下，一个封闭的位错环所受的总力为0。
11.两个平行自由表面的螺位错，柏氏矢量都是b，A位错距表面的距离为l1，B位错距表面的距离为l2，l2> l1，晶体的弹性模量为?。
求这两个位错所受的映像力。
12.一个合金系，在某一温度下的fcc和hcp结构的成分自由能-成分曲线在同一成分有最小值。
问这个成分合金在该温度下的扩散位错会不会出现铃木气团？为什么？13.设使位错滑移需要克服的阻力（切应力）对铜为9.8?105 Pa，对3%Si-Fe合金为1.5?108 Pa，铜、3%Si-Fe合金的切变模量?分别是4?1010 Pa以及3.8?1011 Pa。
问它们在表面的低位错密度层有多厚？已知点阵常数a Cu=0.36 nm，a Fe-Si=0.28 nm。
14.简单立方晶体(100)面有一个b=[001]的螺型位错。
(1)在(001)面有1个b=[010]的刃型位错和它相割，相割后在两个位错上产生弯结还是割阶？(2)在(001)面有一个b=[100]的螺型位错和它相割，相割后在两个位错上产生弯结还是割阶？15.立方单晶体如图所示，三个平行的滑移面上各有两个位错，位错的正向及柏氏矢量如图中箭头所示：bⅠ、bⅢ、bⅤ和bⅥ平行[010]方向，bⅡ平行[100]方向，bⅣ平行于]1[方向，10所有柏氏矢量的模相等；在???作用下，假设位错都可以滑动。
位错滑动后，问A相对A'、B 相对B '、C 相对C ’和D 相对D ’位移了多少？16. 在面心立方晶体中，把2个平行的同号螺位错从100nm 推近到8nm 作功多少?已知a =0.3nm ，?=7?1010Pa 。
17. 晶体中，在滑移面上有一对平行刃位错，它们的间距该多大才不致在它们的交互作用下发生移动?设位错的滑移阻力（切应力）为9.8?105Pa ，?=0.3，?=5?1010Pa 。
(答案以b 表示)18. 设沿位错每隔103b 长度有一个割阶，外力场在滑移面滑移方向的分切应力为5?105Pa ，求位错在室温（约300K ）下的滑移速度。
b =0.3nm ，自扩散系数D s =0.009exp(?1.9eV/kT )cm 2?s -1。
练习题Ⅲ解答（金属所）1. 简单立方晶体，一个Volltera 过程如下：插入一个(110)半原子面，然后再位移2/]101[，其边缘形成的位错的位错线方向和柏氏矢量是什么？解：当简单立方晶体插入一个(110)半原子面，因为(110)面的面间距是[110]/2，相当Volltera 过程的割面是(110)，并相对位移了[110]/2，再填入半个(110)原子面；现在割面还要相对位移2/]101[，即整个Volltera 过程的位移为[110]/2+2/]101[=[010]。
所以在边缘的位错的的柏氏矢量b =[010]，(110)半原子面的边缘是位错，并考虑到刃型分量位错的版原子面的位置，位错线方向]011[。
2. 在简单立方晶体中有两个位错，它们的柏氏矢量b 和位错的切向t 分别是：位错(1)的b (1)=a [010]，t (1)=[010]；位错(2)的b (2)=a [010]，t (2)=[100]。
指出两个位错的类型以及位错的滑移面。
如果滑移面不是惟一的，说明滑移面所受的限制。
解：位错(1)的b (1)? t (1)=1]010[]010[-=⋅，柏氏矢量与位错线平行但反向，所以是左螺位错。
如果不考虑晶体学的限制，则以位错线为晶带轴的晶带的面都是滑移面。
但是由于位错在密排面是容易滑动的，简单立方的密排面是{100}，所以真正的滑移面是(100)和(010)。
位错(2)的b (2)? t (2)= 0]100[]010[=⋅，柏氏矢量与位错线垂直，所以是刃型位错。
刃型位错的滑移面是惟一的，是位错线与柏氏矢量共面的面，其法线方向n 是t (2)?b (2)=[100]，即滑移面是(100)面。
3. 以一个圆筒薄壁“半原子面”插入晶体，在圆筒薄壁下侧的圆线是不是位错？ 解：不是，这个圆筒薄壁“半原子面”构成面缺陷。
如果在立方晶体插入(100)半原子面，如下图1所示。
这时版原子面的边界ABCD 是刃型位错，若位错线方向如图所示，则柏氏矢量b Ⅰ=]001[。
如果再插入(010)半原子面，半原子面的边缘EFGH 是刃位错，若位错线方向如图所示，则柏氏矢量b Ⅱ=]010[。
现在(010)半原子面和原来插入的(100)半原子面相连，如图2所示，DC 位错和EF 位错连接在一起，这时C 和F 结合为一个位错结点，DC 和EF 结合为一个位错，其柏氏矢量b Ⅲ=b Ⅰ+b Ⅱ=]011[。
按这样分析，如果插入一个四方薄壁半原子面，半原子面下方的四方形边缘是位错，但四个边位错的柏氏矢量各不相同，而四边形四个角各有一根位错伸向表面，这四个角都是位错结点，四根伸向表面的位错的柏氏矢量是结点两侧的位错的柏氏矢量之和。
同理，如果插入形状是8面棱柱状的半原子面，在半原子面底部的8条边线是刃位错，他们的柏氏矢量各不相同，但8边形的8个顶角都是位错结点，由结点引向表面的线也是位错线，其柏氏矢量是8边形结点两边的位错的柏氏矢量之和。
如此类推，插入多边形棱柱状的半原子面，在半原子面底部多边形线是刃位错，由结点引向表面的线也是位错线。
但是，如果插入的是圆筒薄壁“半原子面”，这是上述多边形半原子面的极限情况，即多边形的边数趋向无限大，如果说有“位错”存在，则整个圆筒面都布满“位错”，实质上，圆筒面是“面缺陷”，其底部的圆线不是位错。
4. 写出距位错中心为R 1范围内的位错弹性应变能。
如果弹性应变能为R 1范围的一倍，则所涉及的距位错中心距离R 2为多大?这个结果说明什么？解：距位错中心为R 1范围内的位错弹性应变能为bR K b E λπμ12ln4=。
如果弹性应变能为R 1范围的一倍，则所涉及的距位错中心距离R 2为bR K b b R K b λπμλπμ2212ln 4ln 42= 即 bR R λ212= 从上式看出，R 2比R 1大得多，即是说，应变能密度随距位错中心的距离是快速衰减的。
5. 面心立方晶体两个平行的反号刃型位错的滑移面相距50 nm ，求它们之间在滑移方向以及攀移方向最大的作用力值以及相对位置。
已知点阵常数a =0.3 nm ，切变模量?=7?1010 Pa ，?=0.3。
解：A 位错对B 位错的作用力为F i =?ijk (?jl )A (b l )B (?k )B 。
位错A 是正刃型位错，它处在x 3轴，它的应力场有?11、?22、?33和?12项；位错B 是负刃型位错，平行x 3轴，所以上式中的k 只能是3，柏氏矢量平行x 1轴，所以式中的l 只能是1。
对于A 位错对B 位错的作用力的第一分量F 1A →B ，上式的i 等于1，而k =3，那么j 只能是2，但l =1，故：2222122212BBA21123B A 1)()()1π(2)(x x x x x b b F+---==∈→νμξσ 面心立方晶体的柏氏矢量b =nm 212.0nm )2/23.0(2/2==a 。
在滑移面上单位长度B 位错受的最大作用力的值为N/m 1058.3N/m 1050)3.01π(2)10212.0(10725.0)1π(225.0)(39291022maxBA 1---→⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=x b Fνμ 受最大x 1正向作用力的位置是?=3?/8，即x =50tan(3?/8) nm=120.7 nm ，y =50 nm ，以及?=7?/8，即x 1=50tan(7?/8) nm=-20.7 nm ，x 2=50 nm ；受最大x 1负向作用力的位置是?=?/8，即x 1=50tan(?/8)nm=20.7 nm ，x 2=50 nm 、以及?=5?/8，即x 1=50tan(5?/8) nm=-120.7 nm ，x 2=50 nm 。
对于A 位错对B 位错在攀移方向的的作用力F 2A →B ，在作用力的式子中i =2，所以j 只能为1。
22221222122BB A 11213BA 2)()3()1π(2)(x x x x x b b F+---==∈→νμξσ 为了讨论方便，设n =x 1/x 2，上式变为故22222222)1()13()1()13()1(2++=++--=→n n A n n x v b FπBA 2μ其中A 是式中的常数项。
为了求极值，上式对n 取导，并令其等于零，得263=-n n即 577.03/1 0±=±==n n ；时F 2A?B 取得极值。
F 2A?B 随n 的变化如下图所示。
在n =0即B 位错处在（x 1=0，x 2=50 nm ）时，这里虽然是极值，但F 2A?B 不是最大，这里F 2A?B 的大小为：N/m 1043.1N/m 1050)3.01π(2)10212.0(107)1π(229291022B A 2---→⨯-=⨯⨯-⨯⨯⨯=--=x v b Fμ 在n =?0.577即B 位错处在（x 1=?0.577?50 nm=28.85 nm ，x 2=50 nm ）时，F 2A?B 最大，其大小为：N/m 10609.1N/m )1)3/1[(1)3/1(31043.1)1(13)1π(22222222222B A 2--→⨯-=++⨯⨯⨯=++--=n n x v b Fμ 6. 当存在过饱和空位浓度时，请说明任意取向的位错环都受一个力偶作用，这力偶使位错转动变成纯刃型位错。