阶段滚动检测(二)

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阶段滚动检测（二）（第一～四章） （120分钟 160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上) 1.(滚动单独考查)已知命题p:对任意的x ∈R ，有sinx ≤1，则p ⌝是__________. 2.(2011·四川高考改编)复数1i i-+=__________.3.若AB=(2,4),AC =(1,3),则BC =__________.4.(2012·泰州模拟)设i 是虚数单位，若z=11i++ai 是实数，则实数a=__________. 5.已知tan α=12-，则sin 2cos 4cos 4sin α+αα-α的值是__________.6.(滚动单独考查)已知函数f(x)=x 221,x 0x ax,x 0⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩，若f(f(0))=4a ，则实数a=__________.7.已知α∈(0,π)，sin α+cos α=15-，则sin α-cos α=__________.8.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为__________m.9.(2012·南通模拟)如果向量a =(k ，1)与b=(2，k+1)共线且方向相反，则k=__________.10.函数y=sin(2x+3π)图象的对称轴方程是__________.11.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两切线，A 、B 为两切点，那么PA ·PB的最小值为__________.12.(滚动单独考查)如图所示， 单位圆中弧 AB 的长为x,f(x)表示弧 AB与弦AB 所围成弓形 (阴影部分)的面积的2倍，则函数y=f(x)的图 象是__________.13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC=3,BD=2，则(AB DC + )·(AC BD +)= __________. 14.给出下列4个命题:①非零向量a ，b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b的夹角为30°; ②“a ·b ＞0”是“a ，b的夹角为锐角”的充要条件;③将函数y=|x+1|的图象按向量a=(-1,0)平移， 得到的图象对应的函数表达式为y=|x+2|;④在△ABC 中，若(AB AC + )·(AB AC -)=0,则△ABC 为等腰三角形.其中正确的命题是__________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知函数f(x)=cos 2x+sinxcosx (x ∈R). (1)求f(38π)的值; (2)求f(x)的单调递增区间.16.(14分)(2012·苏州模拟)在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A 的大小；(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.17.(14分)(2012·苏北埋刮板输送机四市联考)设平面向量a=(cosx ，sinx)，b =(cosx+sinx)，c=(sin α，cos α)，x ∈R. (1)若a ⊥c，求cos(2x+2α)的值；(2)若x ∈(0，2π)，证明：a 和b 不可能平行；(3)若α=0，求函数f(x)= a ·(b -2c)的最大值，并求出相应的x 值.18.(16分)如图所示，P 是△ABC内一点，且满足AP 2BP 3CP 0++=，设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证：CQ 2CP =.19.(16分)如图所示，设抛物线 y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的不锈钢电热管直线交抛物线于A 、B 两点， 点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明:直线AC 经过原点O.(用向量方法证明)20.(16分)(滚动单独考查电热管)已知函数f(x)=x+a x+b(x ≠0)，其中a,b ∈R. (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1，求函数f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a ∈［12,2］，不等式f(x)≤10在［14，1］上恒成立,求b 的取值范围.答案解析1.【解析】“任意”的否定为“存在”；“≤”的否定为“＞”. 答案：存在x ∈R ，有sinx ＞12.【解析】21ii i ii--+=-+-=-i-i=-2i. 答案：-2i3.【解析】BC AC AB =-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). 答案：(-1，-1) 4.【解析】z=11i 11ai ai a i 1i 222-+=+=+-+（）,又z 为实数，于是a=12. 答案：125.【解析】≧tan α=-12,≨12sin 2cos tan 2311214cos 4sin 44tan 264442-+α+αα+===⨯=α-α-α-⨯-（）.答案：146.【解析】f(x)=x 221,x 0x ax,x 0⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩,≨f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a. 又已知f(f(0))=4a, ≨4+2a=4a,≨a=2. 答案：27.【解析】≧(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=125, ≨2sin αcos α=2425-, 又α∈(0,π),≨sin α＞0，≨cos α＜0，sin α-cos α＞0, 又(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α=124492252525-⨯-=（）. ≨sin α-cos α=75. 答案：758.【解析】如图所示，设塔高为h m. 由题意及图可知: (200-h)·tan60°=200tan60︒. 解得:h=4003(m). 答案：40039.【解析】≧a 与b共线，≨k(k+1)=2，⇒k 2+k-2=(k+2)(k-1)=0， ≨k=-2或1.当k=-2时，a =(-2，1)，b=(2，-1)符合题意， 当k=1时，a =(1，1)，b=(2，2)，不合题意,≨k=-2.答案：-2【误区警示】常忽视共线且方向相反，而错填-2或1，解题时一定要仔细审题，以免增解或漏解.10.【解析】令2x+3π=k π+2π(k ∈Z)，得x=k 212ππ+(k ∈Z). 答案：x=k 212ππ+(k ∈Z) 11.【解析】设∠AOB=θ,θ∈(0,π),则∠BPA=π-θ,≨PA ·PB =|PA ||PB|cos(π-θ)=2|OA|·tan 22θ·(-cos θ) =(cos 1)cos cos 1θ-θθ+=2(cos 1)3(cos 1)2cos 1θ+-θ++θ+=2(cos 1)3cos 1θ++-θ+ ≧cos θ+1∈(0,2),≨PA ·PB ≥33=.当2cos 1cos 1θ+=θ+,即cos θPA ·PB 取最小值为答案：12.【解题指南】可根据f(x)递增速度的快慢解答.【解析】当弦AB 未过圆心时，f(x)以递增速度增加，当弦AB 过圆心后，f(x)以递减速度增加，易知(4)正确. 答案：(4)13.【解题指南】用已知模的向量AC BD 、表示目标向量AB DC、.【解析】由于AB AC CB,DC DB BC =+=+ , 所以AB DC AC CB DB BC AC BD +=+++=- .22(AB DC)AC BD AC BD AC BD AC BD ++=-+=- （）（）（）=9-4=5.答案：514.【解析】①考虑向量差的三角形法则与和的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a ，b 的夹角为0°时，a ·b＞0也成立，结论错误；③由两个函数图象容易判断结论正确；④可得22AB AC = ,即AB=AC,正确.所以①③④正确.答案：①③④ 15.【解析】f(x)=1cos2x 1111sin2x sin2x cos2x 22222++=++11)242π+=++）,(1)311f ()822π=π+=. (2)令2k 2x 2k 242ππππ-≤+≤π+,k ∈Z,≨23k 2x 2k 44πππ-≤≤π+,k ∈Z, 即3k x k 88πππ-≤≤π+(k ∈Z)时，f(x)单调递增.≨f(x)的单调递增区间为［3k ,k 88πππ-π+］(k ∈Z).【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.16.【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a 2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a 2=b 2+c 2+bc, 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA,得cosA=12-， 又≧A ∈(0,π),≨A=23π. (2)由(1)中a 2=b 2+c 2+bc 及正弦定理可得sin 2A=sin 2B+sin 2C+sinBsinC,即2=sin 2B+sin 2C+sinBsinC. 又sinB+sinC=1,得sinB=sinC=12. ≧0＜B ＜3π,0＜C ＜3π,≨B=C, ≨△ABC 是等腰钝角三角形.17.【解析】(1)若a ⊥c ，则a ·c=0，cosxsin α+sinxcos α=0，sin(x+α)=0， 所以cos(2x+2α)=1-2sin 2(x+α)=1.(2)假设a 与b 平行，则即sinx=0，而x ∈(0，2π)时，sinx ＞0，矛盾.所以a 和b不可能平行. (3)若α=0，则c=(0，1)，f(x)=a ·(b -2c)=(cosx ，sinx)·sinx-2)=1-2sinx+223π)，所以f(x)max =5,此时x=2k π-6π(k ∈Z).18.【证明】≧AP AQ QP,BP BQ QP =+=+,≨AQ QP 2BQ QP 3CP 0++++= （）（）, ≨AQ 3QP 2BQ 3CP 0+++= ,又≧A ，B ，Q 三点共线,C ，P ，Q 三点共线,故可设AQ BQ,CP QP =λ=μ, ≨BQ 3QP 2BQ 3QP 0λ+++μ= ,≨(2)BQ (33)QP 0λ+++μ=. 而BQ ，QP为不共线向量,≨20330λ+=⎧⎨+μ=⎩.≨λ=-2,μ=-1.≨CP QP PQ.CQ CP PQ 2CP.=-==+= 故19.【解题指南】先由FA ∥FB建立点A ，B 坐标之间的关系，再证OA ∥OC 即可.【证明】设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),又F(p 2,0)，则C(-p 2,y 2),则FA =(x 1-p 2,y 1),FB =(x 2-p2,y 2),≧FA 与FB共线,≨(x 1-p 2)y 2-(x 2-p 2)y 1=0,即1212p px x 22y y --=，代入221212y y x ,x 2p 2p==整理得，y 1·y 2=-p 2.≧OA =(x 1,y 1),OC =(p2-,y 2),x 1y 2+p 2y 1=21y 2p ·(21p y -)+ p 2y 1=0,≨OA 与OC共线，即A 、O 、C 三点共线，也就是说直线AC 经过原点O.【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答. 20.【解析】(1)f ′(x)=1-2a x ，由导数的几何意义得f ′(2)=1-2a2=3，于是a=-8. 由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上可得-2+b=7， 解得b=9,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-8x+9. (2)f ′(x)=1-2ax. 当a ≤0时，显然f ′(x)＞0(x ≠0).这时f(x)在(-≦,0),(0,+≦)内是增函数. 当a ＞0时，令f ′(x)=0，解得x=当x 变化时，f ′(x)、f(x)的变化情况如表：所以f(x)在(-≦≦)内是增函数，在内是减函数.综上所述，当a ≤0时，f(x)在(-≦,0),(0,+≦)内是增函数；当a ＞0时，f(x)在(-≦，≦)内是增函数，在内是减函数. (3)由(2)知,f(x)在［14,1］上的最大值为f(14)与f(1)中的较大者，对于任意的a ∈［12,2］，不等式f(x)≤10在［14,1］上恒成立，当且仅当()1f ()104f 110⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，即世纪金榜 圆您梦想- 11 - 39b 4a 4b 9a⎧≤-⎪⎨⎪≤-⎩对任意的a ∈［12,2］成立. 从而得b ≤74，所以满足条件的b 的取值范围是(-≦,74］.。