第29讲 等比数列
29等比数列
第二十九讲 等比数列班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23 B.32 C.23或32D ．－23或－32解析：在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6① 又a 4＋a 14＝5②由①、②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∴a 20a 10＝a 14a 4＝23或32. 答案：C2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－1解析：要{a n }是等比数列，{a n ＋1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n ＝na 1＝2n .答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 S 3＝1 2，则S 9 S 3等于( ) A ．1 2 B．2 3 C ．3 4 D．1 3解析：解法一：∵S 6 S 3＝1 2， ∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34.解法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34，故选C.答案：C4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．e解析：ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝lne 10＝10，故选B. 答案：B5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和是( )A ．200B ．150C ．100D ．50解析：由已知得(a n ＋1－a n )2＝0， ∴a n ＋1＝a n ＝5， ∴S 10＝50.故选D. 答案：D6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a n ＝2n －1，a 1＝1，q ＝2，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析：S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377. 答案：3778．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________.解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25， 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.答案：35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －19．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ， ∵S 2＝7，S 6＝91.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，7＋7q 2＋7q 4＝91，∴q 4＋q 2－12＝0，∴q 2＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝a 1(1＋q )(1＋q 2)＝(a 1＋a 1q )(1＋q 2)＝28.答案：2810．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)解析：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，{a n }为非零常数列，故a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)；②若{a n }是等差数列，S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 为an 2＋bn (a ，b ∈R)的形式；③若S n ＝1－(－1)n，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－(－1)n－1＋(－1)n －1＝(－1)n －1－(－1)n，而a 1＝2，适合上述通项公式，所以a n ＝(－1)n －1－(－1)n 是等比数列；④若{a n }是等比数列，当公比q ＝－1且m 为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不成等比数列．答案：①②③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n .解：(1)由已知，当n ≥2时， 2a n ＝(3S n －4)＋(2－32S n －1)，①又a n ＝S n －S n －1，②由①②得a n ＝3S n －4(n ≥2)③a n ＋1＝3S n ＋1－4④③④两式相减得a n ＋1－a n ＝3a n ＋1 ∴a n ＋1a n ＝－12. ∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4，即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2q n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝⎛⎭⎪⎫－12n －1.即11(1)1(2).2n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≥(2)解法一：当n ≥2时S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时S 1＝1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－120 也符合上述公式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.解法二：由(1)知n ≥2时，a n ＝3S n －4， 即S n ＝13(a n ＋4)，∴n ≥2时，S n ＝13(a n ＋4)＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋43.又n ＝1时，S 1＝a 1＝1亦适合上式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列，并求b n .解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3(n ≥1)． ∴{a n }是等比数列．(2)由(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3， 解出a 1＝1，∴b 1＝1. 又∵{a n }的公比为2m m ＋3， ∴q ＝f (m )＝2m m ＋3， n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，推出1b n －1b n －1＝13.∴{1b n }是以1为首项，13为公差的等差数列， ∴1b n ＝1＋n －13＝n ＋23， 又1b 1＝1符合上式，∴b n ＝3n ＋2. 13．已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，得q 2＋1＝54.又q >0，∴q ＝12.(2)解法一：∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，即a 1＝－14，此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列， 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．解法二：由于b n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b 1＝12＋a 1，b 2＝12＋32a 1，b 3＝12＋74a 1，若数列{b n }为等比数列，则b 22＝b 1·b 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋74a 1， 整理得4a 21＋a 1＝0，解得a 1＝－14或a 1＝0(舍去)，此时b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.故存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。
等比数列的性质-高中数学知识点讲解
等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。
高三数学第一轮复习课时作业(29)等比数列B
课时作业(二十九)B 第29讲 等比数列时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2012·厦门外国语月考 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )A ．511B ．1023C ．1533D ．30692．2011·大连模拟 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 3．2011·抚州二模 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋524．2011·汕头期末 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.能力提升5．2011·新余二模 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012，则公比q 等于( )A ．3 B.13 C ．4 D.146．2011·巢湖一检 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．2011·丰台一模 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( ) A ．3或－1 B ．3或1 C ．3 D ．18．2011·琼海一模 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．29．2011·东莞调研 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．10．2011·盐城二模 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，{S n }为数列{a n }的前n项和，则S 11－S 9S 7－S 6的值是________．11．2011·福州质检 在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比q 为________．12．(13分)2011·烟台二诊 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破13．(12分)2011·汕头一模 设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足：b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m 2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈1,3，求实数m 的取值范围．课时作业(二十九)B【基础热身】1．D 解析 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2， ∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝3(1－210)1－2＝3069.2．B 解析 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2， ∴a 29a 12＝(a 1q 8)2a 1q11＝a 1q 5＝2.3．C 解析 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，解得q ＝－12.4．1 解析 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧－4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎨⎧tan A ＝2，tan B ＝3，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.【能力提升】5．C 解析 由已知，有a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012， 两式相减，得a 2011－a 2010＝3a 2010，即a 2011＝4a 2010， 则公比q ＝4.6．C 解析 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)， 因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3.7．C 解析 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，∴a 2k ＝a 1a 2k ，即a 1＋(k －1)d 2＝a 1a 1＋(2k －1)d ，化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0. 把a 1＝4d 代入，得k ＝3.8．C 解析 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则 a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1.解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1. 设a 11－q＝t ，则 S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k ＝t ＝－1.9．63 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得 2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－261－2＝63.10．3 解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 9成等比数列，得 a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 化简，得a 1＝d .S 11－S 9S 7－S 6＝a 11＋a 10a 7＝2a 1＋19da 1＋6d3. 11．3 解析 a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)⎪⎪41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，又a 4＝a 1q 3，a 1＝23，则q 3＝27，即q ＝3.12．解答 (1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n ≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n ≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n ≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列． ∴T n ＝3n ＋n(n －1)2＝n 2＋5n2.【难点突破】13．解答 (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝－n －13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，b n ＝2n 329－29⎝⎛⎭⎫－12n ＝6n ＋2＋(－2)1－n9.(3)S n ＝m ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭－12＝2m 3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，因为1－⎝⎛⎭⎫－12n>0， 所以由S n ∈1,3得11－⎝⎛⎭⎫－12n≤2m 331－⎝⎛⎭⎫－12n， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎝⎛⎦⎤1，32；当n 为偶数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎣⎡⎭⎫34，1，所以1－⎝⎛⎭⎫－12n 的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有11－⎝⎛⎭⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝⎛⎭⎫－12n ，所以43≤2m3≤2，解得2≤m ≤3.。
等比等差数列的所有公式
等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。
它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。
本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。
一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。
举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。
这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。
等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。
求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。
二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。
例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。
与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。
等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。
等比数列(公开课课件)
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以 an＋1＋an>0，所以aan＋n＋2＋1＋aan＋n 1＝3，
第六章
考试要求
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 公比 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 aan＋n1＝q (n∈N*， q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那 么 G 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
方法二 设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－ －aa34＝ ＝1224， ，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.
假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12， 此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝1212××33n＋n1＝3，
等比数列基本公式
等比数列基本公式在咱们学习数学的奇妙旅程中，等比数列可是个相当重要的角色呢！就像游戏里的隐藏大招，掌握了它，解题就能变得轻松又有趣。
先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16…… 每一个数后面的数跟前一个数的比值都一样，这就是等比数列啦。
那等比数列的基本公式是啥呢？咱先来讲讲通项公式：$a_n = a_1\times q^{(n - 1)}$ 。
这里的$a_n$表示第 n 项的值，$a_1$是首项，q 是公比，n 就是项数。
我给您举个例子哈。
假设一个等比数列的首项$a_1$是 3，公比 q 是2。
那它的第 5 项$a_5$是多少呢？咱们就用通项公式来算算，$a_5 =3× 2^{(5 - 1)} = 3× 2^4 = 3×16 = 48$ 。
是不是还挺简单的？再来说说等比数列的前 n 项和公式：当$q ≠ 1$时，$S_n =\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ ；当$q = 1$时，$S_n = na_1$ 。
就像上次我给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋用啊？”我就跟他说：“别着急，咱们来个实际的例子。
” 假设还是刚才那个等比数列，首项 3，公比 2，咱们来算算前 5 项的和。
因为公比 2 不等于 1，所以就用$S_n = \frac{a_1(1 -q^n)}{1 - q}$这个公式。
$S_5 = \frac{3×(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3×(1 -32)}{-1} = \frac{3×(-31)}{-1} = 93$ 。
您看，这样一用公式，答案就出来啦！等比数列的公式在生活中也有不少用处呢！比如说，投资理财里的复利计算。
您存了一笔钱，年利率是一定的，每年利滚利，这其实就可以看成是一个等比数列。
还有啊，细胞分裂也能跟等比数列搭上边。
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
数列的讲解
数列的讲解
数列在数学中是一个非常重要的概念，它是由一系列有规律的数
字组成的序列。
数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等，它
们在数学中都有广泛的应用。
首先，让我们来看等差数列。
等差数列是指数列中每一项与它前
面的一项之差相等。
这个相等的差值称为公差。
比如说，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列在数学中有很多应用。
比如，我们可以通过等差数列来
求和。
我们假设有一个等差数列，它的第一项为a1，公差为d，那么
它的第n项为an=a1+(n-1)d。
根据等差数列的求和公式，这个等差数
列的和为S=n(a1+an)/2。
接着，让我们来看等比数列。
等比数列是指数列中每一项与前一
项的比相等。
这个相等的比值称为公比。
比如说，2、4、8、16、32就是一个公比为2的等比数列。
等比数列也有很多的应用。
比如，我们可以通过等比数列来求和。
我们假设有一个等比数列，它的第一项为a1，公比为q，那么它的第n 项为an=a1q^(n-1)。
根据等比数列的求和公式，这个等比数列的和为
S=a1(1-q^n)/(1-q)。
最后，让我们来看斐波那契数列。
斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和，它的前几项为1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列在自然界中也有很多应用，比如螺旋壳、黄金分割等等。
综上所述，数列是数学中非常重要的概念，它有很多的应用。
学习数列，不仅能帮助我们提高数学水平，还能增强我们的逻辑思维能力和分析问题能力。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座29）—等比数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
体会等比数列与指数函数的关系。
二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。
客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。
预测07年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
三．要点精讲1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。
（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。
3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++ ，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。
说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
四．典例解析题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ³21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。
点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。
例2．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列； 命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)²a n －1。
若{a n }是等比数列，则12a a =a ，即b a a a +-)1(=a ，所以只有当b=－1且a ≠0时，此数列才是等比数列。
由命题2得，a 1=a+b+c ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2na+b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1=2a ，即2a －c=2a ，所以只有当c=0时，数列{a n }才是等差数列。
由命题3得，a 1=a －1，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=a －1，显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0；即a ≠1时数列{a n }才又是等比数列。
点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到S n 与a n的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n ，正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。
上述三个命题都不是真命题，选择A 。
题型2：等比数列的判定例3．（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛c n ｝，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列｛c n ＋1－pc n ｝为等比数列，求常数p ；（Ⅱ）设｛a n ｝、｛b n ｝是公比不相等的两个等比数列，c n =a n +b n ，证明数列｛c n ｝不是等比数列。
解析：（Ⅰ）解：因为｛c n ＋1－pc n ｝是等比数列， 故有：（c n ＋1－pc n ）2＝（c n ＋2－pc n ＋1）（c n －pc n －1）， 将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得：［2n ＋1＋3n ＋1－p （2n ＋3n ）］2＝［2n ＋2＋3n ＋2－p （2n ＋1＋3n ＋1）］²［2n ＋3n －p （2n －1＋3n －1）］，即［（2－p ）2n ＋（3－p ）3n ］2＝［（2－p ）2n ＋1＋（3－p ）3n ＋1］［（2－p ）2n －1＋（3－p ）3n －1］，整理得61（2－p ）（3－p ）²2n ²3n ＝0，解得p =2或p =3。
（Ⅱ）证明：设｛a n ｝、｛b n ｝的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n 。
为证｛c n ｝不是等比数列只需证c 22≠c 1²c 3。
事实上，c 22＝（a 1p ＋b 1q ）2＝a 12p 2＋b 12q 2＋2a 1b 1pq ， c 1²c 3＝（a 1＋b 1）（a 1p 2＋b 1q 2）＝a 12p 2＋b 12q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）， 由于p ≠q ，p 2＋q 2＞2pq ，又a 1、b 1不为零， 因此c 22≠c 1²c 3，故｛c n ｝不是等比数列。
点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。
例4．（2003京春，21）如图3—1，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去.记圆O n 的面积为a n （n ∈N *），证明{a n }是等比数列；证明：记r n 为圆O n 的半径，则r 1=2ltan30°=l 63。
nn n n r r r r +---11=sin30°=21，所以r n =31r n －1（n ≥2），于是a 1=πr 12=91)(,122112==--n n n n r r a a l π，故{a n }成等比数列。
点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。
题型3：等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
解析：设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2； 则2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)；解得a=2，q=3或a=92，q=－5； 故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。
点评：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。
例6．（2006年陕西卷）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a解析：∵10S n =a n 2+5a n +6， ①∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3。
又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n≥2)。
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1, a 3,a 15不成等比数列 ∴a 1≠3；当a 1=2时,，a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3。
点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。
题型4：等比数列的求和公式及应用例7．（1）（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ． 3nC ．2nD ．31n-（2）（2006年北京卷）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- （3）（1996全国文，21）设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；解析：（1）因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。