第29讲 等比数列

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座29）—等比数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测07年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目；（2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

三．要点精讲1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n m na q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。

四．典例解析题型1：等比数列的概念例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列； 命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

例2．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列； 命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列； 命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析： 由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·a n －1。

若{a n }是等比数列，则12a a =a ，即b a a a +-)1(=a ，所以只有当b=－1且a ≠0时，此数列才是等比数列。

由命题2得，a 1=a+b+c ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2na+b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1=2a ，即2a －c=2a ，所以只有当c=0时，数列{a n }才是等差数列。

由命题3得，a 1=a －1，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=a －1，显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0；即a ≠1时数列{a n }才又是等比数列。

点评：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，上述三个命题均涉及到S n 与a n的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n ，正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。

上述三个命题都不是真命题，选择A 。

题型2：等比数列的判定例3．（2000全国理，20）（Ⅰ）已知数列｛c n ｝，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列｛c n ＋1－pc n ｝为等比数列，求常数p ；（Ⅱ）设｛a n ｝、｛b n ｝是公比不相等的两个等比数列，c n =a n +b n ，证明数列｛c n ｝不是等比数列。

解析：（Ⅰ）解：因为｛c n ＋1－pc n ｝是等比数列，故有：（c n ＋1－pc n ）2＝（c n ＋2－pc n ＋1）（c n －pc n －1），将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得：［2n ＋1＋3n ＋1－p （2n ＋3n ）］2＝［2n ＋2＋3n ＋2－p （2n ＋1＋3n ＋1）］·［2n ＋3n －p （2n －1＋3n －1）］，即［（2－p ）2n ＋（3－p ）3n ］2＝［（2－p ）2n ＋1＋（3－p ）3n ＋1］［（2－p ）2n －1＋（3－p ）3n －1］， 整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n ＝0，解得p =2或p =3。

（Ⅱ）证明：设｛a n ｝、｛b n ｝的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n 。

为证｛c n ｝不是等比数列只需证c 22≠c 1·c 3。

事实上，c 22＝（a 1p ＋b 1q ）2＝a 12p 2＋b 12q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3＝（a 1＋b 1）（a 1p 2＋b 1q 2）＝a 12p 2＋b 12q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2），由于p ≠q ，p 2＋q 2＞2pq ，又a 1、b 1不为零，因此c 22≠c 1·c 3，故｛c n ｝不是等比数列。

点评：本题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力。

例4．（2003京春，21）如图3—1，在边长为l 的等边△ABC中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB ，BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去.记圆O n 的面积为a n （n ∈N *），证明{a n }是等比数列；证明：记r n 为圆O n 的半径，则r 1=2l tan30°=l 63。

nn n n r r r r +---11=sin30°=21，所以r n =31r n －1（n ≥2），于是a 1=πr 12=91)(,122112==--n n n n r r a a l π，故{a n }成等比数列。

点评：该题考察实际问题的判定，需要对实际问题情景进行分析，最终对应数值关系建立模型加以解析。

题型3：等比数列的通项公式及应用例5．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

解析：设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2；则2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)；解得a=2，q=3或a=92，q=－5； 故所求的等比数列为2，6,18或92，－910，950。

点评：第一种解法利用等比数列的基本量q a ,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁。

例6．（2006年陕西卷）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a解析：∵10S n =a n 2+5a n +6， ①∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3。

又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n≥2)，②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n≥2)。

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3；当a 1=2时,，a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3。

点评：该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系，最终求得结果。

题型4：等比数列的求和公式及应用例7．（1）（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +-B ． 3nC ．2nD ．31n - （2）（2006年北京卷）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n -B ．12(81)7n +-C ．32(81)7n +-D ．42(81)7n +- （3）（1996全国文，21）设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q ；解析：（1）因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。