江苏省数学竞赛提优教案：第29讲__等差数列与等比数列

第10讲 等差数列与等比数列本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a 1、a n 、d 或q 、n 、S n 的基本关系 1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质．3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．A 类例题例1给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n －2+a 3n －1+a 3n ,…，则数列{b n }( )A.是等差数列B.是公比为q 的等比数列C.是公比为q 3的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛)分析 利用等比数列的推广的通项公式a n = a m q n －m.解 由题设, a n = a 1qn －1,则a 3n +3= a 3n q 3、 a 3n +2= a 3n －1 q 3、a 3n +1= a 3n －2 q 3.故b n +1 b n =a 3n +1+a 3n+2+a 3n +3 a 3n －2+a 3n －1+a 3n = q 3(a 3n －2+a 3n －1+a 3n ) a 3n －2+a 3n －1+a 3n=q 3. 例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个 (1997年全国高中数学联赛)分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由21972)1(=-+=d n n na S n 即2na 1+(n －1)d=2×972， 则n[2a l +(n －1)d]= 2×972，且2a 1+(n －1)d 是非负整数．故n 是2 ×972的正 因数，且n ≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．(1)若n=97，则2a l +96d=2 ×97，且a l 与d 是非负整数，由2 a l = 2 ×97－96d ≥0可得0≤d ≤, 且d ∈Z ，所以d=0，1，2，代人2 a l +96d= 2 ×97得⎩⎨⎧==9701a d 或⎩⎨⎧==4911a d 或⎩⎨⎧==121a d , 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个． (2)若n=972，则2 a l +(972－1)d=2，由2a l =2－(972－1)d ≥0得0≤d ≤19722-故d=0．此时a l =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．(3)若n=2×97，则2 a l +(2×97－1)d=97，即 0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =297，不台题意．(4)若n= 2×972，则2 a l +(2×972－1)d=1，即0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =12，不合题意． 故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )情景再现1．(2005年全国高考题)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{k n }的通项n k2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)． (第2届美国中学生数学竞赛试题) B 类例题例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线 段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的 坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n yy n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题．解 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2， 得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n yy -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 说明 本题符号较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分． 例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且 1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数． （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列．(2005年江苏卷)分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．解 （1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18．由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n+1－(5n+2)S n =－20n －8, ① 所以 (5n －3)S n+2－(5n+7)S n+1=－20n －28, ② ②－①,得, (5n －3)S n+2－(10n －1)S n+1+(5n+2)S n =－20, ③ 所以 (5n+2)S n+3－(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)S n+3－(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1－(5n+2)S n =0． 因为 a n+1=S n+1－S n所以 (5n+2)a n+3－(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0． 又因为 (5n+2)0≠, 所以 a n+3－2a n+2+a n+1=0,即 a n+3－a n+2=a n+2－a n+1, 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5, 所以数列}{n a 为等差数列． 方法2． 由已知，S 1=a 1=1,又(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =－20n －8,且5n －80≠,所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n 于是 (5n －8)T n+1－(5n+2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列． 说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等． 例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2； ③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？ （Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型． 解 J 1输入m ，J 2输入n 时，输出结果记为f （m ，n ），设f （m ，n ）=k ，则f （1，1）=1，f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，f （m+1，1）=2f （m ，1） （2分） （Ⅰ）因为f （1，n+1）=f （1，n ）+2，故f （1，1），f （1，2），…，f （1，n ），…组成以f （1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （1，n ）=f （1，1）+2（n －1）=2n －1； （Ⅱ）因为f （m+1，1）=2f （m ，1），故f （1，1），f （2，1），…，f （m ，1）…组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列． 所以，f （m ，1）=f （1，1）•2m －1=2m －1，（Ⅲ）因为f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，故f （m ，1），f （m ，2），…，f （m ，n ），…组成以f （m ，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （m ，n ）=f （m ，1）+2（n －1）=2m －1+2n －2，f （2002，9）=22001+16说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题．例6 设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)情景再现3． 已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）． （Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列．若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．4． 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0．(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n ．C 类例题例7 实数x 为有理数的充分必要条件是：数列x ，x +1，x +2，x +3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)证明：(1)充分性：若3个不同的项x +i ，x +j ，x +k 成等比数列，且i ＜j ＜k ， 则(x +I)(x +k)=(x +j)2，即ik j j k i x -=-+2)2(．若02=-+j k i ，则02=-ik j ，于是得i=j=k 与i ＜j ＜k 矛盾． 故02≠-+j k i ,jk i ikj x 22-+-=且i 、j 、k 都是正整数，故x 是有理数．(2)必要性：若x 为有理数且x ≤0，则必存在正整数k ，使x+k>0．令y=x+k ，则正数列y 、y+1、y+2、…是原数列x ，x+1，x+2，x+3，…的一个子数列，只要正数列y ，y+l ，y+2,…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x ＞0．①若x ∈N ,设q 是大于l 的正整数，则xq －x 、xq 2－x 都是正整数．令i=xq －x , j=xq 2－x 则i<j ，即x ，x+i ，x+j ，是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中不同的三项，且x ，x+i(即xq )，x+j (即xq 2)成等比数列．②若x 为正分数，设 x = nm (m 、n∈N ，且m 、n 互质，m≠1)．可以证明，x ，x+n ，x+(m+2)n ，这三个不同的项成等比数列，事实上，x [x +(m +2)n ]= n m (n m +mn+2n )=(n m)2+n 2+2n m ·n =(n m+n )2.所以x [x +(m +2)n ] =( x +n )2.，即三项x ，x+n ，x+(m+2)n 成等比数列．综上所述，实数x 为有理数的充分必要条件是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列.说明 以上证明巧妙之处在于：当x 是正分数mn时，在数列x ，x+1，x+2，x+3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x ，x + n, x+(m+2)n ．例8 设S={1，2，3，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．(1991年全国高中数学联赛二试)分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出 a n 的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d=1，2,…，n －1时，讨论A 的个数· 解 设A 的公差d,则1≤d ≤n －1.(1)设n 为偶数,则当1≤d ≤n 2.公差d 的A 有d 个;当n2≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为偶数时,这样的A 有：(1+2+3+…+ n 2)+[1+2+3+…+(n －n 2－1)]= 14n 2.(2)设n 为奇数,则当1≤d ≤n －12.公差d 的A 有d 个;当n+12≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d个.故当n 为奇数时,这样的A 有：(1+2+3+…+n －12)+(1+2+3+…+n －12)= 14(n －1)2. 综上所述：这样的A 有[14n 2]．情景再现5．设数列{n a }的首项1a =1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈ N,n ≥2)．（1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．6．已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，m ,n ，k 为自然数，求证： (1)若m+k=2n ，则21m a +21k a =22na ; (2)211a +221a +…+2221-n a +2121-n a ≥212n a n -(n ＞1)．习题10A 类习题1．(2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40082．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________．3．等比数列{}a n 的首项a 11536=,公比q =-12,用πn 表示它的前n 项之积．则πn ()n N ∈最大的是( )A ．π9B ．π11C ．π12D ．π13 (1996年全国高中数学联赛)4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2－2ax +c =0( ) (2000年全国高中数学联赛)A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根5．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T >k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．6．(2000年高考新课程卷)（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ．（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列． B 类习题7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线． 1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段 1b ≠（其中正常数），1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段（1b ≠其中正常数），{}()(1,2,)n n x f x n n ==⋅⋅⋅设数列由定义. 121..2()3()1n x x x f x y f x y x ==（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于的交点8．（2004年春季北京卷) 下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10．(第8届希望杯第二试)在△ABC 中，三边长为a 7，b =2，c =3．作△ABC 的内切圆⊙O 1，再作与边AB 、AC 和⊙O 1都相切的⊙O 2，又作与AB 、AC 与⊙O 2都相切的⊙O 3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和． C 类习题11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{a n }是等差数列，公差是1，a 1+ a 2+ a 3+…+ a 98=137，求a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98 之值．12．(2003年全国高考江苏卷)设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =,C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）．从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1．Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-n k k k k a a a 121.31)(本节“情景再现”解答：1．依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠，∴1d a =,得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列．由于0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k =等比数列{k n }的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k q n -+=⨯==，，，即得到数列{k n }的通项为13n n k +=2．用反证法．假设三个不同的素数p 、q 、r 的立方根是一个等差数列的不同三项, 即设ld a p +=13 ①,md a q +=13 ②, nd a r +=13 ③．由此可得m l q p d --=33,ml qm p l a -⋅-⋅=331．将代入③式并化简整理得：=⋅-3)(q n m +⋅-3)(q n l 3)(r l m ⋅-两边立方得：=⋅-p n m 3)(+⋅-q n l 3)(r l m ⋅-3)(+3))()((3pqr n m l mm m l ⋅---左式=p n m ⋅-3)(为整数,因3pqr 是无理数．故右式为无理数,所以左式≠右式．3．（Ⅰ）∵),3,2(242,211 =+-+==-n n n a a a a n n 依,∴2228422-=+-+=a a a , 542129223-=+-+=a a a ,882234-=+=a a a ,34,32,222342312-=--=--=--=-a a a a a a a a a a a若}{n a 是等差数列，则1,2312=-=-a a a a a 得,但由3423a a a a -=-，得a=0,矛盾．∴}{n a 不可能是等差数列．(Ⅱ)∵2n a b n n +=, ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n nn n b n a 2222=+=(n ≥2) ,∴22422+=+=a a b 当a ≠－1时, }{,0n n b b ≠从第2项起是以2为公比的等比数列．∴)12)(22(12)12)(22(111-++=--++=--n n n a b a b S ,n ≥2时,222)1(222222)1(222)1(111--++---=--++--++=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n ∴}{n S 是等比数列, ∴1-n nS S (n ≥2)是常数．∵a ≠－1时, ∴b －2a －2=0 ,当a=－1时，122,0-==n n b b b 由（n ≥3）,得0=n b （n ≥2）, ∴b b b b S n n =+++= 21, ∵}{n S 是等比数列 ∴b ≠0 综上, }{n S 是等比数列,实数a 、b 所满足的条件为⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或 4．(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1．∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1．(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1n) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n－1］ 5．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得tt a 3322+=， 于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n=3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ．①②于是，得tt a a n n 3321+=-（n=3,4……）． ……② 综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为tt 332+的等比数列． （2）解 由（1），得321332)(+=+=t t t t f ，32)1(11+==--n n n b b f b 即321=--n n b b ． 所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ． 点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求． 6． (1)设等差数列{a n }的公差为d,由m+k=2n,得a k =2a n ,因为a 2m + a 2k ≥12(a m + a k )2=2a 2n ．(a m a k )2≤[(a m + a k2)2]2=a 4n ． 所以 a 2m + a 2k (a m a k )2≥ 2a 2n a 4n = 2a 2n当且仅当d=0时等号成立． (2)由(1)结论,1a 2i +1a 22n －i ≥2a 2n(i=1,2,…,n －1)把这n －1个不等式相加,再把所得的结果两边同时加上1a 2n便得到所证明的结论．当d=0时等号成立．本节“习题10”解答：1．由120032004200320040,0,.0a a a a a >+><得公差d ＜0，于是a 2 004＜0．a l ＋a 4006=a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0．另一方面，a l ＋a 4 007=2a 2 004＜0，故S 4 007＜0．故答案选B ．2． b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),yc x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2． 3．等比数列{}a n 的通项公式1211536-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=n n a ,前n 项之积n π2)1(211536-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=n n ,易知9π、12π、13π 为正数,10π、11π为负数,故只需比较9π、12π、13π．因为3211536199-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-a ,23211011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,43211112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,83211213=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a ,且.18274323)3(121110>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⋅⋅a a a 所以=π12121110a a a ⋅⋅>π⋅99π．又因为1013<<a 及121313π=πa ,∴1213π<π．故选C ． 4．由题意知pq =a 2,2b=p+c ,2c=q+b 由于后二式得b=2p+q 3,c=p+2q3, 于是有bc =2p+q 3·p+2q 3=p+p+q 3·p+q+q 3≥ 3p 2q · 3pq 2=pq =a 2, 因为p ≠q,故bc ＞a 2,方程的判别式△=4a 2－4bc ＜0,因此,方程无实数根．5．要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T >k n s 具体化．因此，可首先从探求nT 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列， 故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T =n b b b +++ 21=（a 1+a 2+…+a n ）（q －kq 2）=n s )(2kq q -． 依题意，由n T >k n s ，得n s )(2kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；当－1<q<0时，由01>a ，1－q>0,1－nq >0,所以n s =01)1(1>--qq a n ． 综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即q qqq k q q k +=+<<+111,)1(22． 由于21≥+q q ，故要使①式恒成立，k<－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k<)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值．6． （I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将nn n c 32+=代入上式，得()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ，即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ， 整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3． （II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=,为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠．事实上,()pqb a q b p a q b p ac 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++．由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列． 7．{}1)1(111,11,1,,2,1,)1(,1)(,)()()(,)(.0111,)()(,)(,21,2)(.110)0()(,1)(,10,1)(,0)0()1(111111111102121212211101--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅⋅⋅==--===--==+==-=--=≤≤===--==≤≤==----------b b b b b x b b x x n b x x n x f n x f b x x x f x f b n x f y x bx b x x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n n n n n n n n n n n n n 得由公比为其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由的线段的图象是斜率为函数时当又由得故由的线段的图象是斜率为函数时当又由).,0[)(,10);1,0[)(,1:.,10;11)1(lim lim ,1,),3,2,1(1)1(,)(),3,2,1,(),()()1(,,1.)(,10,)1(,10)2(1111∞+<<->∞→∞→<<-=--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤-∞→∞→-++的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求由时即当时当时即当知从当x f b b bx f b x n b b b b b b x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y n n n n n n n n n n n n n.1)(,)(,1,,1,)(,0)()(,0)(111)()()()1()()()(,,),1,1(,)(,11,1)3(11的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当成立其次即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当x y x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x bb n x f x x f x x f n x x x x b x f x f x x x x b b x x x f b b x b n n n n n n n n n n n nn n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>-+8． （I ）4945=a ;（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j ;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j ……第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此j j i j i ij j i i a ij ++=++=-++-+=)12(2)1)(12()1(34,要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij , 所以122008+-=i ij , 当1=i 时，得669=j 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得j j i N ++=)12( 从而12)12(212+++=+j j i N )12)(12(++=j i 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得)12)(12(12++=+l k N , 从而kl a l l k N =++=)12(可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9． （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞． （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围．研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得()n n d d a +++=+ 110)1(10⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+.1),1(10,1,11101d n d d d n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等． 10． 因为cosA= b 2+c 2－a 22bc = 12 ,即A=60°,于是sin30°= r 1－r 2 r 1+r 2 = 12 得 r 2 r 1 = 13,同理r n r n －1 = 13, 所以面积的和S=πr 121－19 = 98πr 12,又r1= bc sin A a +b +c =5 3－ 21611．93．由 a 1+ a 3+ a 5+…+ a 97=(a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98)－49可得． 12．（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a a a aQ a a aP a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a aa ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a ==⋅=-++-+3222221222321)1()1()1(n n a a a a a=1211211121212221)()1()1(----+-+++==n n n n n aa a a a a a， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-n k n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n 因此∑∑∑=++-=+-=++-≤-=-nk i i i n i k k k nk k k k a a a a a a a a a 122111112112121121121)()()(∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。