事件的独立性
§ 1.5 事件的独立性
一、两个事件的独立性
在条件概率中，一般情况下，P(B|A)P(B)P(A|B)P(A)≠≠，
但在特殊的条件下，就不同了，请看下例：
例1.5.1 袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，有返回的取两次， 令A=第一次取新球，B=第二次取新球。
因为是有返回抽取，所以 3P(B|A)P(B)5
=
= 显然也有 3P(A|B)P(A)5== 两个事件独立的直观定义：
设A 、B 两个事件，一个事件发生与否对另一个事件的发生及其发生的概率不产生影响，则称A 、B 这两个事件是相互独立的。
这是中文描述性定义。
下面推出数学定义：
事件A ，B 互不影响P(B|A)P(B)⇔=，P(A |B)P(A)=
P(A)P(B |A)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A |B)⎧⇔==⎨⎩或
11A B P(AB)P(A)P(B)
A B =定义.5.：设有事件、，若则称事件、相互独立。
由定义可证明，必然事件、不可能事件与任何事件都是独立的。
在现实世界中，随机现象独立的情况是大量存在的，如返回抽样、重复试验、彼此无关的工作…..。
若要证明两个事件独立，必须依据定义证明。
而在实际问题中，判断两个事件独立，大多根据实际情况和经验，看是否相互影响，要注意的是我们不能只停留在感觉上。
定理1.5.1 A B A B A B A B 若，相互独立，则与；与；与都相互独立。
证明：A B 以与为例，
P (A B )P (A B
)=-P (A A B )=-P (A )P (A B =- P (A )
P (A )P (=- P (A )[1P (B )]P (A
)P (B )=-= 由定义可知 A B 与相互独立。
二、多个事件的独立性
152 A B C P(AB)P(A)P(B)
P(AC)P(A)P(C)
P(BC)P(C)P(B)
P(ABC)P(A)P(B)P(C)
A B C ====定义..设有事件，，，若满足
则称，，相互独立。
这个定义看起来繁琐，事实上是不可减少条件的，
前三式和第四式是不等价的。
请看下面的例子：
例1.5.4构造一个样本空间 {}S 000011101110=，，，，
从中任取一数， 设 A=“所取数个位数为1”，B=“所取数十位数为1”， C=“所取数百位数为1”， 1P (A )P (B )P (C )2=
==显然， 1P (A B )P (A C )P (B C ) P (A B C )04==== 可验证：前三式是满足的，第四式是不成立的。
n 由此不难推断，个事件的独立性有如下定义：
12n i j 1j i j k 1j k 12n 12n 12n A A .......A P(A A )P(A )P(A )1i j n
P(A A A )P(A )P(A )P(A )
1i j<k n .................
P(A A .......A )P(A )P(A )........P(A )
A A .......A =≤<≤=≤<≤=定义1.5.3 若事件组，满足下列各式：
则称事件组，相互独立。
2
3n n n n n C C .......C 2n 1+++=--共需验证个式子。
A B 4由定理1， ，独立，可得到对相互独立的事件；
不难推断：38 个事件独立可以得到个独立事件组；
n
n 2 个事件独立，我们也得到个独立事件组。
三、独立试验概型
定义1.5.4：若实验E 只有两种结果，则称E 为贝努里实验。
将实验E 重复进行n 次，则称为n 重贝努里实验。
注：所谓两种结果：
1、有客观的：实验E 就只有两个样本点。
和2、主观的，任何实验都可以分为A A。
事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
4.5事件的独立性及二项概率公式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 则称A1, A2 , …, An 相互独立。
例4 某种型号高射炮对敌机射击的命中率为0.02，
（1）100门该型号的高射炮同时向敌机射击一 次，求敌机被击中的概率。
A A1 A2 An
所以 P( A) P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An ) r n
串联系统的可靠性, 元件越多越不可靠.
对于并联系统，由题意得 B A1 A2
An
B A1 A2
An A1 A2
An
P(B ) P(A1)P(A2) P(An)
§4.5 事件的独立性及二项概率公式 一、事件的独立性 二、二项概率公式
一、事件的独立性
定义4-6 若事件 A, B 满足
P AB P A P B
则称事件 A, B 相互独立.
定理4-2 若四对事件 A, B; A, B; A, B; A, B 中有一对是 相互独立的，则另外三对也相互独立.
设 B ＝{恰有两次命中}
设 Ai ＝{此人第 i 次射击时打中靶子} (i 1 , 2 , 3)
B ＝{恰有两次命中}
则由题意可知： P( Ai ) 0.6, P(Ai ) 0.4, 且 A1,A2 ,A3 相互独立。 故题目中所求的为： P(B) P( A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3 )
训练
１.某型号电子元件使用寿命超过1500小时的为一级品。 已知一大批产品的一级品率为0.2。现从中随机地抽取
20只，问这20只元件中恰有 k0 k 20 只为一级品 的概率是多少？ P20 k C2k0(0.2)k (0.8)20k
事件的独立性
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1, A2,…, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 … An）
1 P( A1A2 … An) 1 P( A1)P( A2)…P( An) A1, A2,…, An
也相互独立
定义1.11 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< ···< i k≤n
有 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik ) 则称A1，A2， An相互独立.
注. A1, A2,, An相互独立 A1, A2,, An两两相互独立
定义1.10 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B), P(BC ) P(B)P(C ), P( AC ) P( A)P(C ), P( ABC ) P( A)P(B)P(C ), 则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
P( A B) P( A)
1.引例 盒中有5个球(3绿2红),每次取出一个,
有放回地取两次.记
A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
P(B A)
3 P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
(i 1,2,, n)
所以，系统Ⅱ正常工作的概率：
P(B2 ) P( A1 An1)P( A2 An2 )P( An A2n)
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
事件的独立性-概率与数理统计
PA1 A2 An PA1 PA2 PAn
则称 A1， A2， ， An 这 n 个随机事件相互独立．
说明
在上面旳公式中，
第一行有Cn2 个等式，第二行有Cn3 个等式，，最后 一行共有Cnn 个等式 因此共有
Cn2 Cn3 Cnn 2n Cn0 Cn1
个等式.
2n 1 n
显然，相互独立必两两独立，反之不成立。
n个事件旳相互独立性
设 A1， A2， ， An 为n 个随机事件，如果下列等式成立：
P Ai A j PAi P A j
1 i j n
P Ai A j Ak PAi P A j PAk 1 i j k n
P Ai1 Ai2 Aim P Ai1 P Ai2 P( Ain ) 1 i1 i2 im n
故 P AB P A P B | A P A P B 2“ ” 若 P AB P A P B ， 则 由 乘 法 公 式 得 ：
P A P B | A P A P B （当 P A 0 ） P A 0两边同除以 P A 得 P B | A P B
A，B 独立。
事件独立的三个等价定义：
若 A，B 满足下列条件之一，则称 A，B 独立。
§1．5 事件的独立性
（—）事件的独立性 抽签问题，无放回，故第二次抽签的概率会受到前一次抽到与
否的影响。若有放回的话，则不会影响，这时，各次抽签是相互独 立的，不会相互影响。
投篮，每一次投篮都不会影响其他次投篮的进球的概率，故每 次投篮都是独立的，不会相互影响。
例1
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球， 取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }，
A100 相互独立。
事件的相互独立性
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n
概率论第三章事件的独立性
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
一、两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
所求为 P(A1∪A2∪A3)
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
1 所求为 P(A1∪A2∪A3)
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
= P( A1 )P( Ai1 ) P( Aim ).
[注释] 1. n个事件独立，则其中任意k（2≤k<n） 个事件也独立，反之未必成立，
2. 在实际应用中，独立性往往通过实际 意义判断，而不用定义证明；在理论证 明中，独立性用定义或定理证明。
3. 事件的独立与互斥是两个截然不同的概 念，互斥是指两个事件之间的关系，独 立是指两个事件概率之间的关系。
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
事件的独立性
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
相互独立事件及其同时发生的概率
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
事件的独立性讲义
例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3
所求为 P(A1+A2+A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} 所求为 P(A1+A2+A3)
P(A2∪B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,
……
第n对元件的可靠性 P(An∪Bn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2 于是 RⅡ=[r(2-r)]n=rn(2-r)n
Ⅲ 比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。 n>1时，2-rn<(2-r)n，
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。 （1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷 得 奇数点”，问A,B是否独立？ 独立。 （2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷 得奇数点”，问A,B是否独立？ 不独立。
P(AB)= P(A)P(B)
四个等式同时
P(AC)= P(A)P(C)
成立,则称事件
P(BA)P(B)P(C) 独立。
其中，前三个等式成立时，称A、B、C两两
独立。
如: 将一枚骰子掷两次,设
A：“第一次掷得偶数点”，
B：“第二次掷得奇数点”， C：“两次都掷得奇数或偶数点”。 容易算出 P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(AB)=1/4, P(AC)=1/4, P(BC)=1/4, P(ABC)=0. 于是
事件的独立性与伯努利概型
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小 组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾 问的意见，并按多数的意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解 考察一位顾问的意见，相当于作一次
解 在任一时刻，考察一名售货员是否使 用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的 概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名 售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与 概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}； Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前 两 次 出 现 反 面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12