中考规律探索题训练含答案
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
中考数学专题复习——规律探索(详细答案)
中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。
中考规律探索型问题及答案
规 律 探1.如图，下面是按照一定规律画岀的“数形图”，经观察可以发现：图A 比图A i 多岀2个“树枝”比图A 多岀4个“树枝”，图A 比图A 3多岀8个“树枝”，……，照此规律，图A 比图A2多岀“树枝”（）D. 124【答案】C的代数式表示）OQQG O 0-O 0 0 5第1个图形 第2个图形0 Q0 0 0 0 90 0 O0 Q Q 9 0 Qoo oo • a C 殆彷0 4 0 0 0O第3个图形第4个图形【答案】n(n 1) 4或n 2 n 4 3.观察下列算式：2① 1 X 3 - 2 = 3 - 4 = -1 ② 2 X 4 - 3 2 = 8 - 9 = -1③ 3 X 5 - 4 2 = 15 - 16 = -1④ _________________________6.观察下面的变形规律:1 1 1 11 1 11----- =1 — — • ------------ = — — — • -------- =———1 2 223233434解答下面的问题：2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有个小圆 （用含n（1 ）请你按以上规律写出第 4个算式； 2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写岀的式子一定成立吗？并说明理由. 【答案】解：⑴4 6 5224 25 1 ;2⑵答案不唯一.如n n 2 n 11 ；2 2 2⑶ n n 2 n 1 n 2n n 2n 11.4. 观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 【答案】155. 先找规律，再填数： 22n n2n 1【答案】11006____ 个图形共有120个8.如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答(1) _______________________________ 表中第8行的最后一个数是 ___________________ ，它是自然数 的平方，第8行共有 ____________________________ 个数；(2) ______________________________________________ 用含n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是 _____ ，最后一个数是 _____________________________________________ ，第n 行共有____________ 个 数；(3)求第n 行各数之和.【解】(1) 64，8，15;(2) (n 1)2 1，n 2，2n 1；(3)第2行各数之和等于 3X 3 ;第3行各数之和等于 5X 7;第4行各数之和等于 7 X 7-13 ;类似的，第n(1 )若n 为正整数，请你猜想n(n 1)(2) (3) 证明你猜想的结论; 1 .求和: 丄+…+3 42009 2010【答案】 1(1)(2) 证明:n 1 n(n 1)n n(n 1)n 1 n n(n 1)1 n(n 1)(3) 原式=1+…+42009 2010 2010200920107.设 S ,=1g 丄，S 2=1厶 12 22 22丄，X3232■V …,S.=1 A4 n(n【答案】S n1 1~~2n=[1S= (用含n 的代数式表示，其中2n1 1 k 1 [1 占2 2 A 1 爲]2 21 n(n 1)1 n(n1 1 1 ‘ S =(1厂)+(1 厂)+(1 厂尸…+(1n(n 1))2小n 2n n 1接下去利用拆项法1 n(n 1)即可求和.n 1设 S .. .3则行各数之和等于(2n 1)(n2 n 1) = 2 n3 3n2 3n 1.「、 2 32012上乙“ _ 人— 2 3 2012 — 2 3 4 2013 e. — — 2013八9.求 1+2+2+2+…+2 的值，可令 S=1+2+2+2+…+2 ，则 2S=2+2+2+2+…+2，因此 2S- S=2 - 1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+5 2012的值为( )选C.个小正方形。
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。
中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。
中考数学规律探索题(整理全,含答案).doc
A. M=mnD.M=m(n+1)规律探索7选择题1. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 3—243, 36=729, 37=2187...解答下列问题：3 + 32 + 33 + 34...+32013的末位数字是( )A. 0B. 1C. 3D. 72. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27,29, 31),…，现用等式A M = (i, j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A7= (2, 3),则A 20I 3=() A. (45, 77) B. (45, 39) C. (32, 46) D. (32, 23)3. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是 ________ . 12 3 5 813a・2 358 13 21 34・4. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2“？，第(2)个图形的面积为8 cm 2,5. 如图，动点P 从(0, 3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()A 、(1, 4)B 、(5, 0)C 、(6, 4)D 、(8, 3) 6.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是7. 我们知道，一元二次方程x 2 =-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“”，使其满足第(3)个图形的面积为18 cm 2,……，第(10)个图形的面积为(B.M=n(m+1) C.M=mn+1i + Z 2 + Z 3 + 广 + ..严12 + /2013 的值为A. 0B. 1C. -1 D .•• • •• • •• • • •• •• • •图①图②图③（第8题图）A. 51 C.76 D. 81厂= -1（即方程X 2 =-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则 仍然成立，于是有z 1 = z, i 2= -1 , z 3 = i 2-i = (-1).1 = -i, i 4 = (z 2)2 = (-1)2 = 1.从而对任意正整数n,我们可得到 严”+1 = j4” j =(严)” j = i,同理可得严”+2 = _1,严”+3 = =1,那么,&下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③ 个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）填空题1. ________________________________________________________________________________ 观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第"个图形中所有的个数为 _________________________________ （用含"的代数式表（第11题）2. 如图，在直角坐标系中，已知点A （-3, 0）、B （0, 4）,对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△】、△?、△?、A 4...,则△2013的直角顶点的坐标为 ___________________ .3. 如图，正方形ABCD 的边长为1,顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形AiBiCiD”由顺次连接正方形AjBiCiDi 四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2...,以此类推，则第六个正方形A6B 6C 6D6周长是 ________ •B. 70& 1 图2 图3 D4. _________________________________________________________________________________________________ 直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 ________________ 个点.5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1, 5, 12, 22...为五边形数，则第6个五边形数是 __________将C1绕点山旋转180。
中考规律探索题训练含答案
规律探索一.选择题1.（2015第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A． 2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．B．C．D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A． 36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•,第11题3分）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，….按照上述规律，第2015个单项式是（）(A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n －1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x 的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为. 故选C考点：探索规律7．(2015·，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（） A .（2014,0）B .（2015，－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π，∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) .图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A． 14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•省市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【】A . 201521B . 201421C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，…∴21111122h =+=-， 32211111222h =++=-， 42331111112222h =+++=-， (20152201420141111112222)h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是45 ，2016是第63 个三角形数．考点：规律型：数字的变化类．分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．4. （2015•省江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时，根数为：2n （n +1）．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．(2015·，第15题分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第56个图形有个太阳。
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规律探索一. 选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，即≥1008，解得：n≥，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A． B． C． D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．解答：解：连结OE1，OD1，OD2，如图，∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，∴∠E1OD1=60°，∴△E1OD1为等边三角形，∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，∴OD2⊥E1D1，∴OD2=E1D1=×2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，…. 按照上述规律，第2015个单项式是（ ） (A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C 【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n －1），而后面因式x 的指数是连续自然数，因此关于x 的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A .（2014,0）B .（2015，－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1，∴半圆长度=π， ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015， ∵2π×2015÷π=1007…1，∴点P 位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P (2015，－1) .图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，… ∴21111122h =+=-， 32211111222h =++=-，42331111112222h =+++=-，…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数．4. （2015•四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时，根数为：2n （n +1）．点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳，第15题 分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第56个图形有 个太阳。