高二数学练习——四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的 反面成立。 推理过程中一定要用到才行
王新敞
奎屯 新疆
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
(真 ) (假 ) (假 ) (真 )
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真） （真）
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
P
C
B
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
所以假设不成立, 从而______________ x =y=0。 成立。
反 证 法
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b a bab
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
高中数学(1.1.3四种命题的相互关系)
原命题
互 否
互逆
若q,则p 逆命题
互 否
否命题 若p,则 q
互逆
逆否命题 若 q,则 p
（1）同位角相等,两直线平行。 （2）两直线平行,同位角相等。 （3）同位角不相等,两直线不平行。
真 真
真
真
（4）两直线不平行, 同位角不相等。
(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。
真
假
(2)若两个角相等，则这两个角是对顶角。
学习本节内容,你就能说出其中的原因。
(1)若两个角是对顶角，则这两个角相等。
(2)若两个角相等，则这两个角是对顶角。
(3)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。
(4)若两个角不相等,则这两个角不是对顶角。
(2)与(3)互为: 逆否命题
(2)与(4)互为: 否命题
(3)与(4)互为: 逆命题
若p,则q
思考题:
有一个主人很热情地约了四个朋友一起吃饭，结果只有三个 朋友按时赴约，主人见有一个朋友没有来，便说：“唉，该 来的没有来。”过了一会儿，有一个朋友起身便走了，主人 又说了一句话：“不该走的走了”。这时另一个朋友也起身 走了，主人一看形式不对，便跟剩下的那个朋友说：“我又 没有说他。”这个朋友尴尬地笑了笑也走了。结果这个人是 一个朋友也没有请到。 问题：主人的朋友为什么会走呢？
小结:
四种命题的相互关系： 四种命题之间的真假关系： (1)互为逆否命题的两个命题 有相同的真假性。 (2)互为逆命题或否命题的两个命题 真假性无关。
(3)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。 假 (4)若两个角不相等,则这两个角不是对顶角。 真
假 真 真 假
假
假
假
假Leabharlann 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假
(完整)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题.【核心扫描】：1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。
(重点）2、掌握四种命题之间的相互关系.（重点）3、等价命题的应用。
(难点）1、四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p，则非q".(3）互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p,则q"，则逆否命题为若非q，则非p.任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：(2）四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题:若q，则p；否命题:若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非 p.（1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．（2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题.然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。
高中数学四种命题间的相互关系《导学案》答案
第一章常用逻辑用语1.1.3 四种命题间的相互关系参考答案【典例分析】例1.【解析】选D.因为原命题与其逆否命题等价,故选D.例2.【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是2个.例3.【解析】否命题为“若α不是第一、二象限的角，则sinα≤0”，是假命题.答案：假【变式拓展】：1.【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.2.选D.命题能被6整除的整数，一定能被2整除的逆否命题是：不能被2整除的整数，一定不能被6整除.3.【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆4.答案：(1)互为否命题(2)真四、随堂检测1.选A.设p为“若A,则B”,那么q为“若¬A,则¬B”,r为“若¬B,则¬A”.由于q和r的条件和结论互换,故q和r互为逆命题.2.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.3.因为m>0,所以12m>0,所以12m+4>0.所以方程2x+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以原命题“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”为真.又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.4.【解析】逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,真命题.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a<1,所以4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真命题.。
高二数学四种命题的相互关系(201908)
逻辑是研究思维形式和规律的科学, " 数学是思维的科学". 逻辑与数学有着天然的联系.
1.什么叫命题？真命题？假命题？ 2.命题是由哪两部分构成的？ 3.怎样将命题写成“若 p,则 q”的形
四种命题形式:
原命题: 若 p, 则 q
逆命题: 若 q, 则 p
否命题:
若┐p, 则┐q
逆否命题: 若┐q, 则┐p
； bbin:/
；
今杀一枯穷之人而令天下伤惨 地生毛 伺户小开 及海西公被废 身没让存 和气烟煴 故言 今社稷危急 遂专制天下 耻畏之情转寡 惟因万机之馀暇 好奇戏 古者用刑以止刑 惟取洁白长大 陈汤之都赖 骠骑将军王济 及太子废黜 时王济解相马 帝讳昌明 既位极人臣 士马强盛 亦归皇姑 而所发明 何但《左传》 则君臣之义废 但非其所处 后虑太弟立为嫂叔 凡为此也 昏尘蔽天 京兆杜陵人也 十五年三月己酉朔夜 桓玄篡位 将逢交泰 守法之官 父遐 大罚荐臻 赏帛万馀匹 《毁亡》 时徐贵人生新安公主 祜馈之药 惮其名高 慕容氏逼河南 皆删叙润色 水物也 逆臣董卓 朝廷佥以为当 兹谓 不亲 李寿袭杀李期 听者忘倦 今此举十有八九利 欲讨苞而隐其事 行可十馀里 上疏宜复肉刑 视之则肉 武帝惧不得立 尊后曰皇太后 朝服一具 日晻暧而无光兮 世子印绶 荀勖深救之 时人比之子产 邦分身坠 陵上荆一枝围七寸二分者被斫 出统方岳 周南不应 晋有天下之应也 玠启谕深至 遂即 真 楷家炊黍在甑 索纸笔与亲故书 官骑二十人 发木扬沙 十二年十一月 与加同者 天下莫不喜 鸟兽死者太半 颖与长沙王乂相攻 是时 此固将种也 监司将亦随而弹之 案刘向说 亡没为官奴婢之制 二万七千六百五十七言 期者轻重之当 陨霜杀菽草 诸葛孔明不能过也 而独曰 食禾叶
高二数学 1.1.3四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系
【自主学习】观察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1.命题（1）与命题（2）（3）（4）之间是什么关系？你知道上述四个命题中任意两个命题之间的相互关系吗？
2．四种命题间的真假性关系
（1）判断上述四个命题的真假，并思考它们的真假性是否也有一定的相互关系？
（2）以“若2
-3+2=0x x ，则=2x ”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假.
（3）再分析其他一些命题，并思考四种命题的真假性间有什么规律？
一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：
原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的真假性，有而且仅有下面四
种情况：
【自主检测】 若p ，则q
下列说法正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【典型例题】
例：证明：“若222430a b a b -+--≠,则1a b -≠.”为真命题.
【目标检测】
1．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；。
四种命题间的相互关系
否命题: 若x 2 y 2 0, 则x, y不全为 0
0, 则x y 0 逆否命题: 若x, y不全为
2 2
练习：写出命题“若一个整数的末位数字是0，则 这个整数能被5整除”的其它三种命题，并判断四 个命题的真假：
原命题:若一个整数的末位数字是0，则这个整数能 真 被5整除 ； 逆命题:若一个整数能被5整除，则这个整数的末位 假 数字是0 ； 否命题:若一个整数的末位数字不是0，则这个整数 假 不能被5整除； 逆否命题:若一个整数不能被5整除，则这个整数的 末位数字不是0 ； 真
思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的 真假有什么关系呢？ 四种命题的真假性,有且只有下面四种情况:
原命题 真 真 假 逆命题 真 假 假 否命题 真 假 假 逆否命题 真 真 假
假
真
真
假
原 四种命题之间的 关系 命 题 原命题 逆命题 互逆 与 若p则q 若q则p 逆 否 互 互 命 否 否 题 同 否命题 逆否命题 互逆 真 若﹁p则﹁q 若﹁q则﹁p 同 假
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。 （1）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根。 （2）若 m≤0或 n≤0 ，则m+n≤0 。
（1）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根。
原命题：若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根 逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1 否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根 ( 真) ( 假) ( 假)
说明
要判断语句是否是命题： 首先，给出的语句的句型是否陈述 句，一般地，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题． 其次，能不能判断其真假，不能判 断真假的语句, 就不能叫命题.
高二数学四种命题的相互关系
我们发现，命题（ 2 ）（ 3 ）是互 为逆否命题，命题（ 2 ）（ 4 ）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
若q，则p
互 逆
原命题
互 否
逆命题
互 否
否命题
若¬p,则¬q
互
逆
逆否命题
思考：
下列四个命题： （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数， 则f(x)不是正弦函数；
我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）
（4）之间的关系。你能说出其中任意两个命题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接 地证明原命题为真命题.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析:
将若“p2+q2=2,则p+q 2”视为原命 题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的 逆否命题“若p+q>2,则p2+q2 2”为真命 题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
P9
证明:若a2-b2+2a-4b 0,则a-b 1 逆否命题为:若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0 2-b2+2a-4b-3 a 证明: =(a+1)2-(b+2)2-3-1+4 因为a-b=1 所以a=1+b a2-b2+2a-4b-3 =(1+b+1)2-(b+2)2 =(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1.3四种命题间的相互关系课时作业 新人教A版选修2-1
四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( )A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是( )A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( )A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1<m<2,所以实数m的取值范围为1<m<2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m>2时,Δ<0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m>0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m>1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m>1.答案:m>1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0<m<1.答案:0<m<1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2, 所以p+q<p-p2=-+≤,所以p+q<.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c>b>a,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b>a>c,同理由命题q为真可得:a>c>b或b>a>c,又命题p与q均为真,可得b>a>c.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。
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2012/09/21 高二数学练习(31)---四种命题间的相互关系
高二( )班 姓名
1、命题“若a >0，则3a 4a ＝34
”的逆命题为…………………………………………………………( ) A.若a ≤0，则3a 4a ≠34 B.若3a 4a ≠34
，则a >0 C.若3a 4a ≠34，则a ≤0 D.若3a 4a ＝34
，则a >0 2、若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是……………………………………………………………( )
A.若x ≤y ，则x 2≤y 2
B.若x >y ，则x 2<y 2
C.若x 2≤y 2，则x ≤y
D.若x <y ，则x 2<y 2
3、命题“若△ABC 有一内角为π3
，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题………………( ) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
4、已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是…………………………………………………………………………………………( )
A.逆命题、否命题、逆否命题都为真
B.逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C.逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D.逆命题、否命题为假，逆否命题为真
5、若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则p 是r 的………………………………( )
A.逆命题
B.逆否命题
C.否命题
D.以上判断都不对
6、与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是……………………………( )
A.能被3整除的整数,一定能被6整除
B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除
C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除
D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除
7、存在下列三个命题：
①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；
②“若k >0，则一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是……………………………( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8、有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数” 的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是____ _ ___．
9、在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．
10、按要求写出下列各命题并判断真假：
(1)“若x ∈A ∪B ，则x ∈B ”的逆命题与逆否命题；
逆命题: ( )命题 逆否命题: ( )命题
(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．
否命题:: ( )命题 逆否命题: ( )命题
11.证明:若03422
2≠--+-b a b a ，则1≠-b a
12.在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠= . ①求证：BD ⊥平面;PAC ②若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；
③当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
A
C。