初中数学几何角度计算十一种模型梳理

初中数学角度计算中11个经典模型（56页wo rd）模型1猪脚模型图1 图2【条件】如图1【结论】∠3=∠1+∠2【证明】如图2，过拐点作平行线∠1=∠4，∠5=∠2∠3=∠4+∠5=∠1+∠2即∠3=∠1+∠2例题1 如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝110°B．∠α+∠β＝70°C．∠β﹣∠α＝70°D．∠α+∠β＝90°【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，即可解答．【解析】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.变式1 如图,AB //EF ,∠D =90°,则α,β,γ的大小关系是（ ）A ．βαγ=+B ．90βαγ=+-︒C ．90βγα=+︒-D ．90βαγ=+︒-【解析】如图,过点C 和点D 作CG //AB ,DH //AB ,∵CG //AB ,DH //AB ,∴CG //DH //AB ,∵AB //EF ,∴AB //EF //CG //DH ,∵CG //AB ,∴∠BCG =α,∴∠GCD =∠BCD -∠BCG =β-α,∵CG //DH ,∴∠CDH =∠GCD =β-α, ∵HD //EF ,∴∠HDE =γ,∵∠EDC =∠HDE +∠CDH =90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D ． 模型2 铅笔模型图1 图2【条件】如图1【结论】∠1+∠2+∠3=360°【证明】如图2，过拐点作平行线根据同旁内角互补得，∠1+∠4=180°，∠2+∠5=180°又∠3=∠4+∠5所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠4+∠5=360°【推广】∠1+∠2+∠3+…+∠n = 180°(n -1)【即变异铅笔模型】变式2 综合探究：已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．图1 图2 （1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数；（2）如图2，若点P 是CD 下方一点，MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，已知40BMG ∠=︒，求MGN MPN ∠+∠的度数．【解析】（1）如图1，过G 作//GH AB ，//AB CD ，////GH AB CD ∴AMG HGM ∴∠=∠，CNG HGN =∠∠，MG NG ⊥90MGN MGH NCH AMG CNG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒图1（2）如图2，过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB 设GND α∠=//GK AB ，//AB CD ，//GK CD ∴KGN GND α∴∠=∠=，//GK AB ，40BMG ∠=︒，40MGK BMG ∴∠=∠=︒ MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，40GMP BMG ∴∠=∠=︒，80BMP ∴∠=︒， //PQ AB ，80MPQ BMP ∴∠=∠=︒，ND 平分CNP ∠，DNP GND α∴∠=∠=， //AB CD ，//PQ CD ∴，QPN DNP α∴∠=∠=，40MGN α∴∠=︒+，80MPN α∠=︒-，4080120MGN MPN αα∴∠+∠=︒++︒-=︒图2模型3双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠BAC+∠ACB=90°又∠ECD+∠ACB=90°∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°∴∠ACB=∠CED，得证。

例题2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED＝55°．求∠A的度数．【解析】∵FD⊥AB于D，∴∠BED+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BED＝55°．变式3如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠A的度数．【解析】∵DF⊥BC，∴∠FDC＝90°，∵∠AFD＝152°，∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°，∵∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°．变式4如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．变式5（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B 有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【解析】（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．模型4A字模型图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2例题3 如图所示，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2等于多少度？【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C，∵∠C＝75°，∴∠A+∠B＝180°﹣75°＝105°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B），∴∠1+∠2＝360°﹣105°＝255°．变式6如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【解析】∵∠A＝40°，∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°．模型5双内角平分线模型【条件】B P、C P分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.1∠A.【结论】∠P=90°+2例题4 如图，△ABC中，（1）若∠B＝70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B＝70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．【解析】（1）∵∠B＝70°，∴∠BAC+∠BCA＝110°，∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA）＝×110°＝55°，∴∠P＝180°﹣55°＝125°；（2）∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P AC＝∠BAC，∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC+∠PCA＝（∠P AC+∠PCA），∴∠P＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B．变式7如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．【解析】（1）∵BC平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠OBC＝∠ABC＝20°，∵CO平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠OCB＝∠ACB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣20°﹣30°＝130°．（2）∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝45°，∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°．（3）∵∠A＝m°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，又∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣m°，∴∠BOC＝90°+m°．变式8已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数．【解析】（1）∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°，又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°；（2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∵∠BDC＝140°，∴∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝α﹣（40°﹣α）＝12°，解得α＝26°，∴∠ACF＝26°．变式9已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝a，求∠BOC的度数；1∠ABC，∠（3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=31∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数．OCB=3【解析】（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；（2）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+；（3）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣α）＝60°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣）＝120°+．模型6内外角平分线模型【条件】B P、C P分别为∠ABC、∠ACE的角平分线1∠A【结论】∠P=2例题5 如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E．（1）已知∠A＝60°，求∠E的度数；（2）直接写出∠A与∠E的数量关系：．【解析】（1）∵CE、BE分别平分∠ACD、∠ABC，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝30°；（2）由（1）得，∠E＝∠A，∴∠A＝2∠E变式10如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB的度数．【解析】在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+40°，∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，即∠CAB＝80°．变式11如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）【解析】（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵∠DCE＝70°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°；（2）∵∠ABC＝70°，∠A＝80°，∴∠ACE＝150°∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠DCE＝∠ACE＝75°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝75°﹣35°＝40°；（3）不变化，理由：∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∴∠D＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A．变式12如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．【解析】如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，∴∠ACE＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∴2∠2＝2∠1+∠A，而∠2＝∠1+∠D，∴2∠2＝2∠1+2∠D，∴∠A＝2∠D，即∠D＝∠A，（1）当若∠A＝50°，则∠D＝25°；（2）若∠A＝80°，则∠D＝40°；（3）若∠A＝130°，则∠D＝65°．（4）若∠D＝36°，则∠A＝72°，（5）综上所述，∠D＝∠A；模型7双外角平分线模型【条件】B P、C P分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.1∠A.【结论】∠P=90°-2例题6 如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ，∠CBD与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：（1）若∠A ＝60°，则∠P ＝ °； （2）若∠A ＝40°，则∠P ＝ °；（3）若∠A ＝100°，则∠P ＝ °； （4）请用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系 ．【解析】（1）∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∠DBC +∠BCE ＝360°﹣120°＝240°，又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，∴∠PBC ＝∠DBC ，∠PCB ＝∠BCE ， ∴∠PBC +∠PCB ＝（∠DBC +∠ECB ）＝120°，∴∠P ＝60°．（2）70°；（3）40°（4）∠P ＝90°﹣∠A ．理由如下：∵BP 平分∠DBC ，CP 平分∠BCE ，∴∠DBC ＝2∠CBP ，∠BCE ＝2∠BCP又∵∠DBC ＝∠A +∠ACB ∠BCE ＝∠A +∠ABC ，∴2∠CBP ＝∠A +∠ACB ，2∠BCP ＝∠A +∠ABC ，∴2∠CBP +2∠BCP ＝∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ＝180°+∠A ，∴∠CBP +∠BCP ＝90°+∠A 又∵∠CBP +∠BCP +∠P ＝180°，∴∠P ＝90°﹣∠A ．变式13 BD 、CD 分别是△ABC 两个外角∠CBE 、∠BCF 平分线，求证∠BDC ＝90°21∠A ．【解析】证明：∵BD 、CD 分别是∠CBE 、∠BCF 的平分线∴∠DBC ＝∠EBC ，∠BCD ＝∠BCF ，∵∠CBE 、∠BCF 是△ABC 的两个外角∴∠CBE +∠BCF ＝360°﹣（180°﹣∠A ）＝180°+∠A∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．变式14如图，BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，求∠BIC的大小；（2）若∠A＝96°，试求∠BIC；（3）根据前面问题的求解，请归纳∠BIC和∠A的数量关系并进行证明．【解析】（1）如图所示，∵∠ABC＝40°，∠ACB＝36°，∴∠DBC＝140°，∠ECB＝144°，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3＝∠DBC＝70°，∠4＝∠ECB＝72°，∴△BCI中，∠I＝180°﹣70°﹣72°＝38°；（2）∵∠A＝96°，∴∠1+∠2＝84°，∴∠DBC+∠ECB＝276°，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×276°＝138°，∴△BCI中，∠I＝180°﹣138°＝42°；（3）∠BIC＝90°﹣∠A．证明：△ABC中，∠1+∠2＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵BI，CI分别平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，∴∠3+∠4＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCI中，∠I＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．变式15如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P．（1）若∠A＝30°，求∠BDC，∠BPC的度数．（2）若∠A＝m°，求∠BDC，∠BPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）（3）想一想，∠A的大小变化，对∠D+∠P的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求出其值．【解析】（1）∵BD，CD是内角平分线，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∴∠CBD+∠BCD＝75°．又∵∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝105°．∵∠CBE+∠BCF＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝210°，BP，CP是∠ABC，∠ACB外角平分线∴∠CBP+∠BCP＝（∠CBE+∠BCF）＝105°，∵∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝75°．（2）根据（1）的求角过程可知：∠BDC＝90°+°，∠BPC＝90°﹣°．（3）∵∠D+∠P＝90°+°+90°﹣°＝180°为定值，∴∠A的大小变化，对∠D+∠P的值无影响．模型8共定点角平分线和高线模型【条件】△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线1（∠B-∠C），即共顶点高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半【结论】∠HAD=2例题7 如图，在ABC ∆中，AD 、AE 分别是ABC ∆的高和角平分线，50B ∠=︒，60C ∠=°，则DAE =∠__________度．【解析】在△ABC 中，∵∠B =50°，∠C =60°，∴∠BAC =180°-∠B -∠C =180°-50°-60°=70°，∵AE 是ABC ∆的角平分线，∴∠EAC =12∠BAC =12×70°=35°， ∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC =90°∴在△ADC 中，∠DAC =180°-∠ADC -∠C =180°-90°-60°=30°，∴∠DAE =∠EAC -∠DAC =35°-30°=5°．变式16 如图所示，在ABC ∆中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，50BAC ∠=︒，70C ∠=︒，求DAC ∠、BOA ∠的度数.【解析】AD 是ABC ∆的高，90ADC ∴∠=︒在ADC ∆中，90907020DAC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒在ABC ∆中，180180507060ABC BAC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒AE ∵、BF 是角平分线，11603022∴∠=∠=⨯︒=︒ABO ABC 11502522BAO BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 在ABC ∆中，1801803025125BOA ABO BAO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒变式17 在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，∠EAD =15°，∠B =40°． （1）求∠C 的度数．（2）若：∠EAD =α，∠B =β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C 的度数．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵∠B =40°，∴∠BAD =90°-40°=50°，∵∠EAD =15°，∴∠BAE =50°-15°=35°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =∠BAE =12∠BAC =35°，∴∠BAC =70°， ∴∠C =180°-∠BAC -∠B =180°-70°-40°=70°；（2）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵∠B =β，∴∠BAD =90°-β， ∵∠EAD =α，∴∠BAE =90°-β-α，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =∠BAE =12∠BAC =90°-β-α， ∴∠BAC =180°-2β-2α，∴∠C =180°-∠BAC -∠B =180°-（180°-2β-2α）-β=β+2α． 变式18 如图，BD 、BE 分别是ABC ∆的高和角平分线，46A ∠=︒，74ABC ∠=︒，求DBE ∠的度数.【解析】∵BD 是ABC ∆的高，∴∠ABD =90904644A ︒-∠=︒-︒=︒，∵BE 是ABC ∆的角平分线，∴∠ABE =11743722ABC ∠=⨯︒=︒， ∴44377DBE ABD ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒.模型9 8字模型【条件】AE 、BD 相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .例题8 图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【解析】（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1，∠D+2∠B＝2∠P+∠B，即2∠P＝∠D+∠B．变式19 已知：如图，AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ．①若∠B ＝32°，∠D ＝38°，求∠M 的度数；②探索∠M 与∠B 、∠D 的关系并证明你的结论．【解析】①根据三角形内角和定理，∠B +∠BAM ＝∠M +∠BCM ，∴∠BAM ﹣∠BCM ＝∠M ﹣∠B ，同理，∠MAD ﹣∠MCD ＝∠D ﹣∠M ，∵AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，∴∠BAM ＝∠MAD ，∠BCM ＝∠MCD ， ∴∠M ﹣∠B ＝∠D ﹣∠M ，∴∠M ＝（∠B +∠D ）＝（32°+38°）＝35°；②根据三角形内角和定理，∠B +∠BAM ＝∠M +∠BCM ，∴∠BAM ﹣∠BCM ＝∠M ﹣∠B ， 同理，∠MAD ﹣∠MCD ＝∠D ﹣∠M ，∵AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，∴∠BAM ＝∠MAD ，∠BCM ＝∠MCD ， ∴∠M ﹣∠B ＝∠D ﹣∠M ，∴∠M ＝（∠B +∠D ）．变式20 如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A +∠C ＝∠B +∠D ；（2）如图2，若∠CAB 和∠BDC 的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ．①以线段AC 为边的“8字型”有 个，以点O 为交点的“8字型”有 个； ②若∠B ＝100°，∠C ＝120°，求∠P 的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=31∠CAB ，∠CDP=31∠CDB ”，试探究∠P 与∠B 、∠C 之间存在的数量关系，并证明理由．【解析】（1）证明：在图1中，有∠A +∠C ＝180°﹣∠AOC ，∠B +∠D ＝180°﹣∠BOD ， ∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠A +∠C ＝∠B +∠D ；（2）解：①3；4；②以M 为交点“8字型”中，有∠P +∠CDP ＝∠C +∠CAP ，以N 为交点“8字型”中，有∠P +∠BAP ＝∠B +∠BDP∴2∠P +∠BAP +∠CDP ＝∠B +∠C +∠CAP +∠BDP ，∵AP 、DP 分别平分∠CAB 和∠BDC ，∴∠BAP ＝∠CAP ，∠CDP ＝∠BDP ，∴2∠P ＝∠B +∠C ，∵∠B ＝100°，∠C ＝120°，∴∠P ＝（∠B +∠C ）＝（100°+120°）＝110°； ③3∠P ＝∠B +2∠C ，其理由是：∵∠CAP ＝∠CAB ，∠CDP ＝∠CDB ，∴∠BAP ＝∠CAB ，∠BDP ＝∠CDB ， 以M 为交点“8字型”中，有∠P +∠CDP ＝∠C +∠CAP ，以N 为交点“8字型”中，有∠P +∠BAP ＝∠B +∠BDP∴∠C ﹣∠P ＝∠CDP ﹣∠CAP ＝（∠CDB ﹣∠CAB ），∠P ﹣∠B ＝∠BDP ﹣∠BAP ＝（∠CDB ﹣∠CAB ）．∴2（∠C ﹣∠P ）＝∠P ﹣∠B ，∴3∠P ＝∠B +2∠C ．变式21 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A +∠B ＝∠C +∠D（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC ＝20°，∠ADC ＝26°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠F AD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若 ∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，猜想∠P 的度数为（4）在图4中，若设∠C ＝x ，∠B ＝y ，∠CAP=31∠CAB ，∠CDP=31∠CDB ，试问∠P 与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．【解析】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）的结论得：，①+②得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P＝（∠B+∠D）＝23°；（3）如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠F AD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠P AD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，∴2∠P＝∠B+∠D，∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；（4）同法可得：∠P＝x+y；（5）同法可得：∠P＝．模型10飞镖模型图1 图2 图3【条件】四边形AB P C如图1所示【结论】∠B P C=∠A+∠B+∠C.例题9 （1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【解析】（1）连接OA，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．变式22材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC度数．【解析】（1）如图①，连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABP+∠ACP）＝45°，∴∠BDC＝45°+40°＝85°．变式23在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B+∠E＝∠ECD+∠BDC，这样∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．尝试练习：图（2）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于．图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数等于．【解析】如图（2），连接CE，则有∠A+∠B＝∠AEC+∠BCE，∴∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠DEA＝180°；同理：图（3）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；图（4）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．变式24已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【解析】（1）如图1，延长AD交BC于E．在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°，在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°．（2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下：如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3，∴∠A+∠1＝∠P+∠3，∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C，∴∠A﹣∠C＝2∠P．（3）∠A+∠C＝2∠P，理由如下：同（2）理知∠A+∠1＝∠P+∠3，∠C+∠4＝∠P+∠2，∴∠A+∠C+∠1+∠4＝2∠P+∠2+∠3，∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3，∴∠A+∠C＝2∠P．模型11筝型【结论】∠P BD+∠P CE=∠A+∠P例题10 如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．（1）若∠A＝75°，则∠1+∠2＝．（2）若∠A＝n°，则∠1+∠2＝．（3）由（1）（2）探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．【解析】（1）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．（2）∵）∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝n°，∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣n°，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣n°）＝2n°，∴∠1+∠2＝2n°；（3）由（1）、（2）可知，2∠A＝∠1+∠2．变式25动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．观察猜想（1）如图1，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝55°，则∠1+∠2＝°；若∠A＝n°，则∠1+∠2＝°．探索证明：（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．拓展应用：（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．【解析】（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝80°；同理∠A＝55°，则∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，则∠1+∠2＝2n°；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝117°．变式26Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．（不需说明理由）．【解析】（1）如图1中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，∴∠1+∠2＝140°．（2）结论：∠1+∠2＝90°+α．理由如图2中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α，∴∠1+∠2＝90°+α．（3）如图3中，∵∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，∵∠C＝90°，∴∠1＝90°+∠2+α．故答案为∠1＝90°+∠2+α．。