人教版,数学,高一,必修一,1.3-2 函数的单调性
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《213函数的单调性》教案
2.1.3函数的单调性教学目标：理解函数的单调性教学重点：函数单调性的概念和判定教学过程：1、过对函数x y 2=、x y 3-=、xy 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念3、例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数。
解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[)[3,3,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-， [)3,1上是减函数，在区间[)[]5,3,1,2-上是增函数。
注意：1 单调区间的书写2 各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2、证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数。
证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x ，03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数。
例3、证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。
证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆ 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x于是0>∆y 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数。
利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值（2） 计算x ∆、y ∆（3） 对比符号（4） 结论课堂练习：教材第50页 练习A 、B小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法 课后作业：第57页 习题2-1A 第5题。
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$， 当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$；反之，如果函数在某个区间内单调递减，那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3)，在 (x = 0) 处函数由递减变为递增，因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用，通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势，从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题，如经济问题、物理问题等。例如，在经济学中，通过分析需求函数和供给函数的 单调性，可以预测市场的价格变化趋势；在物理学中，通过分析受力函数的单调性，可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
人教版数学必修一1.3.1《函数的单调性》 课件
过程分析
结合的能力.
评价分析
教材分析 3.情感目标：
学情分析
目标分析 教法分析
让学生积极参与观察、分析、探索等课堂 教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦，以此激发求知欲望。
领会用从特殊到一般，再从一般到特殊的 方法去观察分析事物。
过程分析
评价分析
教材分析 教学重点难点：
学情分析 目标分析
t (小时)
-2
问题：1.全天的最高、最低气温分别是多少？气
温随着时间的变化趋势？
2.提出问题，引出困惑。 需要从新的高度来认识函数. 对此提出进一步学习函数单 调性的必要性。（板书课题）
2.如何用数学语言说明随着t的变化,T的变化趋势
(二)提出直观定义
(1) y x 1
y
观察下列函数的图象变化
评价分析
教材分析
教学方法：问答式和探究式
学情分析 目标分析 教法分析
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题， 为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距 离，激发学生主体参与的积极性．
过程分析 评价分析
教材分析
学情分析 目标分析
2、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教 师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范 书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的 推理，并成功地完成书面表达．
重点： 函数单调性的概念与判断
教法分析
难点： 利用函数单调性定义或者图象判
断简单函数的单调性
过程分析
评价分析
教材分析 重点难点解决策略：
学情分析 目标分析 教法分析 过程分析
本课在设计上采用了由特殊到一般、 从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比划归的思想，层层 深入；通过学生自主观察，分析、探究得 单调性概念,同时,借助多媒体的直观演示， 帮助学生理解，并通过范例后的变式训练 和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合， 从而突出重点、突破难点．
高一数学函数的单调性
课后尝试
1、若定义在R上的单调减函数 f ( x ) 满 足 f (1 a ) f (3 a ) ，你知道 a 的 取值范围吗？ 2 2、函数 y x bx c在［0，＋∞ ） 是增函数，你能确定字母 b 的值吗？
谢谢！
澳大利亚旅游 澳大利亚旅游
生活实际问题的提供体现了数 学来源于生活，也用于解决生活中 的问题．
－1
y
1
O
x
小结
1、函数的单调性的定义． 2、判断、证明函数的单调性方法．
通过学生的主体参与，使学生 深切体会到本节课的主要内容和思 想方法，从而实现对函数单调性认 识的再次深化.
通过三个方面的 作业布置 作业，使学生养成先 看书，后做作业的习 （1）阅读课本P34－P35 例3 惯．课后尝试是对课 （2）书面作业：课本堂知识的深化理解． P43 1、4、7
vktpksb6
巩固
你能找出气温图中的单调区间吗?
单调增区间： [4，14] 单调减区间： [0，4] ，[14，24]
回顾
我们初中学过的函数
y y y
O
x
O
x
O
x
y 2 x 2
y x 2x 3
2
1 y x
用定义法证明函数单调性的步骤：
①取值； ②作差变形； ③定号； ④判断．
设计说明
2、单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数， 那么就说函数y＝f(x) 在区间I上具有单调性．单调增区间 和单调减区间统称为单调区间．
设计说明
从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数 单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好 基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性 最本质的东西． 函数单调性定义产生是本节课的难点 ，难 在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学 语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直 至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现 以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
人教版高中数学必修一 1.3.1 函数的单调性 教学设计(一等奖)
教学设计中学数学教学设计：§1.3.《函数的单调性》教学设计一【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.二【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
三【教学目标】1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.四【教学重点与难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．五【学法与教学用具】1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
高中数学 第三章函数的概念与性质函数的单调性讲义 新人教A版必修一第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的． [基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． [尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
人教版高中数学必修1《函数单调性》说
例3
证明函数f(x)=
1 x
在(0,+ )上是减函数.
证明：设x1,x2,是(0,+ )上的任意两个实数，且x1<x2，
1
则f(x1)－f(x2)= x 1
1
－x 2
x2 x1
= x1x2
由x1,x2∈(0,+ )，得 x 1 x 2 >0,
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
x （-∞，0]上 f ( x )随 的增大而减小 x [0，+∞）上 f ( x )随 的增大而增大
单调递增：
任意x1,x2在区间I上， 且x1< x2
都有f(x1)<f(x2)
单调递减：
任意x1,x2在区间I上， 且x1< x2
都有f(x1) > f(x2)
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内 “随着时间的增大气温逐渐升高”这一 特征？
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
xO
x
y
f (x) x2
f (x)
Ox
x
y
f (x) x2
f (x)
f(x)在I上单调递增， I为增区间(图像：上升)
f(x)在I上单调递减， I为减区间(图像：下降)
例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数
人教版高中数学必修一《1.3.1 函数的单调性》教学设计
1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念、函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要让学生掌握函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。
如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标设置:（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。
（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。
(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:学生在初中只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。
新人教版高一数学知识点
新人教版高一数学知识点高一上册数学必修一知识点梳理函数的性质函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：(1)任取x1，x2∈D，且x1(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.9.利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.高一数学必修五知识点总结⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有：a+a+a+…=a+a+a+….⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=.⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d<0,则当a≥0且a≤0时,S;②若a<0,公差d>0,则当a≤0且a≥0时,S 最小.高一数学学习方法参考基础是关键，课本是首选首先，新高一同学要明确的是：高一数学是高中数学的重点基础。
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( B) y 3x 1
2
( D) y 2x2 x 1
x 1 x 0 x 1 x 0
________
f (x1 )
在给定区间上任取 1 , x2 , x
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
f (x 2 )
函数f (x)在给定区间上为减函数。
x
O
x1
x2
练习：下列说法是否正确 • 1.定义在R上的函数f(x),有f(2)>f(1),那么函数在R上 是增函数 不正确 • 2.定义在R上的函数f(x),有f(2)>f(1),那么函数在R上 不是减函数 正确 • 3.定义在R上的函数f(x),在（-∞，0]是增函数，在 [0.+ ∞ ）是增函数，那么函数在R上是增函数 正确 • 4.定义在R上的函数f(x),在（- ∞ ，0]是增函数，在 （0.+ ∞ ）是增函数，那么函数在R上是增函数
另外(4) y (5) y=|x|
x
0,)增
(,0]减;0,)增.
.
思考一： 若f(x)=x2-2ax+3a-1在[3,+∞)上递增,则a∈
思考二
若二次函数 f ( x) x ax 4 的单调增区
2
间是
A.
,1
B.
，
则a的取值情况是 （
C.
）
a 2
1.3 函数的基本性质 之单调性 第2课时
f(x)在定义域内的某个区间D上为单调函数的数学定义：
y
y f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x
在给定区间上任取 1 , x2 , x
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x1
y
y f (x)
不正确
常见函数的单调性： (1)一次函数y=kx+b k>0时(-∞,+∞)增; k<0时(-∞,+∞)减
k (2)反比例函数 y x
k 0时(,0),(0,)减; k 0时(,0),(0,)增
(3)二次函数y=ax2+bx+c
b b b b a 0时( , ]减, [ ,)增; a 0时( , ]增, [ ,)减 2a 2a 2a 2a
a2
2
a 2
x) x ax 4 在区间 上单调递增，求a的取值范围。
,1
区别两个说法：函数在区间D1上是单调增函数 函数的单调增区间是D2 区间D1与D2的区别是什么？ D1包含于D2
( A) y 2 x 1
2 (C ) y x