2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列(打印版)

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列一选择题1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4C 、5D 、6【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2，1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B【解析】＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n2==2,⟹ =2=2 ⋯⋯,= − ⟹ =⋯⋯+2 =4⋯⋯,−2 =⋯⋯=− ,是正数递增数列所以===−1（因为边不是最大边，所以是锐角）是正数递减数列 ⟹ 是正数递增数列=是递增数列所以选B 3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，，则1a ＝（ ）（A ）31 （B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C解析:⟹=+⟹9⟹ q=±3 又即=9⇒=914.陕西 14. 观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 )1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ .【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。

第n 个等式为21-n 222n 1--32-1）（++ 。

当n 为偶数时，分组求和：21)n(n -])1[()43()2-1222222+=--++-+n n （。

当n 为奇数时，第n 个等式=21)n(n 21)n(n -2+=+-n 。

综上，第n 个等式：)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（ 5.江西1等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．-24 B.0 C.12 D.246.福建9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q7.辽宁（4）下面是关于公差0d>的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为 （A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p【答案】D 【解析】因为=，且所以函数是增函数，所以1P 正确；,增区间是,当，不是递增 所以2P 错；,如果是递减数列，是常数列，是递增数列，所以3P 错；，是递增数列，4P 正确.选D8.上海17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） (A)18 (B)28(C)48(D)63答案A解析，而2,3,,1i j += ，故不同数值个数为18个， 二填空题 9.湖北1410.重庆12、已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S =【答案】：6411.上海1．计算：20lim______313n n n →∞+=+答案：解析;==12.安徽理（14）如图，互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

设.nn OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_____*,23N n n a n ∈-=____。

【答案】*,23N n n a n ∈-=【解析】 2210011011)(a aS S S S A B B A S O B A n n n n =+⇒∆++的面积为，梯形的面积为设.41)(,32210==⇒a a S S .)(13232.)(3431)()1(2122122100+++++=+-=++⇒=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面131)(13113231077441)()()()()(21121121243232221+=⇒+=+-⋅⋅==⇒+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n *,231,1311N n n a a n a n n ∈-=⇒=+=⇒+且13.广东12.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 解析：3a 5+a 7=a 5+a 4+a 6+a 7=(a 4+a 7)+(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)= 20 [新课标I]14、若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系，是容易题.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.14.【湖南】15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

【答案】【解析】：由1(1),,2n nn n S a n N *=--∈得⟹,⟹由得,同时⟹,即．=−=−−+ ⟹=++ ⋯⋯当n=2k为偶数时得：=++ =−⋯⋯当n=2k−1为奇数时得：=++即=+ =+=+ =即=⋯⋯=2==15.[江苏] 14．在正项等比数列}{na中，215=a，376=+aa，则满足nnaaaaaa2121>+++的最大正整数n的值为．【答案】12【解析】设正项等比数列}{na首项为a1，公比为q，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141qqaqa，得：a1＝132，q＝2，a n ＝26－n．记521212-=+++=n n n a a a S ，2)1(212n n n n a a a T -== ．n n T S >，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212T S >，当n ＝13时，1313T S <，故n max ＝12．16.福建15. 当1,<∈x R x 时，有如下表达式： xx x x n-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++2102102102210210111dx xdx x dx x xdx dx n从而得到如下等式：.2ln )21(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)21(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C17.辽宁（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .【答案】63 【解析】解方程得131,4a a ==，所以2314a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S =18.全国（6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 [答案]C[解析]3⟹⟹数列是首相为4公比为的等比数列19.新课标II （16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n n S 的最小值为 。

【答案】－49 解析：,10,⋯,解得：，所以= ，==0,⟹n=0或n=即在区间为减在为增 n= 极小值点，由于n 是正整数 所以最小值在n=6或n=7时取到=−48 ， =−49 所以最小值为=−4920．北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = .三解答题21.天津(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.解析Ⅰ，S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. ⟹24⟹，数列不减⟹q =−⟹Ⅱ，n 为奇数时，是减是增 −是减，所以 −是减⟹n 为偶数时，是增是减 −是增，所以 −是增⟹最大最小22.上海23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.23. 【解答】：（1）因为0c>，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+ 即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a >此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++，即1112|4|||8a c a c a c ++=++++， 当10a c +≥时，等式成立，且2n≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意；若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+ 也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．23.山东 （20）（本小题满分12分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==所以21na n =-24.陕西17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.【答案】(Ⅰ) ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n ;(Ⅱ) 见下；【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。