材料力学第6章 弯曲变形
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
刘鸿文版材料力学第六章
F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
弯曲变形——精选推荐
第六章弯曲变形判断弯曲变形1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线”2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程”4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
”6、“最大挠度处的截面转角一定为0”7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大”8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。
”9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求”10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”选择弯曲变形1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的倍；最大挠度是原来的倍。
若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的倍，最大挠度是原来的倍。
A：2； B：16 C：8 D：4；2、y’’=M(x)/EI在条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C；3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在处。
A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；4、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。
A：减小集中力P； B：减小梁的跨度；C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/I Z,②y’’=M(x)/EI Z哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误； C:①错误、②正确； D：①错误、②错误；6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
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积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条
件确定。 位移边界条件
~
A
wA A
－弹簧变形
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
光滑连续条件
x a wBL wBR
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d 2w
EI M (x) F(x l)
积分一次
dx2 EI
dw
EIq
1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次 EIw 1 F (x l)3 Cx D
6
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
y
例1
x 0, q A 0
M (x) > 0
w M x
EI
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
O
d2y
dx 2 < 0
x
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的 二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正
③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数— w=f(x)
④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系— q tgq dw f '(x)
dx 3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还
有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而
x 0, yA 0
Ax
yB
代入求解 C 1 Fl2, D 1 Fl3
l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EIq 1 F (x l)2 1 Fl2
EIw
12F ( x
l)3
1
2 Fl
2
x
1
Fl3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
q max
qB
Fl 2 ,
2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
A
qA
2）弯矩方程
FAy x1
DC
ymax
AC 段：
x2
M
x1
FAy x1
Fb l
x1,0
x1
a
a
b
CB 段：
B qB x
FBy
M x2
FAy x2
F (x2
a)
Fb l
x2
F (x2
a),
a x2 l
2020年4月25日星期六
材料力学
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
F Bx
qB
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
B
x
x
l y
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2
解：
M(x) ql x q x2 22
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁 的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条 件、连续条件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； ⑤缺点：计算较繁。
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
EIw M x
EIw ql x q x2 22
A
x
y
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
q
B
x
l
2020年4月25日星期六
材料力学
例2由边界条件：
x 0时，w 0; x l时，w 0
q
得： C ql3 ,D 0 24
A
梁的转角方程和挠曲线
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
• 顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
y
A
q
x
F
q w
B
x
2.梁位移的度量：
B1
①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正
最大挠度，梁的EI已知。
y
F
A
x
yB
l
B
x
qB
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1
y
F
解 1）由梁的整体平衡分析可得： A FAx 0, FAy F(), M A Fl( ) x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
qB
M (x) F(l x) F(x l)
EIw M xd x C q tanq w/ 转角方程
EIw M xd x d x Cx D
挠曲线方程
以上两式中的积分常数C1，D由边界条件确定后
即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条
光滑连续条件
qA
FAy x1
ymax
x2
x1 x2 a, q1(a) q2 (a) a
b
x1 x2 a, y1(a) y2 (a)
代入求解，得
B qB x
FBy
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
D1 D2 0
2020年4月25日星期六
材料力学
5）确定转角方程和挠度方程
例3 AC 段： 0 x1 a
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
B qB x
FBy
2020年4月25日星期六
材料力学
6）确定最大转角和最大挠度
例3
令 dq 0 得，
dx
l a x
l ,q max
qB
Fab 6EIl
(
)( )
令 dy 0 得， dx
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
思考1
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问
x θA
θB
B
x
方程分别为：
y
l
q q (6lx2 4x3 l3) w qx (2lx2 x3 l3)
24EI
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
qmax
qA
q B
ql3 24 EI
wm a x
w
x l 2
5ql 4 384EI
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
位移边界条件
当梁受到指向相同的
荷载作用时，简支梁最大
转角q发生在左支座或右
支座截面处。
简支梁最大挠度w发生在w/=0处 在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有
拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
2020年弯曲变形
例3
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
Fb
Fa
FAx 0, FAy l , FBy l
由上式进行积分，再利用边界条件（boundary condition）和连续条件(continuity condition) 确 定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
5.讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的 平面弯曲。
x轴之间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
•(a)
•(b)
• 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯 曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条 件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸 相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程 度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的 挠度和转角则明显不同。
件确定。 位移边界条件
~
A
wA A
－弹簧变形
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
光滑连续条件
x a wBL wBR
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d 2w
EI M (x) F(x l)
积分一次
dx2 EI
dw
EIq
1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次 EIw 1 F (x l)3 Cx D
6
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
y
例1
x 0, q A 0
M (x) > 0
w M x
EI
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
O
d2y
dx 2 < 0
x
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的 二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正
③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数— w=f(x)
④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系— q tgq dw f '(x)
dx 3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还
有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而
x 0, yA 0
Ax
yB
代入求解 C 1 Fl2, D 1 Fl3
l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EIq 1 F (x l)2 1 Fl2
EIw
12F ( x
l)3
1
2 Fl
2
x
1
Fl3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
q max
qB
Fl 2 ,
2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
A
qA
2）弯矩方程
FAy x1
DC
ymax
AC 段：
x2
M
x1
FAy x1
Fb l
x1,0
x1
a
a
b
CB 段：
B qB x
FBy
M x2
FAy x2
F (x2
a)
Fb l
x2
F (x2
a),
a x2 l
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材料力学
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
F Bx
qB
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
B
x
x
l y
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2
解：
M(x) ql x q x2 22
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁 的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条 件、连续条件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； ⑤缺点：计算较繁。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
EIw M x
EIw ql x q x2 22
A
x
y
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
q
B
x
l
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材料力学
例2由边界条件：
x 0时，w 0; x l时，w 0
q
得： C ql3 ,D 0 24
A
梁的转角方程和挠曲线
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
• 顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
y
A
q
x
F
q w
B
x
2.梁位移的度量：
B1
①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正
最大挠度，梁的EI已知。
y
F
A
x
yB
l
B
x
qB
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1
y
F
解 1）由梁的整体平衡分析可得： A FAx 0, FAy F(), M A Fl( ) x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
qB
M (x) F(l x) F(x l)
EIw M xd x C q tanq w/ 转角方程
EIw M xd x d x Cx D
挠曲线方程
以上两式中的积分常数C1，D由边界条件确定后
即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条
光滑连续条件
qA
FAy x1
ymax
x2
x1 x2 a, q1(a) q2 (a) a
b
x1 x2 a, y1(a) y2 (a)
代入求解，得
B qB x
FBy
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
D1 D2 0
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材料力学
5）确定转角方程和挠度方程
例3 AC 段： 0 x1 a
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
B qB x
FBy
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材料力学
6）确定最大转角和最大挠度
例3
令 dq 0 得，
dx
l a x
l ,q max
qB
Fab 6EIl
(
)( )
令 dy 0 得， dx
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
思考1
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问
x θA
θB
B
x
方程分别为：
y
l
q q (6lx2 4x3 l3) w qx (2lx2 x3 l3)
24EI
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
qmax
qA
q B
ql3 24 EI
wm a x
w
x l 2
5ql 4 384EI
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位移边界条件
当梁受到指向相同的
荷载作用时，简支梁最大
转角q发生在左支座或右
支座截面处。
简支梁最大挠度w发生在w/=0处 在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有
拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
2020年弯曲变形
例3
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
Fb
Fa
FAx 0, FAy l , FBy l
由上式进行积分，再利用边界条件（boundary condition）和连续条件(continuity condition) 确 定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
5.讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的 平面弯曲。
x轴之间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
•(a)
•(b)
• 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯 曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条 件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸 相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程 度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的 挠度和转角则明显不同。