圆柱的体积与容积的转化
人教版六年级下册数学第3单元 圆柱与圆锥 《圆柱的体积》不规则立体图形容积的计算方法
10mL＝10cm3 10×[4÷(4＋1)]＝8(cm3)＝8(mL) 答：瓶中现有8mL药水。
6.一个底面周长是25.12cm的圆柱，斜着截去这个圆柱 的一半。剩余部分的体积是多少立方厘米？
25.12÷3.14÷2＝4(cm) 3.14×42×(16＋20)÷2＝904.32(cm3) 答：剩余部分的体积是904.32cm3。
3.14×22×(8＋2)＝125.6(cm3)＝125.6(mL) 答：这个瓶子的容积是125.6mL。
易错警示：将不规则立体图形转化成规则的圆柱 后，圆柱的高不是12cm，而是( )cm。
10
提升点 不规则容器容积的变式练习
5.一种药水瓶的瓶身是圆柱形(不包括瓶颈)，容积是 10mL，现在瓶中装有一些药水，正放时药水高度是 4cm，倒放时，空余部分的高度是1cm，瓶中现有多 少毫升药水？
3.一个下部是圆柱形的玻璃瓶，瓶高30cm，现装有300mL 的水，玻璃瓶正立和倒立的情形如下图所示，这个瓶 子能装水多少毫升？
300mL＝300cm3 300÷20×(30－25＋20)＝375(cm3)＝375(mL) 答：这个瓶子能装水375mL。
易错辨析
4.一个胶水瓶(如图)，高12cm，瓶子的底面半径是2cm， 当瓶子正放时，瓶内胶水面高8cm，瓶子倒放时，空 余部分高2cm，这个瓶子的容积是多少毫升？
想：瓶子的容积实际上是( 水 )的体积与(空气 )的体积的 和。 水的体积：_____________________________________
3.14×(10÷2)2×6＝471(cm3)＝471(mL) 空气的体积：______________________________________ 瓶子的容积：3_.1_4_×__(_1_0_÷__2_)_2×__1_5_＝__1_1_7_7_._5_(_cm__3_)＝__1177.5(mL) 答：这个瓶子的47容1＋积1是17_7_.5_＝__1_6_4_8m.5L(m。L)
人教版六年级数学下册第三单元_第04课时_解决问题-求不规则物体的容积例7(教学设计)
第三单元第4课时求不规则物体的容积例7 教学设计教学流程1.复习提问。
（1）圆柱的体积怎么计算？体积和容积有什么区别？（学生结合给出的条件利用公式法求圆柱的体积）（2）已知圆柱的底面直径和高，如何计算它的体积？如果已知底面周长和高，又如何计算呢？出示几个图形。
导入：这节课我们应用圆柱的体积计算公式解决实际问题。
知识链接—构“联系”提问：还记得我们是怎样测出这个石块的体积的吗？课件展示：利用排水法求不规则物体的体积的方法。
我们用到了转化的方法。
将不规则的石头转化成规则的圆柱来求它的体积。
揭示：这种的转化的思想方法可以帮助我们解决类似的问题。
同学们，我们已经学会了求圆柱体的体积，但生活中不少物体是不规则的，那应该如何来计算它们的体积呢？比如屏幕上的这个瓶子，你会求它的容积吗？说一说。
学习任务一：阅读与理解，分析问题。
【设计意图：通过回顾求不规则物体的体积的方法，让学生能够在解决例7问题时也想到转化的方法，再通过做题复习求圆柱体积方法及计算公式，为新知学习打基础。
让学生通过小组讨论，明确题意与已知条件，分析出解决问题的关键点以及解决问题的方法。
】新知探究—习“方法”1.阅读与理解。
课件出示例7。
（1）读题，明确题意，获得数学信息。
引导学生思考交流，在解决问题的过程中，你发现了什么问题？（通过观察思考会发现：瓶子不是规则的立体图形，无法直接计算容积）（2）组织学生在小组内讨论，找出解决问题的方法。
学生操作讨论后会发现：无论瓶子是正置还是倒置，水的体积、瓶子的容积都不变，那么无水部分的容积也是不变的。
所以可以把正置放平时水的体积（圆柱）加上倒置放平时无水部分（圆柱）的体积，就是瓶子的容积。
即瓶子的容积可以转化成两个圆柱的体积。
(3)课件演示转化的过程。
学习任务二：用转化的方法求圆柱的容积问题【设计意图：通过“理解——分析——回顾”的教学过程，让学生在探讨、交流中体会把不规则图形转化成规则图形的过程，发展学生的思维，提高学生解决问题的能力，注重容积计算方法的推导过程。
体积与容积的计算
体积与容积的计算在物理学和数学中，体积和容积是两个重要的概念。
它们常常被用来描述物体的大小或者空间的大小。
体积通常用于描述立体物体的大小，容积则更多地用于描述容器或者空间的大小。
本文将介绍体积与容积的计算方法，并给出一些实际应用的例子。
一、体积的计算体积是用来衡量一个物体占据的空间大小的量。
对于规则的几何体，我们可以用简单的公式来计算体积。
下面将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算立方体是最基本的几何体之一，具有六个相等的面。
假设立方体边长为a，则其体积V可以通过公式V=a^3来计算。
2. 长方体和正方形柱的体积计算长方体和正方形柱也是常见的几何体，它们有三个相等的面。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其体积V可以通过公式V=a*b*c来计算。
3. 球体的体积计算球体是一种特殊的几何体，没有面和边。
假设球体的半径为r，则其体积V可以通过公式V=(4/3)*π*r^3来计算，其中π约等于3.14159。
4. 圆柱体的体积计算圆柱体由一个圆和一个平行于圆底的矩形组成。
假设圆柱体的底面半径为r，高为h，则其体积V可以通过公式V=π*r^2*h来计算。
二、容积的计算容积是用来衡量一个容器或者空间能容纳的物体或者液体的大小的量。
下面将介绍几种常见容器的容积计算方法。
1. 直角三棱柱容积的计算直角三棱柱是一种常见的容器，由三个相互垂直的矩形面组成。
假设三棱柱的底面积为A，高度为h，则其容积V可以通过公式V=A*h来计算。
2. 圆柱体容积的计算圆柱体是一种常见的容器，由一个圆和一个平行于圆底的矩形组成。
假设圆柱体的底面积为A，高度为h，则其容积V可以通过公式V=A*h来计算。
3. 球形容器容积的计算球形容器是一种特殊的容器，其容积可以直接通过球体的体积公式来计算。
4. 圆锥体容积的计算圆锥是一种常见的容器，由一个圆锥面和一个平行于圆底的三角形面组成。
假设圆锥的底面积为A，高度为h，则其容积V可以通过公式V=(1/3)*A*h来计算。
圆柱的体积的公式
圆柱的体积的公式圆柱的体积是几何学中非常重要的概念之一、它是指在三维空间中由一个圆形的底面和一个平行于底面的圆面围成的立体的容积。
圆柱的体积公式为V=πr²h，其中V代表圆柱的体积，r是圆柱底面半径，h是圆柱的高度。
为了理解这个公式，我们可以将圆柱的体积分解成若干个小的立方体的体积之和。
以底面上的一个点为基准，我们可以在垂直于底面的方向上画无数条平行线，将圆柱分为许多个同样高度的薄片。
每个薄片的体积可以看作是一个矩形的面积乘以高度h。
考虑一下底面上的一个点到底面圆心的距离为r，薄片的宽度为Δx。
由于底面是一个圆，所以薄片的长度可以看作是底面周长的一部分，即2πr。
因此，每个薄片的面积可以表示为2πr×Δx。
如果我们将薄片的数量无限地增加，那么它们将组成一个体积为 V的圆柱。
在极限情况下，我们可以将垂直于底面的方向上的平行线视为一个连续的线，薄片的宽度Δx 无限趋近于零。
此时，每个薄片的体积可以表示为dV = 2πr × Δx，而整个圆柱的体积可以表示为V = ∫2πr dx。
考虑到 r 是关于 x 的函数，我们可以将上述积分重新表示为 V =∫2πr(x) dx。
但是，由于底面上的每个点都满足相同的条件，即 r(x)= r，我们可以将其简化为V = ∫2πr dx = 2πr ∫dx。
根据微积分的基本原理，我们知道在 x 的区间内积分区域的长度可以表示为 (上界 - 下界)。
因此，我们可以将上式进一步简化为 V =2πr(x) ∫dx = 2πr(x) (上界 - 下界)。
假设整个圆柱的高度为 h，我们可以将上界设置为 h，下界设置为 0。
因此，我们可以得到V = 2πr(x) (h - 0) = 2πrh。
然而，考虑到底面半径r是常数，我们可以进一步简化公式为V=πr²h，这就是圆柱的体积公式。
需要注意的是，该公式仅适用于完美的圆柱，也就是底面圆形与平行于底面的圆面完全对齐的情况。
容积和体积重要知识点总结
容积和体积重要知识点总结一、容积和体积的基本概念1. 容积和体积的定义容积和体积是描述三维物体所占的空间大小的概念。
在数学中，容积通常用来描述封闭物体所包围的空间的大小，比如一个容器内可以装下多少液体；而体积通常用来描述物体本身所占的空间大小，比如一个立方体的体积就是其长、宽、高三个边长的乘积。
2. 容积和体积的计算计算容积和体积的方法主要根据不同的物体形状来确定。
对于封闭物体的容积，可以通过测量其内部空间的尺寸来计算，比如圆柱的底面积乘以高度、立方体的边长的三次方等。
对于非封闭物体的体积，则可以通过测量其外部尺寸来计算，比如球体的半径的三次方乘以4/3再乘以π等。
3. 容积和体积的单位容积和体积的单位通常是立方厘米（cm³）、立方米（m³）等。
在实际应用中，还会使用升、毫升等容积单位来描述液体的容积。
需要注意的是，不同单位之间的转换要求掌握一定的换算关系。
二、容积和体积的性质1. 容积和体积的线性性质当物体形状不变时，其容积和体积与尺寸呈线性关系。
也就是说，如果一个物体的尺寸是另一个物体的某个倍数，那么它们的容积和体积就是相应倍数的关系。
2. 容积和体积的比较不同形状的物体所占的空间大小可以通过容积和体积进行比较。
比如长方体和球体的体积谁更大，可以通过计算它们的体积大小来进行比较。
3. 容积和体积的加减运算不同形状的物体可以进行加减运算，得到新物体的容积或体积。
比如两个长方体的体积相加等于一个更大的长方体的体积，两个球体的体积相减等于一个空间的体积等。
三、容积和体积的应用1. 容积和体积在几何中的应用容积和体积在几何中有着广泛的应用。
比如通过计算圆柱、锥形、球体等的容积和体积来解决相关几何问题，比如容器的容积、几何体的体积等。
2. 容积和体积在物理中的应用在物理学中，容积和体积的概念也有着广泛的应用。
比如通过计算物体的体积可以得到其质量、密度等物理量，通过计算容器的容积可以得到其中可以装下的液体量等。
人教版六年级下册数学《圆柱的体积》教案6篇
人教版六年级下册数学《圆柱的体积》教案6篇人教版六年级下册数学《圆柱的体积》教案1教学目标圆柱的体积(1)圆柱的体积(教材第25页例5)。
探索并掌握圆柱的体积计算公式，会运用公式计算圆柱的体积，体会转化的思想方法。
教学重难点1.掌握圆柱的体积公式，并能运用其解决简单实际问题。
2.理解圆柱体积公式的推导过程。
教学工具推导圆柱体积公式的圆柱教具一套。
教学过程【复习导入】1.口头回答。
(1)什么叫体积?怎样求长方体的体积?(2)怎样求圆的面积?圆的面积公式是什么?(3)圆的面积公式是怎样推导的?在学生回忆的基础上，概括出“转化图形——建立联系——推导公式”的方法。
2.引入新课。
我们在推导圆的面积公式时，是把它转化成近似的长方形，找到这个长方形与圆各部分之间的联系，由长方形的面积公式推导出了圆的面积公式。
今天，我们能不能也用这个思路研究圆柱体积的计算问题呢?教师板书:圆柱的体积(1)。
【新课讲授】1.教学圆柱体积公式的推导。
(1)教师演示。
把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再按照这些扇形沿着圆柱的高把圆柱切开，这样就得到了16块体积相等，底面是扇形的立体图形。
(2)学生利用学具操作。
(3)启发学生思考、讨论：①圆柱切开后可以拼成一个什么立体图形?学生：近似的长方体。
②通过刚才的实验你发现了什么?教师：拼成的近似长方体和圆柱相比，体积大小变了没有?形状呢?学生：拼成的近似长方体和圆柱相比，底面的形状变了，由圆变成了近似长方形，而底面的面积大小没有发生变化。
近似长方体的高就是圆柱的高，没有变化。
故体积不变。
(4)学生根据圆的面积公式推导过程，进行猜想：①如果把圆柱的底面平均分成32份，拼成的形状是怎样的?②如果把圆柱的底面平均分成64份，拼成的形状是怎样的?③如果把圆柱的底面平均分成128份，拼成的形状是怎样的?(5)启发学生说出：通过以上的观察，发现了什么?①平均分的份数越多，拼起来的形状越接近长方体。
②平均分的份数越多，每份扇形的面积就越小，弧就越短，拼起来的长方体的长就越接近一条线段，这样整个立体形状就越接近长方体。
圆柱容积的计算公式
圆柱容积的计算公式
圆柱容积的计算公式=Sh。
容积指箱子，油桶，仓库等所能容纳物体的体积。
通常叫做它们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。
计量液体的体积，如水，油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL.
在计算物体的体积或容积前一般要先测量长、宽、高，求物体的体积是从该物体的外部来测量，而求容积却是从物体的内部来测量。
一种既有体积又有容积的封闭物体，它的体积定大于它的容积。
体积单位一般用: 立方米、立方分米、立方厘米，固体的容积单位与体积单位相同，而液体和气体的体积与容积单位一般都用升、毫升。
体积与容积的计算与应用
体积与容积的计算与应用在物理学中，体积和容积是两个非常重要的概念。
体积是指物体所占据的空间大小，而容积则是指容器所能容纳的物体的大小。
计算和应用体积与容积可以帮助我们更好地理解和应用于实际生活中的问题。
一、体积的计算与应用体积的计算公式基于不同几何形状的特点。
我将按照常见几何形状来介绍体积的计算及其应用。
1. 立方体的体积计算与应用立方体是最简单的几何体之一，其形状具有六个相等的面，并且每个角都是直角。
立方体的体积计算公式为：体积 = 边长 ×边长 ×边长。
例如，当一个立方体的边长为3厘米时，我们可以通过计算得出其体积为27立方厘米。
在实际生活中，我们可以用立方体的体积计算来确定一个盒子能否容纳某个物体，或者计算某个容器所能容纳的液体量等。
2. 圆柱体的体积计算与应用圆柱体是一个上底和下底面相等的几何体，其计算公式为：体积 =π × 半径的平方 ×高度。
例如，当一个圆柱体的底面半径为2厘米，高度为5厘米时，我们可以计算出其体积为20π立方厘米。
在实际应用中，我们可以使用圆柱体的体积来计算柱形物体的容量，比如水桶、柱形容器等。
3. 球体的体积计算与应用球体是一个表面上所有点到球心的距离都相等的立体。
其计算公式为：体积= 4/3 × π × 半径的立方。
例如，当一个球体的半径为3厘米时，可以通过计算得出其体积为36π立方厘米。
在实际应用中，我们可以应用球体的体积计算来计算球形物体的体积，比如球形鱼缸的容量等。
二、容积的计算与应用容积是指一个容器所能容纳的物体的大小。
在计算容积时，我们需要考虑容器的形状和容积的计算公式。
1. 直角三棱锥的容积计算与应用直角三棱锥是一个底面为三角形而具有一个直角的几何体。
其容积计算公式为：容积 = 底面积 ×高度的1/3。
例如，当一个直角三棱锥的底面积为9平方厘米，高度为6厘米时，我们可以计算出其容积为18立方厘米。
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合作探究：
（一）一根内直径为4cm的水管内，水的流速 是一秒钟2分米，200秒能接多少毫升水？
2分米=20厘米 3.14×（4÷2）2 ×20 ×200 = 3.14 ×4 × 20×200 =50240cm3 =50240ml 答： 200秒能接50240毫升水。
（二）一根钢管长4m，内直径9cm,外直径 10cm,每立方厘米重7.8克，这根钢管重多 少千克？
提示：钢管是一个中空的圆柱体,能用公式 V=Sh来计算
4m=400cm 〔3.14 × （10÷2）2－3.14 ×（9÷2）2〕 × 400 × 7.8 =〔 3.14 ×25﹣3.14 ×20.25 〕 × 400 × 7.8 = 46534.8(克） = 46.5348(千克） 答：这根钢管重46.5348千克。
答：体积是628ml。
4、一个圆柱形容器底面直径10cm，把一块 完全 浸入这个容器的水中的铁块取出后， 水面下降2cm，这块铁块的体积是多少？ (25分)
3.14 ×（10÷2）2 ×2 =3.14 ×25 ×2 =157（cm3) 答:这块铁块的体积是157cm3。
81÷4.5×3 =18×3 =54(立方分米）
答：它的体积是54立方分米。
3、一个瓶子内直径8cm,装入10cm高的水后， 瓶子倒过来，空余部分的高是2.5cm求体积 是多少ml？(25分)
3.14×（8÷2）2 ×10+3.14 ×（8÷2）2 ×2.5 =3.14 ×16 ×10+3.14 ×16 ×2.5 =502.4+125.6 =628( cm3 ) =628ml
课堂训练
完成课本27页做一做
3.14×（6÷2）2 ×10 = 3.14×9 ×10 =282.6(cm3)
=282.6ml 答：小明喝了282.6ml的水。
课堂小结
谈谈这节课你的收获
达标检测（100分）
1、两块同样的铁皮，长3米，宽1.8米，小王以长为高、小 张以宽为高分别做成两个圆柱形，加上底，就做成了两个 不同的油桶，请问两个油桶装油一样多吗？如果不一样， 哪个油桶装油多一些？（π取3）(20分)
以长为高: 3×（1.8÷3÷2）2 ×3 =3 ×0.09 ×3 =0.81﹙m3﹚
以宽为高: 3 ×（3÷3÷2）2 ×1.8 =3 ×0.25× 1.8 =1.35(m3 ） 0.81﹤1.35
答：以宽为高时装的油多一些。
2、两个圆柱的底面积相等，一个高为4.5dm， 体积为81立方分米。另一个高为3dm ,它的 体积是多少？(25分)
圆柱的体积与容积的转化
上店镇西村小学 牛利
学习目标：
1、掌握体积与际问题。
3、体验转化的数学思维和方法，提高解决问 题的能力。
学习重、难点：
理解掌握体积与容积相互转化的方法。
自主学习:
自主学习27页例7,，完成下列问题： 1、这个瓶子不是一个完整的圆柱体，不能直接计算体 积，我们利用液体的流动性，把不规则的部分转化成 （规则图形来计算） 2、瓶子倒置后水的体积 （不变 ），这时用( 水)的体 积+（ 18厘米高的圆柱 ） 的体积就是整个瓶子的 容积。