奥林匹克训练题库·数值代入法
中国数学奥林匹克赛前培训练习4
中国数学奥林匹克赛前培训练习41. 设n 是大于1的整数，记,1,,1,0,2sin 2cos -=+=n k n k i n k k ππξ 试求下式的最简表示：∏-≤<≤-112.)(n k j k j ξξ2. 证明：如果+=∈=∑Z n k a ni k i ,,11， 则nk ni k k in i i n n a a )(1111+≥+∏∑=-= 3. 如果正整数n 的所有正因数(包括本身)之和为2n ，则称n 为完全数。
如6的正因数之和1 + 2 + 3 + 6 = 2×6，故6为完全数。
证明：不存在形如p a q b r c 的完全数，其中a , b , c 为正整数，p , q , r 为奇质数。
4.设f (x )是整系数多项式，并且f (x )=1有整数根，约定将所有满足上述条件的f 的组成的集合记为F 。
对于任意给定的整数k > 1，求最小的整数m (k ) > 1，要求能保证存在f ∈F ，使得f (x ) = m (k )恰有k 个不相同的整数根。
5.一次体育比赛共设有()2 2n n ≥个项目，每个选手恰好报名参加其中的两个项目，而任两个人都至多有一个相同的项目，假定对于每个{}1,2,,1k n ∈-，不超过k 人报名的项目少于k 个.证明：存在2n 个选手，使得每个项目都恰好有其中的两人参加.1、 设n 是大于1的整数，记w k = cos2k πn + i sin 2k πn，k = 0, 1, 2, …, n －1，试求下式的最简表示：∏1≤j < k ≤n －1(w j －w k )2 。
解：设f (x ) = ∏h = 1n －1(x －εh ) = x n －1 + x n －2 + … + x + 1，则 ∏h = 1n －1(1－εh ) = 1 + 1 + … + 1 + 1 (n 个1) = n∏h = 1n －1(εj －εj + h ) = ∏h = 1n －1εj (1－εh ) =n εj n －1，∏1≤j ≠k ≤n －1(εj －εk ) =n n －1(π ε j )n －1∏j = 1n －1 ( ε j －1)= n n －1(－1)n －1(－1)n －1n= n n －2 故∏1≤j < k ≤n －1(εj －εk )2= (－1)(n －1)(n －2)2·∏1≤j ≠k ≤n －1(εj －εk) = (－1)(n －1)(n －2)2·n n －2。
奥林匹克数学训练题集 pdf
1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？2. 3箱苹果重45千克。
一箱梨比一箱苹果多5千克，3箱梨重多少千克？3. 甲乙二人从两地同时相对而行，经过4小时，在距离中点4千米处相遇。
甲比乙速度快，甲每小时比乙快多少千米？4. 李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔，李军要了13支，张强要了7支，李军又给张强0.6元钱。
每支铅笔多少钱？5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发，相向而行，经过一段时间，两车同时到达一条河的两岸。
由于河上的桥正在维修，车辆禁止通行，两车需交换乘客，然后按原路返回各自出发的车站，到站时已是下午2点。
甲车每小时行40千米，乙车每小时行45千米，两地相距多少千米？（交换乘客的时间略去不计）6. 学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。
第一小组每小时走4.5千米，第二小组每小时行3.5千米。
两组同时出发1小时后，第一小组停下来参观一个果园，用了1小时，再去追第二小组。
多长时间能追上第二小组？7. 有甲乙两个仓库，每个仓库平均储存粮食32.5吨。
甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨，甲、乙两仓各储存粮食多少吨？8. 甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每天多修10米。
甲、乙两队每天共修多少米？9. 学校买来6张桌子和5把椅子共付455元，已知每张桌子比每把椅子贵30元，桌子和椅子的单价各是多少元？10. 一列火车和一列慢车，同时分别从甲乙两地相对开出。
快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，相遇时快车比慢车多行了40千米，甲乙两地相距多少千米？11. 某玻璃厂托运玻璃250箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。
运后结算时，共付运费4400元。
托运中损坏了多少箱玻璃？12. 五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。
第一中队步行每小时行4千米，第二中队骑自行车，每小时行12千米。
奥林匹克数的技巧中篇
奥林匹克数学的技巧（中篇）2-7-8配配的形式是多的，有数字的凑整配或共配，有分析式的称配或整体配，有子集与其集的配，也有会集象与原象的配。
凡此各样，都体了数学和美的追求与力量，小高斯乞降（1+2+ ⋯ +99+100 ）首了配，IMO 16 3也用到了配。
502例 2-143求n 0305n [] 之。
502解作配理n 0[ 305n ]503251n 1([ 305n ][ 305(503n) ])251 304 503304 251 76304 503503n 1503例 2-144乞降a n C n12C n2⋯kC n k⋯ nC n n解一由 C n k C n n k把 a n倒排，有 a n0C n01C n12C n2⋯ kC n k⋯nC n n a n nC n n(n 1)C n n 1⋯ (n k )C n n k⋯ 0C n n相加2a n n(C n0C n1⋯ C n n ) n? 2n得a n n ?2n 1解二会集S1,2, ⋯, n，注意到k⋯kC n A , k1,2,, nA S , A k有 a nA SA了求得A SA把每一A S ，它与集 A 配，共有2n1，且每中均有 A A n于是 a nA SA n n ⋯ n n ? 2n 1两种解法形式上有不一样，但本上是完整一的，有一个解法例2-149。
例 2-145x1, x2 ,⋯, x n是定的数，明存在数x 使得x x1x x2⋯x x n n1 2里的y表示 y 的小数部分。
明有y y1,y Z知 y y10,y Z下边利用一配式的。
f i x i x1x1x2x i x nnC n 2n(n 1)f i( x ix jx j x i )1 i 11 i j n1 i j n2 据抽屉原理①知，必存在k(1 k n) ，使 f1 C2 n 1kn n2取 xx k ，由上式得x x 1x x 2⋯x n1x n22-7-9 特别化特别化表现了以退求进的思想：从一般退到特别，从复杂退到简单，从抽象退到详尽，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特色的最简单状况、退到最小独立完整系的状况，先解决特别性，再归纳、联想、发现一般性。
数学奥林匹克高中训练题(20)及答案
数学奥林匹克高中训练题（20）第一试一、选择题（本题满分 36分，每小题6分）x — a1.（训练题25）已知函数y 的反函数的图象关于点（-1,3）成中心对称图形，则实数 a 等于x-a -1（A ）.（A ） 2 （B ）3（C ）-2（D ）-4,5 I222.（训练题25）我们把离心率等于黄金比 丄二的椭圆称之为“优美椭圆”.设二•爲=1（a > b >2a 2b 20）为优美椭圆，F, A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，贝y ■ ABF 等于（C ）.复数一定是（C ）.Z 26.（训练题25）在集合M 二｛1,2,3,）11,10｝的所有子集中，有这样一族不同的子集,不是空集，那么这族子集最多有（B ）. （A ） 210 个（B ） 29 个（C ）102 个（D ） 92 个(A) 60o(B)75°(C)90o(D)120°3.（训练题25）已知 ABC 三边的长分别是a,b,c , 复数Z i ,Z 2满足 Z i =a, Z 2 =b,乙+ z 2 = c ，那么（A ）是实数(B)是虚数(C)不是实数(D) 不是纯虚数4.（训练题25）函数 f (X)二 1（-厂卩：21 c2 c 2CE 的最大值是（D ）. (A) 20(B)10(C)-10(D)-205 .（训练题 25）以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于A,B,C 三点.已知S.BOC = 4 ,S ABC 16，则• ABC 等于(B).Ji(A)—12(B)5■： 7■:12(C)12(D)11- 12它们两两的交集都二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1.（训练题25）在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中3线所在直线方程分别是 v =3x • 1和v = mx • 2，则实数m 的值是3或124x2 •（训练题25）设f （x ） J （a .0,a "） , [m]表示不超过实数m 的最大整数，则函数1+a x1 1[f （x ） ] [f （-x ）]的值域是 ___________ {-1,0} ________ •2 2 ------------------------------3 •（训练题25）设a, b,c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式a 2 （bc ） b 2 （c a ） c 2 （a • b ） _ kabc 对所有直角三角形都成立的 k 的最大值是2 3 r 2•4.（训练题25）如图，正三棱柱 ABC -ABG 的各条棱长都是1,截面BCD 1 在棱AA 上的交点为D ,设这个截面与底面ABC 和三个侧面ABB 1A 1,BCC 1B 1,CAAC 1所成的二面角依次为：「，：七，〉，若 c o ：s^ c o 2s-c 3o S，则截面的面积等于 —3乜 _______________85.（训练题25）已知f （x ）是定义域在实数集的函数，且f （X • 2）[1 - f （X ）] =1 • f （x ）•若f （1） =2，,3 , 则 f （1949）的值是 ___________ p 3 - 2 .6.（训练题25）设x 1是方程.3sin x 「3cosx = 2a 「1的最大负根，x 2是方程2cos 2x 「2sin 2x = a 的最小正根，那么，使不等式为Ex?成立的实数a 的取值范围是 ________ - -43^a^~或 a= 2 __________.2第二试一、 （训练题25）（本题满分25分）某眼镜车间接到一任务，需要加工 6000个A 型零件和2000个B 型 零件，这个车间有 214名工人，他们每一个人加工 5个A 型零件的时间可加工 3个B 型零件•将这些 人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？ 77二、 （训练题25）（本题满分25分）已知一个四边形的各边长都是整数， 并且任意一边的长都能整除其余三边之和.求证：这个四边形必有两边相等.B 1B（训练题25）（本题满分35 分）实数数列a1, a2, |a3, ,a M足a P 帕弋钏帕996—為97=1997若数列｛0｝满足：b k = ai+：+川％（k =1,2川1997）.求bf —b2 + b2 —…+0 996-匕997的最大可能值.四、（训练题25）（本题满分35分）给定两个七棱锥，它们有公共的底面A,A2A3A4A5A6A7，顶点R,P2在底面的两侧•现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：R,P2，底面上的所有的对角线和所有的侧棱.求证：图中心存在一个同色三角形.。
数学奥林匹克高中训练题(27)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（27）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)- 2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．或 (B)1或1- (C)1或2- (D)1-或23．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩5．(训练题57)已知1111ABCD A B C D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+(C)2 (D)122+ 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．(A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC ABAB AC+2．(训练题57)已知函数1a xy x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3．3．(训练题57)集合11{|(1)},{|}22A x a xB x x =>+=-<，当A B ⊆时，a 的取值范4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b5-． 6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中的最大整数。
六年级奥林匹克数学基础教程 20 数值代入法
小学数学奥数基础教程数值代入法有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法”，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解答。
例1足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。
问：一张门票降价多少元？分析与解：初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数与答案无关。
因为降价前后观众人数存在倍数关系，收入也存在比例关系，所以可以使用数值代入法。
我们随意假设观众人数，为了方便，假设原来只有一个观众。
，则降价后每张票价为9元，每张票降价15-9＝6（元）。
例2 某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩人数比女孩人分析与解：题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。
这时总身高为：115×（5＋6）＝1265（厘米）。
例3 甲、乙分别由A，B两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是7∶5。
如果相向而行，那么0.5时后相遇；如果按从A到B的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析与解：设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时，则A，B两地相距（7+5）×0.5=6（千米）。
同向而行，甲追上乙需要65÷（7—5）=3（时）。
需要说明的是，A，B两地的距离并不一定是6千米，6千米是根据假设甲、乙的速度分别为7千米/时和5千米/时而计算出来的。
假设不同的速度，会得出不同的距离，因为假设的速度与计算出的距离成正比，所求的时间是“距离÷速度差”，所以不影响结论的正确性。
例4五年级三个班的人数相等，一班的男生人数与二班女生人数相等，三几？分析：由“三个班人数相等，一班男生数与二班女生数相等”知，一班女生数等于二班男生数，因此一、二班男生人数的和以及一、二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值，那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和（即每班人数），问题就迎刃而解了。
数学奥林匹克高中训练题(01)及答案.doc
数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设211)(xx x f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)．(A)211993xx + (B)21993xx + (D)2199311993xx +2．(训练题06)若1532>==zy x ，则z y x 5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)z x y 523<< (B)y x z 325<< (C)z y x 532<< (D)x y y 235<< 3．(训练题06)自然数q p n m ,,,满足等式2222q p n m +=+，则q p n m +++(B)．(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+(B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+ 5．(训练题06)若复数z 的共轭复数是z ，且1=z 又)1,0(),0,1(-=-=B A 为定点，则函数))(1()(i z z x f -+=取最大值时在复平面上以B A Z ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC ∆是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin )arccos(sin C B A ++的值域是(C)．(A)(0,]2π(B)}2{π (C)3(,)22ππ (D)3(0,)2π二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式log log x x yy xy ≥的点),(y x 的集合是{(,)|1}{(,)|01}x y x y x x y x y x >><<<且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则k 的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆是45．(训练题06)四次方程038420234=++-kx x x 的四个根当中的两个的积是24，则k 的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 1+ 三、(训练题06)(本题满分20分)n a a a a 321,,是互不相等的自然数，证明：+++++)(7737271n a a a a ≥++++)(5535251n a a a a 333321232()n a a a a ++++．四、(训练题06)(本题满分20分)设M P ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，PM 与以AB 为半径的圆相切，线段PA 与MA 分别交对角线BD 于N Q ,，证明：五边形PQNMC 内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDE BCD ABC ∆∆∆,,都是正三角形，线段FG ∥BA ，连EF DG ,相交于O ，连CO 并延长与AB 的延长线相交于P ，证明：D二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,a a a a 和10321,,b b b b 都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1 =i 均有1210()()()100i i i a b a b a b +⋅+⋅⋅+=.证明：对任何10,,2,1 =j ，乘积1210()()()j j j b a b a b a +++都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．。
奥林匹克训练题库_数值代入法
■说明:北师大东莞石竹附属学校2008—2009学年度第二学期初中毕业班第一次模拟考试卷时间：120分钟感；遥望大海, ；仰望蓝天,懂得品味这些快乐的人，自然会得到快乐的青睐。
万世c ogsmg （），悲欢岁月,满分120分痛苦难免，可是，懂得寻找快乐的人，快乐的旋律总会在他的心头回响。
要相信，仰起1 .全卷共4页。
满分120分，考试用时2. 答卷前，考生必须将自己的姓名、年级、 的指定位置上；3. 答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按各题要求写在答卷上，不能用铅笔和红色字 迹的笔；若要修改， 不准使用涂改液。
120分钟。
班级、考场、座次按要求填在答卷密封线左边把要修改的答案划上横线，在旁边有空位的地方写上修改后的答案。
一、基础（28分） （10 分） 0 ：1.根据课文默写古诗文。
'（1）几处早莺争暖树， '（2）求之不得， __________________ 。
:（3）杜牧的《泊秦淮》中表现诗人对国事危迫，朝廷上下却依然醉生梦死的深重忧虑 ；的诗句： * （4）分） ,（5） 头，就有蓝天！3. 根据拼音写出文段括号处应填入的词语。
（2分） b ol Cn （ ） c mgsog （）4.联系上下文，仿照划波浪线的句子在横线处补充恰当的词句。
（2分）遥望大海， _____________________________________________ ; 仰望蓝天， _____________________________________________ 。
5.使用下面词语，另写一段连贯的话，至少用上其中两个。
（3分）广袤无垠 沁人心脾 感人肺腑 青睐 回响 品味答：。
（白居易《钱塘湖春行》）（1分） ，辗转反侧。
（《关雎》）（1分） _________ 。
（2 分） 。
朔气传金柝，寒光照铁衣。
（《木兰诗》） 把孟浩然《过故人庄》默写完整。
（4分） 故人具鸡黍，邀我至田家。
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数值代入法
26 有甲、乙、丙三个数，已知甲数是乙数的 3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲数是乙、丙两数之和的几倍？
27 甲、乙二人同时出发从A地到B地，甲骑自行车，乙前一半路程骑摩托车，后一半路程步行。
已知骑自行车的速度是步行的2倍，是骑摩托车
上
（含80分），他们的平均分数是90分。
求低于80分的人的平均分。
分数线高4分，而没达到优秀的学生的平均分比优秀的分数线低11分，所有学生的平均分是 87分。
问：优秀的分数线是多少分？
31 有一堆苹果平均分给甲、乙两班的每个人，每人得6个苹果。
若只分给甲班，则每人得10个苹果。
如果只分给乙班，那么每人得几个苹果？
，那么
这时A桶中的水是B桶中水的几分之几？
33 一次考试共有5道试题。
做对第1，2， 3，4，5题的分别占参加考试人数的81％，91％，85％，79％，74％，如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？
34 甲、乙两人步行的速度之比是9∶7，若甲、乙分别由A，B两地沿同一公路同向而行，则甲追上乙需4时，若相向而行，则多长时间相遇？
35 一艘轮船往返于A，B两地，去时顺流每时行36千米，返回时逆流每时行 24千米，往返一次共用 15时。
A，B两地相距多少千米？
36 在一个梯形内有两个面积分别是6和8的三角形（右图），梯形下底的长是上底长的2倍。
求阴影部分的面积。
37 李彦以每分行 100米的速度从家步行到学校去，到校门口发现书包忘带了，他立刻借了一辆自行车，以每分行300米的速度回家，拿了书包又返回学校。
如果借自行车及拿书包的时间忽略不计，那么李彦从第一次离家到第二次到校期间的平均速度是多少？
38 商店购进甲、乙两种不同的糖，所用费用之比为2∶1，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克2元。
如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？。