【推荐精选】2018-2019学年高中数学 第三章 三角函数 3.1 弧度制与任意角 3.1.1 角的概念的推广学案 湘教版
高中数学第三章三角函数3.1弧度制与任意角3.1.2弧度制学案湘教版必修2(2021年整理)
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3。
1.2 弧度制[学习目标］ 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3。
掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．［知识链接]1．初中几何研究过角的度量,当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答规定周角的错误!做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答l＝错误!,S＝错误!.［预习导引］1．弧度制（1)定义：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制．（2）任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3）角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝错误!. 2．角度制与弧度制的换算（1）角度化弧度弧度化角度360°＝2π2π＝360°180°＝ππ＝180°1°＝错误!≈0。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 文(含解
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。
(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。
2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。
(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。
(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。
3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。
正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。
如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。
1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。
2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。
一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。
答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。
高中数学：三角函数全章课件
内容分析
1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基 础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面 积公式等． 2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数 、对数函数一样，其图象、性质和应用是考 查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研 究函数图象变换的代表． 3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养 学生分析问题、解决问题能力和提升学生思 维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需 要较强的应变能力． 4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正 弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培 养学生的建模、解模能力． 5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关 系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正 切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决 定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节 联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.
第三章 三角函数、解三角形
高考目标定位
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
命题热点
近几年的高考中，对本章内容的考查多以选 择题和填空题的形式出现，解答题独立命题 的情形也有，主要是三角与其他知识的综合 渗透，如与数列、不等式综合；独立命题， 考查三角函数性质及图象变换．从高考试题 分析，高考对本章考查侧重于： 1．三角函数的性质、图象及其变换，主要是 y＝Asin(ωx＋φ)的性质、图象及变换． 2．已知三角函数值求角． 3．灵活运用公式，通过简单的三角恒等变换 解决三角函数的化简、求值或证明问题，借 助三角变换解与三角形有关的问题． 根据高考的最新动态，我们预测今后有关三 角函数高考命题的趋势是：①试题的题型、 题量及难度将基本保持稳定．②三角函数是 重要的基本初等函数，是研究其他知识的重 要工具，高考将注重基础知识、基本技能、 基本思想和方法的考查．③考查的重点仍是 三角函数的定义、图象和性质．④新教材更 加突出了应用问题的地位，这也是今后的命 题方向.
第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2
2 2
13
13
13
13
因此 sin 2 2sin cos ( 3 13 ) 2 2 3 13 2 13 3 .
13 13 13 13
(2)由题设知 x 3，y m，
∴r2=|OP|2=（ r 3 m2 .
2 2 3 ） +m （O为原点），
第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.
从而 sin
m r
2m m ， 4 2 2
r 3 m2 2 2，
于是3+m2=8，解得 m 5. 当 m 5 时，r 2 2，x 3，
3 6 15 cos ，tan ; 4 3 2 2 当 m 5 时， 2 2，x 3， r cos 3 6 15 ，tan . 4 3 2 2
v u 于点P(u,v)，则sin α =__，cos α =__，tan α = v u 0）. （
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文
3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测] 1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 9T 5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2答案 B解析 ∵36°＝36×π180 rad ＝π5 rad ，∴36°的圆心角所对的弧长为l ＝π5×2＝2π5.故选B.(2)(必修A4P 21T 9)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ在第三象限，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．又cos θ2≤0，故选B. 3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为________．答案 4解析 设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝12OA 21·α＝1，S 扇形OAB ＝12OA 2·α，OA ＝2OA 1，∴S 扇形OAB ＝12·(2OA 1)2·α＝4.题型1 象限角及终边相同的角典例1设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N MD ．M ∩N ＝∅将描述法表示的集合变为列举法表示．答案 B解析 由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .典例2 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为________．找α的终边，利用终边定号法．答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合{|αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.2．若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 ∵sin θ<0，∴2sin θ2cos θ2<0.又∵sin θ2＝45，∴cos θ2<0.故θ2在第二象限，且2k π＋π2<θ2<2k π＋34π(k ∈Z )． ∴4k π＋π<θ<4k π＋32π，∴θ在第三象限．故选C.题型2 弧度制及扇形面积公式的应用典例 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α ·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋R α＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.R 22B.12R 2sin1·cos1 C.12R 2(2－sin1·cos1) D ．R 2(1－sin1·cos1)答案 D解析 设圆心角为θ，由题知2R ＋R ·θ＝4R ，得θ＝2， 所以S 弓＝S 扇－S三角形＝12×2R ·R －12R 2·sin2＝R 2－12R 2·sin2＝R 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2＝R 2(1－sin1·cos1)．故选D.题型3 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值典例 已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．定义法．解 依题意，P 到原点O 的距离为 |PO |＝ (－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限． 当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73. 当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝73. 角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1单位圆定义法．答案 C解析 作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP ，余弦线OB ，正切线AT ，可得tan1>sin1>cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界(注意边界的虚实)； (2)确定区域； (3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设π2<x <3π4，a ＝sin x ，b ＝cos x ，c ＝tan x ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 B解析 ∵π2<x <3π4，∴22<sin x <1，－22<cos x <0，tan x <－1. ∴c <b <a .故选B.2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0)，且cos α＝36x, 求sin α＋1tan α的值． 解 角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0) ∵r ＝x 2＋2，∵cos α＝x r ＝36x ， 可得x ＝10. 则r ＝2 3.sin α＝y r ＝－223＝－66，tan α＝y x ＝－210＝－55.那么sin α＋1tan α＝－66－5＝－6＋656.1．(2017·商丘期末)已知点P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( )A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案 B解析 由题意可得：|OP |＝y 2＋3，所以sin β＝y y 2＋3＝1313，所以y ＝±12，又因为sin β＝1313，所以y >0，所以y ＝12.故选B. 2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0，则sin β＋cos β的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.2或－ 2 答案 C解析 角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0， ∴r ＝|OP |＝2|m |， 当m >0时，cos β＝－m2|m |＝－22，sin β＝m2|m |＝22，∴sin β＋cos β＝0； 当m <0时，cos β＝－m2|m |＝22，sin β＝m 2|m |＝－22，∴sin β＋cos β＝0.综上，sin β＋cos β的值为0.故选C.3．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4 D.11π6答案 D解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.故选D. 4．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.答案 25解析 ∵|OP |＝ (－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.故选C.4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴sin θ>cos θ.故选D.5．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.6．(2018·永昌县期末)已知角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．－75 C ．±75 D ．±34 答案 C解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，sin α＋cos α＝75； 当a <0时，r ＝|5a |＝－5a ，sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝－35，sin α＋cos α＝－75.综上可得，sin α＋cos α＝±75.故选C.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知，选D.8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.故选C. 9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0 答案 B解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝ 7π3，则m 的值为( ) A ．27 B.127 C ．9 D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3mm＝m－ 16，则m ＝127.故选B.二、填空题11．(2017·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且 sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 答案 －64解析 点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5，∴cos θ＝－33＋m2＝－64. 12．(2018·济南校级期末)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义，则α所在象限为第________象限．答案 四解析 由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角． 由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．13．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.答案 0解析 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k 2)＝10|k |.当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10.∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2,1－cos2)， 即OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题15．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 16．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
高中物理学习的数学基础——三角函数和角的弧度制(解析版)
——三角函数和角的弧度制
一、锐角三角函数
1.1锐角三角函数的主要性质
1.三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。
2．Sinα、Cosα、tanα、cotα均为正值。
3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数
4.对于同一个角α，存在如下的关系：
直线的斜率k和纵横截距是图象问题的重要手和方法
1.6一元二次函数
一元二次函数y=ax2+bx+c
（1）顶点坐标公式
（2）判别式
（1） 图象与x轴有两个交点
（2） 图象与x轴只有一个交点
（3） 图象与x轴没有交点
（3）配方
主要用于解决极值问题，尤其判别式法是一种非常有效的方法，如解答追击问题。
2.角的弧度制表示
1.在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则 ；
【答案】 ； ．
【解析】∵∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，
∴AB 2 ，
∴cosB ，
tanA
2. 的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
sin60°＝ ，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝ .故选B.
【答案】51m
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE= ，∴AC= = ≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°= = ，
∴CD= BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
3高中数学三角函数知识点总结
高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sincos tan 0 0=0 0 0=1 0 0=0sin3 00 = cos 30 0=1 23 2sin 45 =co s 0 45= 2 2220 0 =sin6 0 0= cos63 2 120 0 =1 sin90 0=0 cos9tan 90 0无意义tan3 0 0= 3 3ta n0 45=1 tan 60 0=3 01800,2．角度制与弧度制的互化：3602, 0 03 0 000 456090 00 1200 135 0 15018 0 027 0 036 0 0235320643234623.弧长及扇形面积公式1弧长公式：l.r 扇形面积公式:S=l.r2----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）,r= x 2y 2(1)正弦sin= y r 余弦cos=x r正切tan=y x(2)各象限的符号：yy y ++—+—+2O cossin——x+O—+xO+—sincostan2.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1。
（2）商数关系：s incos =ta n（k,k z2）3.诱导公式：1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2 ，cossin2．6sincos2 ，cossin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质WORD格式8、三角函数公式：倍角公式两角和与差的三角函数关系s in2=2sin·cossin()=sin·coscos·sin2-sin2cos2=cos降幂公式：升幂公式：cos()=cos·cossin·sin1cos221+cos=cos2cos22tantantan()21tantan2 2sin1-cos=sin2正弦定理：9．abc2R.sinAsinBsinC余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC. 21 cos22tan 22-1=2cos2=1-2sin2tan21tan三角形面积定理.111 SabsinCbcsinAcasinB.2221．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
数学复习：第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章三角函数、解三角形错误!错误!错误!1。
了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为______、______和______从终边位置来看可分为________和轴线角α与β角的终边相同β＝______________（或α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°,k∈Z1．若α是第二象限角，β是第三象限角,则角α，β的大小关系是________．解析:角α可以大于角β，也可以小于角β，但是不能等于角β.答案：不确定2．终边在直线y＝x上的角的集合是________．解析：终边在直线y＝x上，且在[0°,360°）内的角为45°，225°，写出与其终边相同的的角的集合,整合即得．答案:｛α|α＝k·180°＋45°，k∈Z｝知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中:分类定义(公式）1弧度的角把长度等于______长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad表示角α的弧度数公式｜α｜＝______(弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°＝______ rad②1 rad＝________弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝__________答案半径错误!错误!错误!°r｜α| 错误!lr错误!r2｜α｜3．（必修④P10习题1.1A组第10题改编）单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（)A．10π B．9πC。
910π D。
错误!π解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×错误!＝错误!π，由弧度数的定义得109π＝lr，所以l＝109π。
答案：D4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r,弧长为l,则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1。
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3．1.1 角的概念的推广[学习目标] 1.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.2.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[知识链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了半小时，又如何校准？答可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转180°.2．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答角的范围是[0°，360°]．[预习导引]1．角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α，β，γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：一条射线绕着端点以逆时针方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用正的角度来表示；顺时针方向旋转所成的角称为负角，用负的角度来表示；不旋转所成的角称为零角，用0°表示．2．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角设α＝∠AOB，则所有以OA为始边，OB为终边的角都是α与整数个周角的和，组成集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.要点一任意角概念的辨析例1 在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________答案①②④解析①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练1 设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B答案 D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.要点二例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练 2 给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点三终边相同的角的应用例3 在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练 3 写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解 由终边相同的角的表示知与角α＝－1910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.要点四 区域角的表示例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成． ①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }． ②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }． ∴角α的集合应当是集合①与②的并集： {α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z } ∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z } ＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z } ∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|n ·180°＋30°≤α<n ·180°＋105°，n ∈Z }．规律方法 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．本题还要注意实线边界与虚线边界的差异．跟踪演练 4 已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }．求：(1)A ∩B ；(2)A ∪B .解 在直角坐标系中，分别画出集合A ，B 所包含的区域，结合图形可知，A ∩B ＝{θ|30°＋k ·360°<θ<45°＋k ·360°，k ∈Z }， A ∪B ＝{γ|k ·360°－45<γ<k ·360°＋90°或k ·360°＋210°<γ<k ·360°＋270，k ∈Z }.1．－361°的终边落在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 D2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于( )A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.答案270°解析由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，若角α始边与x轴非负半轴重合，则所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案 D2．与405°角终边相同的角是( )A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z答案 C3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案 D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知0°＜α＜360°，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________. 答案60°6．下列说法中，正确的是________(填序号)．①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2013°＝－6×360°＋147°，∴与－2013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是( )答案 C9．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°，或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α终边定与(－90°，0°)内某一角的终边重合，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α终边定与(0°，180°)内某一角的终边重合， 故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。