八年级第一章1.4线段、角的轴对称性(第2课时)(朱炎林)
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
八年级数学线段和角的轴对称性1
A
B
结论
v 线段是________图形，____________是它 的对称轴；
顶部垂下缕缕簇簇怪蛇般的光影，看上去酷似金橙色的景色伴随着深红色的泪珠飘飘而下……大道左侧不远处是一片土灰色的仙草地，仙草地旁边紫、黑、红三色相交 的林带内不时出现闪动的异影和怪异的叫声……大道右侧远处是一片纯黄色的海峡，那里似乎还闪动着一片白象牙色的泥榆树林和一片墨绿色的鬼蕉树林……见有客到 ，大道两旁淡红色的闪影金基座上，正在喧闹的青鲸神和灰豹魔立刻变成了一个个凝固的雕像……这时，静静的泉水也突然喷出一簇簇、一串串直冲云霄的五光十色的 音符般的水柱和云丝般的水花……突然，满天遍地飞出数不清的梦幻，顷刻间绚丽多姿的梦幻就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间跳跃 出神奇的妖影之香……飞进主塔罕见的水红色蛋形大门，空阔安静、灿烂浪漫的大厅立刻让人眼前一亮，但扑面而来的空气也让人感到一种陶醉完美的味道……大厅的 地面是用明亮怪异的深灰色五光银和乳蓝色美仙冰铺成，四周高大的朦胧金墙壁雕绘着辉宏而粗犷的巨幅壁画……大厅前方，隐隐可见一座光彩亮丽、正被仙雾光环笼 罩的圣坛，但见仙雾朦胧萦绕，光环耀眼梦幻，所以很难看清圣坛上的身影和圣人……通向圣坛的豪华地毯两旁摆放着两排精美的硕大花盆，花盆中生长着整齐繁茂、 鲜花盛开、香气四溢的巨大乔本花卉……每个花盆前面都摆放着一只精巧怪异的大香炉，缕缕飘渺幽静、带着异香的紫烟正袅袅地升上大厅高高的穹顶……抬头看去， 大厅穹顶完全是用可自动变幻景物的神秘材料魔化而成，穹顶的景色一会儿是云海，一会儿是星空，一会儿是海底，一会儿是巨洞……穹顶中央巨大焰火雾淞般的梦幻 吊灯，四周是亿万造形奇异、色彩变幻的顶灯……蘑菇王子和知知爵士刚刚在两张镶着五色钻石的纯金座椅上坐下，只听一声悠长的号角响起，大厅突然辉煌灿烂起来 ，笼罩在圣坛上的仙雾很快散去……只见圣坛中央的宝座上仍然坐着主考官Ｙ．依佛奇兹首相，两旁还是坐着那些副考官和监考官！一阵的钟声响过，主考官Ｙ．依佛 奇兹首相站起身来，然后看着蘑菇王子和知知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好了！”主考官Ｙ．依佛奇兹首相大声道：“那就开始 吧！”Ｙ．依佛奇兹首相刚刚说完，就见亮红色个穿着亮红色天石天石袄的司仪官同时用手朝空中一指，随着六道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远 方退去，逐渐消失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空盘踞的巨大巨龟形运动场，旋风般地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空盘踞的 巨大运动
【数学课件】线段、角的轴对称性(2)
2.4 线段、角的对称性（2）
作业
P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法， 任选1题写出过程．
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
Q
A
M
B
2.4 线段、角的对称性（2）
定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直 平分线上．
因为QA＝QB ， 所以点Q是线段AB的垂直平分线上的点．
Q
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
试一试
你能用尺规画出任一条已知线段的垂直 平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的对称性（2）
2.4 线段、角的对称性（2）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相 等的点吗？ 这样的点有多少个？
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
想一想
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯
八年级数学上册《2.4 线段角的轴对称性》教案(2) (新版)苏科版
《2.4线段角的轴对称性（2）》中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
1.4线段角的轴对称性
实际问题2
A
市政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区A、B、C之间 修建一个购物中心，试问，该购物 中心应建于何处，才能使得它到三 个小区的距离相等。
B
C
实际问题2
实际问题
求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.
数学化
A
B
p
C
PA=PB=PC 结论： 三角形三边垂直平分线的交点 到三角形三个顶点的距离相等.
情境引入
C
B
弓箭图形是轴对称 图形吗？
A
A1
B1
C1
图形中的对称轴和 对称点的连线段是 怎样的位置关系？
B
P
C
A
开弓时图形仍然是 轴对称图形吗？
请猜想点P到点A 与点B 的距离之间 的数量关系．
相等．
实验设计
如图，木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，点P是l上的点，当点P 在l上移动时，分别量出点P到A、B的距离， 你有什么发现？你 能证明你的结论吗？
用线段垂直平分线的性质证两线段相等 用线段垂直平分线的判定证两直线垂直
•三角形三边垂直平分线的交点到三角形 三个顶点的距离相等
DE
C
反馈练习
3.在Rt△ABC中, ∠C=900, ∠B=28°， DE是AB的中垂线,垂足为D,BE=5,则
AE= 5 ，∠AEC= _56_°_ ．
A
D
C
E
B
反馈练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC
内一点，且OB=OC.试说明：OA⊥BC.
A
O
B
C
反馈练习
5、如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平 分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？ AB+BD与DE 有什么关系？ A
苏教科版初中数学八年级上册2.4线段、角的轴对称性(第2课时)PPT课件
2.4 线段、角的对称性（2）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相 等的点吗？ 这样的点有多少个？
2.4 线段、角的对称性（2）
想一想
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
Q
A
B、AD⊥BD
C、AD垂直平分BC， D、BD垂直平分AC
3、如图，如果M点在∠ANB的角平分线上，那么 AM＝___________.
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是
（）
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
5、如图，AD平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥ AB，那么 (1)DE和DC相等吗?为什么? (2)AE和AC相等吗?为什么?
2.4 线段、角的对称性（2）
作业
P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法， 任选1题写出过程．
四、课后作业
1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分
∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为
.
2、 在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，下列
说法不正确的是（ ）
A、BD平分AC
试一试
在直线AB外任取一点C，用刚学的方法 作出线段BC、AC的垂直平分线，你发现了 什么？
C
2.4 线段、角的对称性（2）
例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的
垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的
垂直平分线上．
A
O
B
C
2.4 线段、角的对称性（2）
说说你本节课你有什么收获？
苏教版八年级上册数学[线段、角的轴对称性--知识点整理及重点题型梳理]
![苏教版八年级上册数学[线段、角的轴对称性--知识点整理及重点题型梳理]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2ea7a09d15abe23492f4d3e.png)
苏教版八年级上册数学[线段、角的轴对称性--知识点整理及重点题型梳理]-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习线段、角的轴对称性—知识讲解【学习目标】1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、线段的轴对称性1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点二、角的轴对称性1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB2.角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.【典型例题】类型一、线段的轴对称性1、（2016?天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC 于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【思路点拨】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．【答案与解析】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．【总结升华】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．举一反三：【变式】（2015?黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M 的位置．【答案】解：作线段AC的垂直平分线交AB于M点，则点M即为所求．2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M关于OA的对称点M'，过M'作OB的垂线交OA于P、交OB于Q，侧M→P→Q为最短路线．如图：类型二、角的轴对称性3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90?, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC ＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=，则△ABD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到ACAB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为的距离，又∵:3:23:2．4、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.5、（2015春?启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD 和△CBD 中，，∴△ABD≌△CBD（SAS ），∴∠ADB=∠CDB，∵点P 在BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN ．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键． 举一反三：【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DC DE DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）∴BE ＝CF。
1.4 线段 角的轴对称性》(2) 课件孙老师
角的对称性
已知∠AOB和C、D两点，请在图中标出一 点E，使得点E到OA、OB的距离相等，而 且E点到C、D的距离也相等。
A C·
E
O
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
·D
B
苏科版八年级数学上
角的对称性
任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、 OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B 画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O 在∠APB的平分线上吗？为什么？
角的对称性
A D
P
E
C B
书写格式：
O
∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ∴PD=PE
角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
角的对称性
动动手
O
A
D P E B C
反之，如果一个角内一点具备到这个角 两边的距离相等，那么这个点的位置有 何特征？
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角的对称性
●本节课你学到了什么？ 本节课你还有哪些疑问?
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
C E D
A F
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
B
苏科版八年级数学上
角的对称性
智力大比拼已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC 上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的 关系，并说明理由.
E A
M
D
B
N
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
F
C 苏科版八年级数学上
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§1.4 线段、角的轴对称性（第2课时）审核人：无
【目标导航】
⒈通过折叠的方式认识角的轴对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.
⒉探索并掌握角平分线的性质，解决一些简单的问题.
⒊在“操作——探究——归纳——说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力.
【要点梳理】
1. 角是 图形，它的对称轴是 .
⒉角平分线上的点到 相等.
⒊角的内部到角的两边 的点，在这个角的平分线上.
【问题探究】
活动一：在一张薄纸上任意画一个角∠AOB ，折纸，使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有何关系？
________________________________________________________
活动二：如图，在∠AOB 的内部任意取折痕上的一点P ，分别画点P 到OA 和OB 的垂线段PC 和PD ，再沿原
折痕重新折叠，那么_________________.
2.你发现折痕上的任一点到角的两边的距离有什么关系？
____________________________________________________________________________
几何语言：
∵_________________
∴_________________
这个结论你能用几何说理的方法来说明吗？试试看.
归纳：___________________________________________________________
_________________________________________________________________.
活动三：在图中，先用三角尺度量点Q 到∠AOB 两边的距离，看它们是否相等；再用直尺和圆规作∠AOB 的平
分线OT ，看点Q 是否在OT 上
结论：_________________________________
由此得到：角的内部到角的两边距离相等的点，在
___________________________________________.
几何语言：∵_________________
∴_________________.
你能用几何说理的方法说明这个结论吗？
知识点1.角平分线的性质
例1． △ABC 中，∠C =90° AD 平分∠BAC ，BC =10cm ，BD =6，
求点D 到AB 的距离为多少？
解：
【变式】若BD ∶DC=3∶2,点D 到AB 的距离为6，求BC 的长.
B D C
A
图4 图2 知识点2.角平分线上的点的识别
例2．任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂
线，设两条垂线相交于点M ，那么点M 在∠AOB 的平分线上吗？（画出图形并说明理由）
解：
【变式】如图所示，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于O.请问：
（1）你知道点O 与△ABC 的三边之间有什么关系吗？
（2）当你再作出∠A
的平分线时，你发现了什么？
解：
【变式】利用网格线作图：
（1）在BC 上找一点P ，使点P 到AB 和AC 的距离相等； （2）在射线AP 上找一点Q ，使QB=QA.
【课堂操练】
⒈P21： 1，2
⒊ 如图1，P 是∠AOB 的平分线上的一个点，PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ， 写出图中一组相等的线段______（只需写出一组即可）
⒋如图1.4-13，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则
ΔPDE 的周长是___________ cm.
A C
B A B
P C D O 图1
【每课一测】
（完成时间：45分钟，满分：100分）
一、选择题（每题5分，共20分）
1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）
A. 两条相交直线
B. 线段
C.有公共端点的两条相等线段
D.有公共端点的两条不相等线段
2、到三角形的三边的距离相等的点是 （ ）
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
3、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线，其中轴对称图形共有 （ ）
A 、3个
B 、4个
C 、5个
D 、6个
4、已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线上，DE ⊥AB ，F 为AC 上一点，且∠DFA=100°，则 （ ）
A.DE>DF
B.DE<DF
C.DE=DF
D.不能确定DE 、DF 的大小.
二、填空题（每题5分，共20分）
⒌ 如图1.4-3，l 是线段AB 的垂直平分线，则PA=_________，理由是_____________________.
图1.4-3 图1.4-4 图1.4-5 ⒍ 如图1.4-4，点Q 在∠AOB 的平分线上，QA ⊥OA ，QB ⊥OB ，A 、B 分别为垂足，则AQ=_________，理由是______________________________________.
⒎ 如图1.4-5，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则D 到AB 的距离为_____________________.
⒏ 如图 1.4-6，四边形ABCD 是轴对称图形，直线l 是对称轴，则图中相等的线段有_________________，∠ADC=________，AC ⊥__________.
三、解答题（每题30分，共60分）
⒐ 已知： ∠AOB 和点M 、N.
求作：点P ，使点P 在∠AOB 的平分线上，且PM=PN .（要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）
B N
⒑ 已知：如图，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，且点E 是DC 的中点.问：AD 、
BC 与AB 之间有何关
系？试说明之
.
图1.4-6
【每课一测参考答案】
一、选择题
1、 D ；
2、A；
3、D、
4、B.
二、填空题
5、PA=PB，理由：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
6、AQ=BQ，理由：角平分线上的点到角两边的距离相等
7、 4
8、相等线段：AD=BD，DO=BO，DC=BC，∠ADC=∠ABC，AC⊥BD
三、解答题
9、作法：连接MN，作MN的垂直平分线和∠AOB的平分线交于点P.
10、AD+BC=AB
过E作EF⊥AB于F，连接BE，
∵DC⊥BC
∴∠C=90°
∵AD∥BC
∴∠C+∠D=180°
∴∠D=90°
∴DE⊥AD
∵AE平分∠BAD，DE⊥AD，EF⊥AB
∴DE=FE
∵E是DC的中点
∴DE=CE
∴CE=EF
∵EC⊥BC，EF⊥AB
∴∠C=∠EFB=90°
∵BE=BE
∴Rt△BEF≌Rt△BEC (HL)
∴BF=BC
∵AB=AF+BF
∴AD+BC=AB。