5章-3_贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
y = ∑ ak x c+k
k =0
∞
(a0 ≠ 0)
(5.1.15)
式中 c 为常数. 为了求出 a k 和 c ,将式(5.1.15)代入式(5.1.14),整理后得
∑ {[c + k )(c + k − 1) + (c + k ) + ( x
∞ k =0
2
− n 2 )]a k x c + k = 0
J − n ( x) = ∑
(−1) m x −n+2m −n+ 2 m m!Γ(− n + m + 1) m=0 2
∞
(5.1.17)
比较式(5.1.16)与式(5.1.17),发现二式只是 n 与 − n 的区别.因此 n 无论是正数,还是负数, 他们可以统一地表达第一类贝塞尔函数. 当 n ≠ 整数时, J n ( x) 和 J − n ( x) 是线性无关的,则式(5.1.14)的通解为
∞ l =0
= (−1) N ∑
N
(−1) l x N + 2l 2 N + 2l (l + N )!l! (5.1.21)
= (−1) J N ( x)
这样 J N ( x) 和 J − N ( x) 线性相关.为了给出式(5.1.14)的通解, 必须要找出一个与 J n ( x) 线性无关的特解.因此,我们修改第二类贝塞尔函数的定义,规定
y = AJ n ( x) + BJ − n ( x)
式中, A, B 为两个任意常数.
(5.1.18)
若在式 (5.1.18) 中令 A = cot nπ , B = − csc nπ , 则可得式 (5.1.14) 的另一个特解 , 记 为
贝塞尔函数详细介绍(全面)
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
x2 y xy x2 n2 y 0
假设 n 0
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck k 0 (c k)(c k 1) (c k) (x2 n2 ) ak xck 0 k 0
Jn (x)
2 cos x 1 n x 4 2
Yn (x)
2
x
sin
x
1
4
n
2
x , Jn (x) 0,Yn (x) 0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
性质8 正交性
R
0 rJn
(n) m R
r
J
n
(n) k R
r dr
R2
2
J
2 n1
(m(n)
3
(1)m 2m1
52m 1
(
1
)
x 2
1 2
2m
2
(1)m 22m1
x
1 2
2m
m0 2m 1 ! 2
(1)m 2 x2m1
m0 2m 1! x
2
x
(1)m x2m1
m0 2m 1 !
2 sin x
x
J 1 (x) 2
2 cosx
x
J n1 (x) (1)n 2
2
x
n
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
贝塞尔函数和球贝塞尔函数
贝塞尔函数和球贝塞尔函数前言：贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，它是傅里叶变换的基础。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机科学等学科中都有着重要的应用。
本文将重点介绍贝塞尔函数及其应用中常用到的球贝塞尔函数，分别从定义、性质、运算及应用等多个角度进行解释。
一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数，又称为柏松函数或泊松函数，是一个数学函数系列，其名称是为了纪念德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）而得名。
贝塞尔函数最初是为了解决圆形振动、电磁场、流体力学等问题而被引入的。
具体地说，贝塞尔函数是微分方程中的一类特殊解，其通式如下：$$ J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(x/2)^{n+2k}}{k!(n+k)!} $$式中，Jn(x)代表了一类常微分方程的解，其中n代表了贝塞尔函数中的次数，x代表自变量，通常被称为“辐角”。
由于贝塞尔函数满足贝塞尔微分方程，因此它有许多重要的性质和应用。
（1）奇偶性：贝塞尔函数具有两种奇偶性，一种是关于自变量x的奇偶性，另一种是关于次数n的奇偶性。
$$ J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x) $$（2）正交性：当n≠m时，两个不同次数的贝塞尔函数在区间[0,a]上的积分为0。
$$\int_{0}^{a}xJ_n(\alpha_n x)J_m(\alpha_mx)dx=\frac{\delta_{mn}}{\alpha_n}\frac{(J'_{n}(\alpha_n a))^2-(J_{n}(\alpha_n a))^2}{2}$$其中，δmn是Kronecker δ 符号，当n=m时为1，否则为0。
（3）渐近行为：在辐角趋近于无穷大时，贝塞尔函数的渐近行为为：$$ J_n(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos(x-\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{4}) $$（4）级数展开：贝塞尔函数能用级数的形式表示：（1）递推关系：以Jn(x)为例，它的递推关系可以表示为：（2）德拜函数：德拜函数是一个和贝塞尔函数非常相似的函数，它用来描述球面波的性质。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
贝塞尔函数
贝塞尔函数基本概念编辑是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
基本内容编辑贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。
这类方程的解无法用初等函数系统地表示。
但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。
这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。
实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。
定义贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
历史几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。
雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。
1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。
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n=0
Yn ( x)
n=1
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北京科技大学数力系----魏培君
6
关于 J v ( x) 的零点及其分布的以下结论：
1) 对任意给定的实数
v
， v
J ( x) 有无穷多个零点；且当
v 1 时，J v ( x) 的零点都是实数。
2) 当 v 0 时， v (0) 0 ；当 v 0 时， v (0) 1 。 J J
(1) et dt 1
0
z n(整数)
(n 1) n(n)
n(n 1)(n 1)
n(n 1)3 2 1 (1)
n!
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君 3
此外，伽玛函数与三角函数之间存在下列关系式
( z )(1 z )
1 n 2
x 1
n
2 n 1 d sin x x x xdx x
18
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5.4.6 整数阶的贝赛尔函数
当
v n（整数）时有
J n x 1 J n x
n
J n x 1 J n x
J v ( x的正零点，则当 )
时，贝赛尔函数系 v 1
J (
v
(v ) n
x)
n 1
在区间
[0,1] 上关于权函数
正交 ( x) x
0 ( m n) 1 (v) (v) 0 xJ v (m x) J v (n x)dx 1 J v21 (n(v) ) (m n) 2
v i(1) i( v )
v x k 2 4 2
2013-11-8
(v) i
v 3 (i 1) 2 4
8
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5.4.2贝塞尔函数的渐进性质
J v ( x) 的渐进性质：
1) 在 x 0 点处的渐进性质
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君 7
6) 对各阶贝塞尔函数的第1零点，存在关系式：
0
(0) 0
(1) 0
(2) 0
(n) 0
( n 1) 0
贝塞尔函数零点的具体数值可查有关特殊函数的函数表
x 0
J v ( x) 2 v cos( x ) x 2 4
第5章 柱坐标系下的分离变量法
5.1 极坐标下的拉普拉斯方程 5.2 圆柱坐标系下的亥姆霍斯方程
5.3 贝塞尔方程的求解 5.4 贝塞尔函数的性质
5.5 贝塞尔方程的特征值问题
5.6 综合应用
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君 1
伽玛函数
( z) et t z 1dt
n
母函数
e
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x 1 t 2 t
k
Jk x tk
19
北京科技大学数力系----魏培君
从母函数还可以推出下列两个重要的形式
1）平面波的驻波展开式
eix cos ni n J n x cos n
n 0
0 1,
n 2
n
2
(v 0)
2) 在 x 时的渐进性质
3 2 v Yv ( x) sin( x ) o x 2 x 2 4 衰减的周期振荡函数
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君 10
H v(1) ( x ) 和 H v(2) ( x) 的渐进性质
9
Yv ( x) 的渐进性质
1) 在 x 0 点处的渐进性质
x Y0 ( x) ln ( x 0 ) 2 v 1 x Yv ( x) sin v (1 v ) 2
(n 1)! x Yn ( x) 2
sin z
(1 z )(1 z )
z sin z
1 当 z 2
1 ( ) 2
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5.4.1贝塞尔函数的零点
m=0
J m ( x)
1.0
m=1
m=2
m=3
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5
3 o x 2
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12
对虚变量的贝塞尔函数有
1) 在 x 0 点处的渐进性质
I 0 (0) 1
1 x m I m ( x) ( ) m! 2
x ln 2 K m ( x) (m 1)! ( x ) m 2 2
5分钟
J v 1 ( x) J v 1 ( x) 2 J v ( x)
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君 15
2）
Yv ( x)
的递推关系式
xvYv ( x) xvYv1 ( x)
xvYv ( x) xvYv1 ( x)
(m 0) (m 0)
2) 在 x 时的渐进性质
ex I v ( x) 2 x
2013-11-8
( x )
K v ( x)
2x
e x
( x )
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13
I 0 ( x)
I m ( x)
K m ( x)
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( f ( x) Cn J v ( nv ) x) n 1
Cn
( J v21 ( nv ) x) 0
2
1
( xf ( x)J v ( nv ) x)dx
17
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5.4.5半奇数阶的贝赛尔函数
J 1 x
2 k 0
n 0,1, 2,
k it
e
。
i kr cos t
k i J k kr cos k e
k 0
2）加法公式
Jn x y
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k
J x J y
k nk
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1) 在 x 0 点处的渐进性质
x H ( x) i ln 2
(1) 0
2
(n 1)! x (1) H n ( x) i 2
n
H
(2) 0
x (x) i ln 2
2
H
(2) n
(n 1)! x ( x) i 2
n
1
z 32 k! k 2 1
k
k
2 k 1
2 sin x x
2 cos x x
n
J
1 x 2 k 0
1
z 12 k! k 2 1
2k
1 2
更一般地
J
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14
5.4.3贝塞尔函数的递推关系式
1） J v ( x) 的递推关系式
xv J v ( x) xv J v1 ( x)
xv J v ( x) x v J v1 ( x)
2v J v 1 ( x) J v 1 ( x) J v ( x) x
0
Re( z) 0
( z 1) et t z dt
0
e t z et t z 1dt 0 0
t z
0 z et t z 1dt
0
z ( z )
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递推关系式
2
z 1
泊松表达式
x 2 Jn x cos x cos sin2 n d 1 0 n 2
n
贝塞尔表达式
1 Jn x 2
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cos n x sin d
22
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北京科技大学数力系----魏培君
11
2) 在 x 时的渐进性质
2 (1) H v ( x) e x
v i x 2 4
3 o x 2
2 (2) H v ( x) e x
v i x 2 4
J 3) 除 x 0 外， v ( x) 的零点都是1阶零点；当 v 0 时，
x 0 是 J v ( x) 的
4) 若 J v ( ) 0
v
阶零点。
，则 J v ( ) 0
5) J v ( x) 的零点与 J v 1 ( x) 或 J v 1 ( x) 的零点是相互间插的。
Yv 1 ( x) Yv 1 ( x) 2v Yv ( x) x
均满足贝赛尔方程
Yv 1 ( x) Yv 1 ( x) 2Yv( x)
也适用于第Ⅲ类贝赛尔函数
2013-11-8 北京科技大学数力系----魏培君
柱函数 Z v ( x)
16
5.4.4贝赛尔函数的正交性
设
( ( 1( v ) , 2v ) , , nv ) , 为
J 0 ( R)