九年级三角函数练习
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》综合练习2(含答案)
30°，45°，60°角的三角函数值一、请准确填空(每小题3分，共24分)1.如图1，在平面直角坐标系中，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为(4，3)则sin α=______，cos α=______.2.已知α是锐角，且2cos α=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tan α=______.3.如图2，B 、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m ，则点A 到对岸BC 的距离是_____m.ABC30ABC o图1图2 图34.要把5米长的梯子上端放在距地面3米高的阳台边沿上，猜想一下梯子摆放坡度最小为______.5.已知tan α·tan30°=1，且α为锐角，则α=______.6.设β为锐角，且x 2+2x+sin β=0的两根之差为2，则β=______.7.在△ABC 中，∠C=90°.若3AC=3BC ，则∠A 的度数是______，cosB 的值是______.8.如图3，某建筑物BC 直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20 cm ，则此阶梯最少要建_____阶.(最后一阶的高度不足20 cm 时，按一阶算，3取1.732)二、相信你的选择(每小题3分，共24分)9.在△ABC 中，AB=AC=4，BC=2，则4cosB 等于（ ） A.1B.2C.15D.41510.△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=23，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定11.令a=sin60°，b=cos45°，c=tan30°，则它们之间的大小关系是（ ） A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<cD.a<c<b12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ） A.tanA=AAcos sin B.sin 2A+sin 2B=1 C.sin 2A+cos 2A=1D.sinA=sinB13.在△ABC 中，若|sinA －23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ） A.45°B.60°C.75°D.105°14.已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC+AC=3+3，则BC 等于（ ） A.3B.3C.23D. 3+115.若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°16.某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m ，则这个人所在的位置升高了（ ）A.1000 mB.500 mC.5003 mD.331000 m 三、考查你的基本功(共24分) 17.(16分)计算或化简： (1)sin45°·cos60°－cos45°·sin30°; (2)5tan30°－2(cos60°－sin60°). (3)(23tan30°)2005·(22sin45°)2004; (4)2(2cos45°－tan45°)－(tan60°+sin30°)0－(2sin45°－1)－1.18.(8分)已知△ABC 中，∠C=90°，AC=m ，∠BAC=α(如图4),求△ABC 的面积.(用α的三角函数及m 表示)ABCm图4图5四、生活中的数学(共18分)19.(9分)“郑集中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC= 40 m ，BC=25 m ，请求出这块花圃的面积.20.(9分)如图5，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B 处的货船是否会受到台风的侵袭？说明理由.五、探究拓展与应用(共10分)21.(10分)(1)如图6中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.123(注:AB 1 =AB 2=AB 3 )① B 1B 2B 3 AC②图6(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.参考答案一、1.53 54 2.60° 33 3.30 4.435.60°6.30°7.60° 238.26二、9.A 10.B 11.A 12.D 13.C 14.B 15.B 16.B 三、17.(1)0;(2)3338-;(3)21;(4)－22. 18.解：∵tan α=ACBC ， ∴BC=AC·tan α=m·tan α.S △ABC =21AC·BC=21m 2tan α.四、19.解：作CD ⊥AB. ∵∠A=30°,∴CD=21AC=21×40=20(m),AD=22CD AC -=203(m), BD=22CD BC -=15(m).(1)当∠ACB 为钝角时，AB=AD+BD=203+15,∴S △ABC =21AB·CD=21(203+15)×20=(2003+150)(m 2).(2)当∠ACB 为锐角时，AB=AD －BD=203－15.∴S △ABC =21AB·CD=21(203－15)×20=(2003－150)(m 2).20.解：AB=16×20=320(海里), 作BD ⊥AC 垂足为D. ∵∠BAC=30°,∴sin30°=ABBD，BD=AB·sin30°=160. ∵160<200,∴B 处的货船会受到影响. 五、21.(1)由图①知 sinB 1AC 1=111AB C B ，sinB 2AC 2=222AB CB ，sinB 3AC 3=333AB C B . ∵AB 1=AB 2=AB 3且B 1C 1>B 2C 2>B 3C 3, ∴111AB C B >222AB C B >333AB C B . ∴sinB 1AC 1>sinB 2AC 2>sinB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3, 而对于cosB 1AC 1=11AB AC , cosB 2AC 2=22AB AC , cosB 3AC 3=33AB AC . ∵AC 1<AC 2<AC 3,∴cosB 1AC 1<cosB 2AC 2<cosB 3AC 3. 而∠B 1AC 1>∠B 2AC 2>∠B 3AC 3. 由图②知sinB 3AC=33AB CB , ∴sin 2B 3AC=2323AB C B . ∴1－sin 2B 3AC=1－2323AB C B =232323AB C B AB =232AB AC . 同理,sinB 2AC=22AB C B ，1－sin 2B 2AC=222AB AC ， sinB 1AC=21AB C B ，1－sin 2B 1AC=212AB AC . ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴232AB AC <222AB AC <212AB AC .∴1－sin 2B 3AC<1－sin 2B 2AC<1－sin 2B 1AC. ∴sin 2B 3AC>sin 2B 2AC>sin 2B 1AC. ∵∠B 3AC ，∠B 2AC ，∠B 1AC 均为锐角, ∴sinB 3AC>sinB 2AC>sinB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC. 而对于cosB 3AC=3AB AC, cosB 2AC=2AB AC, cosB 1AC=1AB AC. ∵AB 3>AB 2>AB 1,∴3AB AC <2AB AC <1AB AC. ∴cosB 3AC<cosB 2AC<cosB 1AC. 而∠B 3AC>∠B 2AC>∠B 1AC.结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小.(2)由(1)知sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°, cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。
九年级数学三角函数习题
九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（一）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______ 1.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =___ ___.2.支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5 那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．3.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠墙）， 小明测得 甲与地面的夹角为603米，且顶端距离墙脚3米；丙的坡31。
那么，这三张梯子的倾斜程度（ ）A.甲较陡 B ．乙较陡 C ．丙较陡 D ．一样陡4.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米5.如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）αP oy34第4题图︒60︒45A B北北6.（2012•陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）7.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（二）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______一、选择题1．在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有（ ）。
1.5 三角函数的应用(分层练习)(解析版)
第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用精选练习一、单选题1．（2022·江苏泰州·九年级期中）一条上山直道的坡度为17∶，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（ ）A ．700米B．米C．米D．2．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度AC 为3米，登高梯与地面的夹角ACB Ð为72o ，则书架第七层顶端离地面的高度AB 为（ ）A ．3sin 72°米B ．3sin 72o 米C ．3cos 72°米D ．3cos 72o米3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔的水平距离AB a =，则此时塔高CD 的长为（ ）A ．sin sin a a a b +B ．tan tan a a a b +C ．tan tan aa b +D ．tan tan tan tan a a b a b+【答案】B【分析】在Rt △ABD 和Rt ABC △中，利用锐角三角函数求出,BD BC ，即可求解．【详解】解：根据题意得：90ABD ABC Ð=Ð=°，在Rt △ABD 中，tan tan BD AB a b b ==，在Rt ABC △中，tan tan BC AB a a a ==，∴tan tan CD BD BC a a a b =+=+．即此时塔高CD 的长为tan tan a a a b +．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．4．（2022·山东济南·模拟预测）小明去爬山，在山脚A 看山顶D 的仰角30CAD Ð=°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米到达B 处，此时小明看山顶的仰角60DBF Ð=°，则山高CD 为（ ）米A ．(600-B ．()250C ．(350+D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．5．（2022·河北石家庄·九年级期中）如图，一块矩形薄木板ABCD 斜靠在墙角MON 处（OM ON ^，点A ，B ，C ，D ，O ，M ，N 在同一平面内），已知AB m =，AD n =，ADO a Ð=，则点B 到ON 的距离等于（ ）A ．cos cos m n a a×+×B ．sin cos m n a a ×+×C ．cos sin m n a a×+×D ．sin sin m n a a×+×过点B 作BH ON ^于H ∴B 到ON 的距离是BH ∵OM ON ^，矩形ABCD ∴BAQ DAO DAO Ð+Ð=Ð∴ADO BAQ a Ð=Ð=，6．（2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中）如图，沿AB 方向架桥BD ，以桥两端B D 、出发，修公路BC 和DC ，测得150ABC Ð=°，1800BC =m ，105BCD Ð=°，则公路DC 的长为（ ）A ．900mB ．mC ．mD ．1800m【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．二、填空题7．（2022·广西贵港·九年级期中）桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A 处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B 处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A ，B 两处的距离为12m ，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB 与绳子的夹角为53°，则绑重物的B 端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.（忽略提水时竹竿产生的形变）（参考数据：sin 530.8cos530.6tan 53 1.3°»°»°»，，）由题意得，在Rt ABC △∴sin BC AB BAC =Ðg ，∵12m AB BAC =Ð=，∴()120.89.6m BC »´=，故答案为：9.6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键．8．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小明买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，图2是该自行车的车架示意图，上管36cm AC =，且上管AC 与立管AB 互相垂直，下管45cm BC =，座管AE 可以伸缩，点A B E ，，在同一条直线上，且75ABD Ð=°．若座管AE 伸长到18cm ，则座垫E 到后下叉BD 的距离为______cm ．（结果精确到1cm ，参考数据sin750.97°»，cos750.26°»，tan75 3.73°»）∵45cm BC =，36cm AC =，∴22245AB BC AC =-=-在Rt FBE V 中，sin EF EB =´故答案为：44．9．（2022·山东济南·九年级期中）如图，太阳光线与地面成30°的角，照射在小木棒AB 上，小木棒在地面上的投影CD 的长是8cm ，则小木棒AB 的长是______cm ．10．（2022·江苏苏州·九年级期中）一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船C 处，(sin 530.8cos530.6°»°»，)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用键．三、解答题11．（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂．现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图，天堂外观5层，内部9层，由建筑主体、台基和宝顶三部分组成．为测量天堂AB （左边较高的建筑物）的高度，几名中学生在天堂旁边明堂的台基E 处测得天堂建筑主体顶端C 处的仰角为22°，往前水平行进14米至F 处，测得天堂顶端点A 的仰角为30°，已知天堂宝顶AC 高188．米，明堂台基EF 距地面DB 的高DE 为10米，请计算天堂AB 的高的值．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37°»，cos 220.93°»，tan 220.40°» 1.73»）12．（2022·江苏苏州·九年级期中）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN 是基座的高，MP 是主臂，PQ 是伸展臂）．已知基座高度MN 为0.5米，主臂MP长为α的范围是：060a °<£°，伸展臂伸展角β的范围是：45135b °££°．(1)如图3，当45a =°时，伸展臂PQ 恰好垂直并接触地面，伸展臂PQ 长为 米；(2)若（1）中PQ 长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N 水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）∵45a =°，∴PHM V 为等腰直角三角形，∴sin 3PH PM a ==∴45QPH Ð=°，∴sin 45 3.5QH PH PQ ==°=´∴7232MH MPPH =+=+一、填空题1．（2022·陕西汉中·九年级期末）某区域平面示意图如图所示，AB 和BC 是两条互相垂直的公路，800AB =米，甲勘测员在A 处测得点D 位于北偏东45°，乙勘测员在C 处测得点D 位于南偏东60°，300CD =米，则公路BC 的长为___________米．（结果保留根号）的面积为___________米2【分析】延长BA 交CD 于G 点，在Rt EFB D 中，根据锐角三角函数定义求出EF ，在Rt CGA V 中，根据锐角则3CG BF ==（米），由题意得：30EBF Ð=°，在Rt EFB D 中，tan BF EF =在Rt CGA V 中，AG CG =∴1AB CE EF AG =+-=+3．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA OB ，，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，设太阳光线与地面的夹角为a ，测得2tan 3a ＝，8.5m 13m MC CD ＝，＝，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 _____m ．4．（2022·浙江温州·八年级期中）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)且AF BE ∥，60BAF Ð=°，10BD =，箱盖开起过程中，点A ，C ，F 不随箱盖转动，点B ，D ，E 绕点A 沿逆时针方向转动90°，即90BAB ¢Ð=°分别到点B ¢，D ¢，E ¢的位置，气簧活塞杆CD 随之伸长CD ¢已知直线BE B E ¢¢^，CD CB ¢=，那么AB 的长为______cm ，CD ¢的长为______cm ．5．（2022·山东威海·九年级期中）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，a=，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无tan2MC=米，则河流的宽度CD为人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中100______．\ME AB==，AM BEÐ=，tan由已知可得：BAC a\80Ð==米，ACMME ABAM二、解答题6．（2022·山东东营·九年级期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．7．（2022·江苏苏州·九年级期中）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长50cm AB =，拉杆最大伸长距离30cm BC =，（点A 、B 、C 在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ，A e 与水平地面切于点D ，AE DN ∥，某一时刻，点B 距离水平地面40cm ，点C 距离水平地面61cm ．(1)求圆形滚轮的半径AD 的长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面66.6cm ，求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE Ð的大小（精确到1°，参考数据：sin500.77°»，cos500.64°»，tan50 1.19°»）．【答案】(1)5cmAD =(2)50CAE °Ð=【分析】（1）作BH AF ^于点G ，交DM 于点H ，则ABG ACF ∽V V ，设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）根据题意求得CF 的长，在Rt ACF V 中，求得sin CAE Ð，即可求得CAE Ð的度数．【详解】（1）解：设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ，作BH AE ^于点G ，交DM 于点H ，则BG CF ∥，∴ABG ACF ∽V V ，∴BG AB CF AC=，即4050615030x x -=-+，8．（2022·江苏苏州·九年级期中）如图，水坝的横截面是梯形()DC AB ABCD ∥，迎水坡BC 的坡角a 为30°，背水坡AD 的坡度i 为1:1.2，坝项宽 2.5DC =米，坝高5米．求：(1)坝底宽AB 的长（结果保留根号）；(2)在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD 的坡度改为1:1.4，求横截面增加的面积（结果保留根号）。
九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案
九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ， 解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。
三角函数练习题(含答案)
三角函数练习题及答案（一）选择题1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定12、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=45，则AC=（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=13，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ） A 、47B 、 13C 、 12D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：√2C 、1：1：√3D 、1：1：√226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB= 23B ．cosB= 23C ．tanB= 23D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m （C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D点测得楼顶的仰角为300，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为450，则该高楼的高度大约为（）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里（二）填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．2．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．3．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．4．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为___________结果保留根号）．7．求值：sin260°+cos260°=___________．8．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=___________．9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）三、简答题：1，计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒分析：可利用特殊角的三角函数值代入直接计算；2计算：22459044211(cos sin )()()︒-︒+-︒+--π分析：利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。
九年级三角函数知识点经典例题
九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系正弦(∠A 为锐角)余弦(∠A 为锐角)正切(∠A 为锐角)A A cot 1tan =(倒数) 余切(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)对边三角函数 0° 30° 45° 60° 90°11 00 1 -- 1 06、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l =。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。
10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒， 则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒． 故选：C ． 【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（ ）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ， 在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD， 则535x +=， 解得：535x =-， 即AC 的长度是()535m -； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为 （ ） 题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ， 则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°， 故选：A ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得． 【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ． 【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =， 解得，AC ＝33， 由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米， 在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=， 解得，3x =（米)，故选：B ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论． 【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1） 故选D ． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===． 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可． 【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3． 故答案为：3或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。
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九年级三角函数练习
一、选择题：
1.在Rt△ABC中,锐角的正切表示 ( )
A.长度
B.度数
C.比值
D.未知数
2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,如果Rt△ABC三边都缩小2倍,那么锐角A的正切值tanA （）
A.缩小2倍
B.扩大2倍
C.不变
D.不能确定
3.如图,已知正方形ABCD的边长为2,如果将线段BD绕着点B旋转后,
点D落在CB的延长线的D’处,那么tan∠BAD’等于 ( )
A.1
B.2
C.
2
2
D.22
4.在Rt△ABC中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A的正弦值和余弦值（） A．都扩大两倍 B.都缩小到一半C．没有变化 D.不能确定
5.在放大2倍的放大镜下看Rt△ABC，锐角A的余弦值（）A、扩大2倍B、缩小2倍C、∠A的余弦值没有变，而只是三角形的三边的长度扩大了2倍D、∠A的余弦值无法与原来的比值比较
6.下列命题中正确的是（）A、对于任意锐角α，都有0≤sinα≤1 ;B、在Rt△ABC中，若a=3,b=4,则sinA=3 5 ;
C、对于任意锐角α1、α2，若α1＜α2，则cosα1＜cosα2;
D、△ABC中，∠C=90°，则sin2A+sin2B=1.
二、填空题：
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2cm,BC=1cm ,tanA=
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanB=0.5，则AC=
3.一把长为5米的梯子靠在一面墙上,梯子的底端离墙角的距离为3米,这把梯子的倾斜角的正切值为 .
4.比较下列各值的大小,用不等号填空:tan35° tan18° tan9°
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=12cm ,tanA=4
3
,则△ABC的周长为 , 面积为 .
6.菱形的两条对角线长分别是6和8，较短的一条对角线与菱形的一边的夹角为α，
则sinα=___, cosα=___, tanα=___.
7.△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则sinA：sinB= .8.△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则cosB= .
9.△ABC中，∠C=90°,斜边上的中线长CD为6.5 ,且AC=5，则sinA= .
10.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则较小锐角的余弦值是 .
11.在Rt△ABC中,AC=3BC, ∠B=90°, 则sinC= .12.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=3，
则BC= ，sinA= ,tanB=______.13.△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则sinA:sinB= .
14.△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则cosB= .15.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线长是5，且AC=8,
则最小角的余弦值是.16.在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15，sinC=3
5
,AB=____.
C
B
A
D
C
B
A
D’
1
2
B
D
E
C
A 三、解答题：
1.已知在△ABC 中,AB=AC=10,BC=8,求tanB.
2.如图,在Rt △ABC 中, ∠C=90°,CD 是AB 边上的高,AD=3,CD=5 ,
求tan ∠B 的值.
3.如图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经CD 上的点E 反射到B 点.若入射角为
α(入射角等于反射角),AC ⊥CD,BD ⊥CD, 垂足分别为C 、D,且AC=3,BD=6, CD=11,则tan α的值.
4.如图, 在Rt △ABC 中, ∠A=90°,AB=AC,D 为AC 上的一点,AD= 1
3
AC, 求
tan ∠DBC 的值
5.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上的一点，CD=3，AD=BD=5. 求∠A 的三个三角函数值.
6.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=2，BD=4，求cos ∠ACD 的值.
7.等腰三角形的周长为16,一边长为6,求底角的余弦值.
8.如图,在△ABC 中,∠CAB=90°,AB=AC,BD 是AC 边上的中线. 求cos ∠DBC 的值.
9.已知:如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高. 求证:BC 2
=AB ·BD(用正弦或余弦函数的定义证明).
10. 在Rt △ABC 中,∠C=90°.
(1)AC=4.AB=5,求∠A 、∠B 的三角函数值(2)BC=3,sinA=35,求AC 和AB.(3)AC=4,cosA=4
5,求BC . （4）AB=15,sinA=
3
5
，求△ABC 的周长和斜边AB 上的高. 11.如图, 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AD=4,CD=3.试求sinB 的值.
A
C
D
B
D
C
B
A
C
B
A
D C B
A
D
C
B A
D C
B
A D
C
B
A ┓
A D
C
B。