何福云小学数学课件-互质数
互质数
巧学妙识互质数学生在学习因数、倍数、最大公因数、最小公倍数、互质数的时候，由于概念多，题型复杂，掌握起来存在一定的困难，导致错题率很高。
尤其在化简分数的时候，不知道最后的结果中的分子和分母是不是互质数，从而导致未能化成最简分数。
我从教二十多年，从中发现了一些判断互质数的方法，供大家在学习中参考。
一、直接分辨法：（1）两个不相同质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）相邻的两个自然数是互质数。
例如15与16。
（3）相邻的两个奇数是互质数。
例如49与51。
（4）大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
（5）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如7和16。
（6）2和任何奇数是互质数。
例如2和87。
（7）1和任何自然数（0除外）都是互质数。
二、计算判定法：（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。
如85和78。
85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。
（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。
如462与221，462÷221=2……20，20=2×2×5。
2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。
什么叫互质数
什么叫互质数？定义及定理：【对于两个数来看】公因数只有1的两个数，叫做互质数。
表达及运用注意（1）这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。
（2）“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。
”（3）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。
如2、3、5。
另一种不是两两互质的。
如6、8、9。
两个正整数（N）,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2判定互质数的方法汇总直接分辨（1）两个不相同质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）相邻的两个自然数是互质数。
例如 15与 16。
（3）相邻的两个奇数是互质数。
例如 49与 51。
（4）大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
（5）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如 7和 16。
（6）2和任何奇数是互质数。
例如2和87。
（7）1和任何自然数（0除外）都是互质数。
计算判定法（1）两个数都是合数（两数相差较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
（2）两个数都是合数（两数相差较小），这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。
如85和78。
85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。
（3）两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。
如462与 221462÷221=2……20，20=2×2×5。
2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。
（4）减除法。
如255与182。
255－182=73，观察知 73<182。
182－（73×2）=36，显然 36<73。
73－（36×2）=1，（255，182）=1。
互质数是什么意思？
互质数是什么意思？
互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。
公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
扩展资料
互质数的判断方法
1、分解判断法：如果两个数都是合数，可先将两个数分别分解质因数，再看两个数是否含有相同的质因数。
如果没有，这两个数是互质数。
2、求差判断法：如果两个数相差不大，可先求出它们的`差，再看差与其中较小数是否互质。
如果互质，则原来两个数一定是互质数。
3、求商判断法：用大数除以小数，如果除得的余数与其中较小数互质，则原来两个数是互质数。
互质数的讲解
互质数的讲解互质数是指两个数的最大公约数为1的正整数，很多人可能对此感到陌生，接下来我将详细解释互质数的概念及其相关理论。
一、最大公因数和最小公倍数为了方便理解互质数的概念，我们需要先介绍两个相关概念：最大公因数和最小公倍数。
最大公因数指两个或多个整数的公共因数中的最大值，例如12和16的最大公因数为4。
而最小公倍数是指两个或多个整数可同时整除的最小正整数，例如6和8的最小公倍数是24。
二、互质数的概念有了最大公因数和最小公倍数的理论基础，我们来介绍互质数的概念。
互质数指的是两个正整数的最大公因数为1，也就是说两个数没有除1以外的公共因数。
例如，6和35是互质数，因为它们的最大公因数为1。
而12和18不是互质数，因为它们的最大公因数为6。
三、互质数的性质互质数有以下性质：1.若a、b互质，则a、b的任意正整数次幂a^m、b^n（m、n为非负整数）仍然互质。
例如，2和3互质，那么2^3和3^2也互质。
2.若a、b、c互质，则a×b、b×c、a×c也互质。
举个例子，5、7和9互质，那么5×7、7×9、5×9也互质。
3.若a、b互质，且a能被c整除，则b与c互质。
例如，12和35互质，而12能被3整除，那么35和3也互质。
四、互质数的应用互质数在数论中有很多应用，例如在RSA加密算法中，两个大质数的乘积被用作加密密钥，而在解密时需要知道两个质数之一。
若这两个质数是互质数，那么解密会更加容易。
此外，在组合数学中，互质数也被用于求解循环节长度、模数及同余方程等问题。
五、总结互质数作为数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。
通过此篇文章，希望读者能够深入理解互质数的概念，掌握互质数的性质及其应用，从而提升自己的数学素养。
5-2互质 质因数分解(离散数学)
定理5.2.6 算术基本定理) 定理5.2.6 (算术基本定理)
再证n只有一法写成质数的乘积，换句话说， 再证 只有一法写成质数的乘积，换句话说， 只有一法写成质数的乘积 如果 n=p1…ph=q1…qk ………… (5) 都是质数， 而p1,…,ph，q1,…,qk都是质数，则h=k，而 ， 完全一样， 且p1,…,ph和q1,…,qk完全一样，最多次序不 同。 故由定理5.2.5，p1应整 由(5)，p1|q1…qk，故由定理 ， ， 之一，颠倒后者的次序， 除q1,…,qk之一，颠倒后者的次序，可假定 p1|q1。今q1是质数，只有 1和1两个正因数， 是质数，只有q 两个正因数， 两个正因数 必等于q 而p1≠1，故p1必等于 1。 ，
定理5.2.2 定理5.2.2
若a和b互质，而a|bc，则a|c。 互质， bc， 证明：因为a 互质，故有s 1=sa+tb， 证明：因为a，b互质，故有s，t使1=sa+tb， 从而 c=sac+tbc ………… (1) ………… 今因a bc， 整除( 右边每一项，因而a 今因a|bc，故a整除(1)右边每一项，因而a|c。
定理5.2.1 定理5.2.1
a和b互质，当且仅当1可表示为a和b的倍数 互质，当且仅当1可表示为a 和形式，即存在整数s 1=sa+tb。 和形式，即存在整数s和t使1=sa+tb。 证明：必要性； 互质知， 证明：必要性；由a和b互质知，a和b的最 高公因数为1 从而存在s sa+tb=1。 高公因数为1，从而存在s，t，使sa+tb=1。 充分性；只需证：若存在s sa+tb=1， 充分性；只需证：若存在s，t，使sa+tb=1， 的最高公因数d=(a,b)为 则a和b的最高公因数d=(a,b)为1。假设 d=(a,b) >1，则d|a，d|b，从而d整除 d|a，d|b，从而d sa+tb=1的左端 因此d|1，矛盾。 sa+tb=1的左端，因此d|1，矛盾。 的左端，
互质数讲义
课题分解质因数教学目标1、通过学习8、9、11倍数的规律，可快速分解合数的质因数。
2、质数与质因数的概念辨析。
3、快速判断两个数是否质因数。
重点、难点重点：记忆8、9、11倍数的规律。
难点：快速判断两个数是否质因数。
考点及考试要求分解质因数教学内容知识框架1、通过学习8、9、11倍数的规律，可快速分解合数的质因数。
2、质数与质因数的概念辨析。
3、快速判断两个数是否质因数。
考点一：8/9/11的倍数问题典型例题例一：下面哪些数是2、3、5的倍数80 570 3270 1270 513根据3的倍数特征，要判断一个数是不是3的倍数，只要看这个数各个数位上的数字之和是不是3的倍数就可以判断了。
例二：下面哪些数是8的倍数78916 143152 23752 1136 75648的倍数特征 末三位数能被8整除的整数，一定是8的倍数例三：下面哪些数有因数9？162 378 586 456 2988 3450根据9的倍数特征，要判断一个数是不是9的倍数，只要看这个数各个数位上的数字之和是不是9的倍数就可以判断了。
例三：下面哪些数有因数11？671 1248 947 582 563 2110根据11的倍数特征，要判断一个数是不是11的倍数，若一个数的奇数位上的数字之和，同偶数位上数字之和的差是11的倍数，这个数是11的倍数。
拓展小知识：如果一个数的末两位数能被4整除，那么这个数就能被4整除；如果一个数的各位上的数的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
征对性练习：1、下面哪些数是9的倍数？145 504 981 1134 607 23942、一个三位数的各位上的数字相同，这个数一定是3的倍数。
（）3、5的倍数比3的倍数大（）4、在五位数中，同时是2、3、8的倍数的最大的数是（），最小的数是（）5、已知2a4a5a是11的倍数，a可以是多少？6、随意写一个三位数，接着在后面把这个三位数再写一遍，组成形如abcabc这样的六位数，这样的六位数是不是11的倍数？知识概括、方法总结与易错点分析学生归纳总结：考点二：“巧”分解质因数典型例题：例一：巧学妙记质数表百以内质数歌一位质数偶打头，2、3、5、7记得牢；两位质数不用愁，我来编个顺口溜；十位上有4和1，个位准是1、3、7；（11、13、17、41、43、47 ）十位若是2、5、8，个位3、9往上加；（23、29、53、59、83、89）十位若是3和6，个位1、7跟在后；（31、37、61、67 ）十位一旦被7占，个位1、3、9即现；（71、73、79）两位质数少两个，19、97大团圆。
互质数是什么意思举个例子
互质数是什么意思举个例子互质数是什么意思举个例子_互质数是什么意思本店为您解决互质数的意思，如果你还想了解更多词汇的意思就查询本店吧互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的两个数是指除0外的所有自然数。
公因数只有1，不能误说成没有公因约数。
例：(1)两个不相同质数一定是互质数。
例如，2与713与19。
(2)一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与105与26。
(3)1不是质数也不是合数。
(4)相邻的两个自然数是互质数。
例如15与16。
(5)相邻的两个奇数是互质数。
例如49与51。
(6)大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
(7)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如7和16。
(8)2和任何奇数是互质数。
如2和87。
(9)两个数都是合数(二数差又较大互质数小学数学教材对互质数是这样定义的：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的两个数是指除0外的所有自然数。
公因数只有1，不能误说成没有公因约数。
例：(1)两个不相同质数一定是互质数。
例如，2与713与19。
(2)一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与105与26。
(3)1不是质数也不是合数。
(4)相邻的两个自然数是互质数。
例如15与16。
(5)相邻的两个奇数是互质数。
例如49与51。
(6)大数是质数的两个数是互质数。
例如97与88。
(7)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
例如7和16。
(8)2和任何奇数是互质数。
如2和87。
(9)两个数都是合数(二数差又较大)，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，3573717，而37和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
(10)两个数都是合数(二数差较小)，这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。
如85和78。
85787，7不是78的约数，这两个数是互质数。
互质数含义和判断方法
互质数含义和判断方法互质数一. 概念判断法公约数只有1的两个数叫做互质数。
根据互质数的概念可以对一组数是否互质进行判断。
如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。
二. 规律判断法根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。
(1)两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和11、17和31是互质数。
(2)两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
(3)相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
(4)1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
(5)两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。
如：3和19、16和97是互质数。
(6)两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。
如：2和15、7和54是互质数。
(7)较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。
如：13和27、13和25是互质数。
三. 分解判断法如果两个数都是合数，可先将两个数分别分解质因数，再看两个数是否含有相同的质因数。
如果没有，这两个数是互质数。
如：130和231，先将它们分解质因数：130=2×5×13，231=3×7×11。
分解后，发现它们没有相同的质因数，则130和231是互质数。
四. 求差判断法如果两个数相差不大，可先求出它们的差，再看差与其中较小数是否互质。
如果互质，则原来两个数一定是互质数。
如：194和201，先求出它们的差，201-194=7，因7和194互质，则194和201是互质数。
五. 求商判断法用大数除以小数，如果除得的余数与其中较小数互质，则原来两个数是互质数。
如：317和52，317÷52=6……5，因余数5与52互质，则317和52是互质数。
互质数判断方法公因数只有1的两个数，叫做互质数。
(不算它本身) 最大的公因数是1的两个自然数，叫做互质数。
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• （10）两个数都是合数（二数差较小），这两 个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这 两个数是互质数。如85和78。 85－78＝7， 7不是78的约数，这两个数是互质数。 （11） 两个数都是合数，大数除以小数的余数（不为 “0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是小数 的约数，这两个数是互质数。如 462与 221 462÷221＝2……20， 20＝2×2×5。 2、 5都不是221的约数，这两个数是互质数。
• （5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。 （6）大数是质数的两个数是互质数。如97与 88。 （7）小数是质数，大数不是小数的倍数 的两个数是互质数。如 7和 16。 （8）2和任 何奇数是互质数。如2和87。 （9）两个数都 是合数（二数差又较大），小数所有的质因数， 都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如 357与715，357=3×7×17，而3、7和17都 不是71
• • • • • • 14和15， 87和91， 36和25， 17和29， 19和53， 31和42，
互质数到底是怎样的 两个数？
两个质数？ 两个合数？ 一个质数和一个合数？ 一个奇数和一个偶数？ 两个奇数？
• 公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。 （1）两个不相同质数一定是互质数。 例如， 2与7、13与19。 （2）一个质数如果不能整 除另一个合数，这两个数为互质数。 例如，3 与10、5与 26。 （3）1不是质数也不是合数， 它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1 和9908。 （4）相邻的两个自然数是互质数。 如 15与 16。
公约数只有1的两个数，叫做互质数．
练习
8和9是不是互质数？ 8和10是不是互质数？ 3和10是不是互质数？
是
不是
是
判断两个数是不是互质数，只要看这两个 数的公约数是不是只有1．
质数是指除1和它本身外没有因数的数是质数, 而互质数是指两个数只有公因数1外就没有其 它因数,叫互质数.互质数如：7和8,9和11
复习
5和7的公约数和最大公约数各是多少？ 5的约数：1、5 7的约数：1、7 5和7的公约数：1 5和7的最大公约数：1
复习
7和9的公约数和最大公约数各是多少？ 7的约数：1、7 9的约数：1、3 9 7和9的公约数：1
7和9的最大公约数：1
例题
这两道题有什么共同特点？ 公约数和最大公约数都是1．
• （12）减除法。如255与182。 255－182＝ 73，观察知 73<182。 182－（73×2）＝ 36，显然 36<73。 73－（36×2）＝1， （255，182）＝1。 所以这两个数是互质数。 三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况： 一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。 如2、3、4。另一种不是两两互质的。如6、8、 9。 两个正整数,除了1以外,没有其他公约数时, 称这两个数为互质数。
质数和互质数
质数和互质数的区别
• 质数是指1个数的。 • 例如：2是质数，3是质数 • 互质数指的是两个数的关系，公因数只有 1的两个自然数，叫做互质数
• 例如：4和5是互质数， • 互质的两个数不一定是质数 • 例如：8和9是互质数
讨论
质数和互质数有什么不同？ 意义不同
质数是对1个数说的．如：2是质数，3是质数 互质数是对两个数的关系说的．如：2和3是互质数