第二章流体静力学
第二章流体静力学
1、当 4r0
象限内。在保持
v时 ，驻点A、B左右对称，并落在第一、二
不v变 的情况下，随环量的增加，A、B驻点
向上偏移并逐渐靠近。
2、当 4 r0v 时，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最
上端。
3、当 4 r0v 时，圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点
v0r 0 cos
90
d 0
式中 为圆的半径r与水
平方向的夹角。
同样可以证明，均匀流中
沿任何其他封闭曲线的速
度环量也等于零。
25
二、汤姆逊（Thomson）定理 流体线：在运动流体中，始终由同样的流体质点所组成 的线叫做流体线。流体线随着流体质点的运动，可在流 动空间位移，变化其大小和形状，但始终由原来的那些 流体质点所组成。
一般情况下，涡线与流线不重 合，而与流线相交。与流线方程类 似，可以得到涡线的微分方程为：
x
dx
x, y
,
z
,
t
y
dy
x, y
,
z
,
t
z
dz
x, y
,
z
,
t
式中，t为参变量。
涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，
它有不同的形状，在定常流动中，它的 形状保持不变。
15
2 、涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线），
在速度环量总和的计算中，内周线各微元线段的切向速度线 积分均要计算两次，而两次所取的方向相反，所以这些线段 上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线K 各微元线段的切向速度线积分的总和，它正好是沿外封闭周 线的速度环量，故各微元矩形的涡通量的总和就是通过封闭 周线K所包围的单连通区域的涡通量。
第二章流体静力学
流体力学
pA pB 2 gh2 3 gh3 1gh1
倾斜式测压计（微压计）
通常用来测量气体压强
pAm 2 gl sin 1 gh1
倾斜管放大了测量距 离，提高了测量精度
流体力学
l h
1
sin
作业：P.63～65 23 26 2 10 2 13
流体力学
小结1
作等压面 被测点 相界面 等高的两点必须在连 通的同一种液体中 沿液柱向上，压强减小 沿液柱向下，压强增大
流体力学
U型管测压计2
U型管测压计特点 测量范围较大 可测量气体压强
pAm 2 gh2 1gh1 2 gh2 可测量真空压强 指示液不能与被测液体掺混
流体力学
差压计
流体力学
x
y
z
j
p y
x
y
z
k
p z
x
y
z
i
p x
j
p y
k
p z
x
y
z
p
x
y
z
流体力学
压强梯度
2.2 静止流体平衡微分方程
静止流体受力平衡
f xyz pxyz 0
静止流体平衡方程－欧拉平衡方程
流体静压强的特性
垂直于作用面，指向流体内部
大小与作用面方位无关，只是作 用点位置的函数
绝对压强、计示压强小结2
液柱式测压计
各种测压计的优缺点 指示液的选取 几个概念 相对静止、等压面
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章.流体静力学
p0
14
水静力学基本方程：
p p0 gh
结论：重力作用下的均质流体有 1）静水压强随深度按线性规律增加。
A
1 2
A h
h
2）静水压强等于表面压强加上流体的g与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的 同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。(例A—A) 4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的 压强值。
三、面积力
1、面积力（Surface Force）：又称表面力，是相邻流体或其它物体 在隔离体表面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面 积成正比。 表面力按作用方向可分为：
5
压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2、应力：单位面积上的表面力，单位： N/m2 或 Pa
压应力 切应力
p lim P A0 A
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态。 真空值pv
P
1
pν pa pabs
真空高度
( pabs pa )
0'
p1
p2
pabs1
0' 相对压强基准
2
hv
pv g
pa pabs g
pa
0
pabs2
绝对压强基准 0
注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
pn py F
A
B
px O pz
D
C
x
类似地有：
y
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
px p y pz pn
故与作用面的方位无关。
由∑X=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
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第二章流体静力学第二章流体静力学作用在流体上的力有面积力与质量力。
静止流体中，面积力只有压应力——压强。
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程，等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜体与浮体的稳定性问题等。
第一节作用于流体上的力一、分类1.按物理性质的不同分类：重力、摩擦力、惯性力、弹性力、表面张力等。
2.按作用方式分：质量力和面积力。
二、质量力1.质量力(mass force):是指作用于隔离体内每一流体质点上的力，它的大小与质量成正比。
对于均质流体（各点密度相同的流体），质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
单位牛顿（N）。
2.单位质量力：单位质量流体所受到的质量力。
(2-1) 单位质量力的单位：m/s2，与加速度单位一致。
最常见的质量力有：重力、惯性力。
三、面积力1.面积力（surface force）：又称表面力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表面上的直接施加的接触力。
它的大小与作用面面积成正比。
表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。
切力：平行于作用面。
2.应力：单位面积上的表面力，单位：或图2-1压强(2-2)切应力 (2-3)1.静止的流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用？重力与压应力，因为无粘性，故无剪切力。
第二节流体静压强特性一、静止流体中任一点应力的特性1.静止流体表面应力只能是压应力或压强（如图B 点），且静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
图2-2流体不能承受拉力，且具有易流动性(如图A点,必须τ0=)。
2.作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。
即有：(2-4)证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图2-3所示取坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有，即各向分力投影之和亦为零，则：图2-3x方向受力分析:表面力：n为斜面ABC的法线方向质量力：当四面体无限地趋于O点时，则d x趋于0，所以有：p x=p类似地有：p x=p y=p z=p而n是任意选取的，所以同一点静压强大小相等，与作用面的方位无关。
说明：（1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各向静压强大小相等。
（2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。
流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即（2-5）（3）运动流体是理想流体时，由于m=0，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性，即（2-4）观看录像1图2-4判断：在弯曲断面上，由于离心惯性力的作用流体动压强不按静压强特征分布。
你的回答：对错判断：在均匀流中，任一过水断面上的流体动压强呈静压强分布特征。
你的回答：对错第三节流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程图2-5如图2-5所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为d x，d y，d z，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：根据平衡条件，在x方向有,即：流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：（2-6）物理意义：处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。
压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。
二、流体平衡微分方程的综合式因为p = p(x,y,z)压强全微分（2-6）式各项依次乘以d x,d y,d z后相加得：（2-7）三、等压面等压面（equipressure surface）：是指流体中压强相等（p=const）的各点所组成的面。
常见的等压面有：自由液面和平衡流体中互不混合的两种流体的界面。
只有重力作用下的等压面应满足的条件：图2-61.静止；2.连通；3.连通的介质为同一均质流体；4.质量力仅有重力；5.同一水平面。
提问:如图2-6所示中哪个断面为等压面? 您的答案是:C-C 断面B-B 断面观看录像2观看录像3等压面重要性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面，即：（2-8）证明：设想某一质点流体M在等压面上移动一微分距离ds，设质点的单位质量力为：则作用在质点上的质量力做功应为：图2-7的夹角即：质量力作功等于它在各轴向分力作功之和。
又，在平衡流体等压面上，即质量力与d s正交。
式中，d s是等压面上的任意两邻点的线矢。
第四节静止流体压强的分布一、重力作用下静水压强的分布规律重力作用下静止流体质量力：图2-8代入流体平衡微分方程的综合式(2-7)：(2-9)在自由液面上有：z=H 时,p=p0代入(2-9)式有:水静力学基本方程：或当时，(2-10)结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。
2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。
3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。
4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。
算一算：1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p0＝9.8kPa，A点压强为49kPa，则B点压强为多少,在液面下的深度为多少。
问题：露天水池水深5m处的相对压强为：A. 5kPa；B. 49kPa；C. 147kPa；D. 205kPa。
重力作用下静水压强的分布规律，如图2-9所示。
图2-9由式(2-9),重力作用下的静水力学基本方程又可写为：(2-11)或:(2-12)观看录像4观看动画5位置水头z：任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。
测压管高度p/ρg：表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（z+p/ρg）：单位重量流体的总势能。
物理意义：1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
如图2-10所示，，下述两个静力学方程哪个正确？图2-10问题1：仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为_______？A. 随深度增加而增加； C. 随深度增加而减少；B. 常数； D. 不确定。
问题2：试问图示中A、B、C、D点的测压管高度，测压管水头。
（D点闸门关闭，以D点所在的水平面为基准面）A:测压管高度，测压管水头B:测压管高度，测压管水头C:测压管高度，测压管水头D:测压管高度，测压管水头例：试标出图示2-11盛液容器内A. B和C三点的位置水头、压强水头和测压管水头。
以图示O—O为基准面。
解压强水头为相对压强的液柱高度，即测压管高度；位置水头为液体质点至基准面的位置高度。
显然，A点压强水头，位置水头z A和测压管水头（），如图所示。
图2-11在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等,即。
因此，以A点的测压管水头为依据，B点的位置水头 z B和压强水头即可以确定（如图所示)。
至于C点，因为位于测压管水头之上，其相对压强为负值，即p C < p a 。
故该点的压强水头为，如图所示。
二、压强的表示方法及单位（如图2-12所示）1.压强的表示方法a.绝对压强（absolute pressure）：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，。
b. 相对压强（relative pressure）：又称“表压强”，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。
用p表示，，p可“＋”可“–”，也可为“0”。
c.真空（Vacuum）：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是负的相对压强。
真空值p v图2-12(2-13)真空高度(2-14)注意：计算时无特殊说明时均采用相对压强计算。
观看录像6例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。
解：绝对压强：=1.194标准大气压相对压强：标准大气压例2 设如图2-13所示，h v=2m时，求封闭容器A中的真空值。
图2-13解：设封闭容器内的绝对压强为p abs，真空值为P v。
则：根据真空值定义：问题：某点的真空度为65000 Pa，当地大气压为0.1MPa，该点的绝对压强为：A. 65000P a；B. 55000P a；C. 35000P a；D. 165000P a。
问题：绝对压强p abs与相对压强p 、真空度p v 、当地大气压p a之间的关系是：A. p abs =p+p v；B. p=p abs+p aC. p v= p a-p absD. p=p abs+p a2.压强的计量单位a.应力单位这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，N/m2，Pa，kN/ m2，kPa。
b.大气压标准大气压：1标准大气压(atm)=1.013X105Pa=101.3 kPac.液柱高水柱高mH20：1atm相当于1at相当于汞柱高mmHg：1 atm相当于1at相当于问题1：金属压力表的读数值是：A. 绝对压强； C. 绝对压强加当地大气压；B. 相对压强； D. 相对压强加当地大气压。
问题2：一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下4.2m处测压管高度为2.2m，设当地大气压为1个工程大气压，则容器内绝对压强为几米水柱?A. 2m； C. 8m；B. 1m； D. -2m。
三、相对平衡流体静压强分布相对平衡在切应力。
相对平衡流例题一例1 如图2-14所示，一洒水车等加速度a=0.98m/s2向右行驶，求水车内自由表面与水平面间的夹角；若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m，距z轴为x B=-１.5m，求洒水车加速运动后该点的静水压强。
解：考虑惯性力与重力在内的单位质量力为（取原液面中点为坐标原点）图2-14X= -a ； Y=0 ；Z= -g代入式（2-7）得：积分得：在自由液面上，有：x=z=0 ；p=p0得：C=p0 =0代入上式得：Ｂ点的压强为：自由液面方程为（∵液面上p0=0）ax+gz=0即：例2 如图2-15所示，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平成30o夹角的倾斜平面向上运动，试求容器中水面的倾角，并分析p与水深的关系。
解：根据压强平衡微分方程式：图2-15单位质量力：在液面上为大气压强，代入由压强平衡微分方程式，得：p与水深成正比。
例3：求等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。
解:。