二、流体静力学
流体力学第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
由曲线积分
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
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C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
d U ( x ,y ,z ) X d x Y d y Z d z
dUUdxUdyUdz x y z
这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面 自北向南吹的风称为贸易风。
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C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
2.2 流体平衡微分p 0方程z
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c g c z
x
h2
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C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
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C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
第二章 流体静力学
表面力具有传递性
3
工程流体力学
二、静压力的两个重要特性
• 流体静止时，τ=0；只能承受压应力，即 压强，其方向与作用面垂直，并指向流体 内部。
• 特性1（方向性）：平衡流体中的应力 p⊥→受压面。
• 特性2（大小性）：平衡流体内任一点的压 强p与作用方位无关,即 p =f(x,y,z)。
4
工程流体力学
工程流体力学
第二章 流体静力学
流体静力学是研究流体在静止状态下的 力学规律，包括压强的分布规律和固体壁面 所受到的液体总压力。
1
工程流体力学
第一节 流体静压力及其特性
一、流体静压力：
1、总压力P ：静止流体与容器壁之间、内部相邻 两部分流体之间的作用力。单位“牛”
2、静压力：单位面积上的总压力。即压强。
26
工程流体力学
（1）、测压管
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃 管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上 端开口与大气相通，如图所示。
测压管只适用于测量较小的压强， 一般不超过19.6MPa，相当于 2mH2O。如果被测压强较高，则 需加长测压管的长度，使用就很不 方便。此外，测压管中的工作介质 就是被测容器中的流体，所以测压 管只能用于测量液体的压强。
例2-6、油罐深度测定，如图所示。已知h1=60cm， △h1=25cm， △h2=30cm，油的相对密度d油=0.9。求h2。
解析：这是由三个以上的容器组成的连通器
1、找出共有等压面。n-n , m-m
2、以A点为计算起点，B点为计算终点，
计算路线如图箭头所示。
3、列连通器平衡方程
n
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
第二章 流体静力学
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
第二章-流体静力学
第⼆章-流体静⼒学⼀、学习导引1、流体静⽌的⼀般⽅程（1）流体静⽌微分⽅程x p f x ??=ρ1，y p f y ??=ρ1，zpf z ??=ρ1 （2）压强微分)(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ（3）等压⾯微分⽅程0=++dz f dy f dx f z y x2、液体的压强分布重⼒场中，液体的位置⽔头与压强⽔头之和等于常数，即C pz =+γ如果液⾯的压强为0p ，则液⾯下深度为h 处的压强为h p p γ+=03、固体壁⾯受到的静⽌液体的总压⼒物体受到的⼤⽓压的合⼒为0。
计算静⽌液体对物⾯的总压⼒时，只需考虑⼤⽓压强的作⽤。
（1）平⾯壁总压⼒：A h P c γ= 压⼒中⼼Ay J y y c cc D += 式中，坐标y 从液⾯起算；下标D 表⽰合⼒作⽤点；C 表⽰形⼼。
（2）曲⾯壁总压⼒：222z y x F F F F ++=分⼒：x xc x A h F γ=，y yc y A h F γ=，V F z γ=4、难点分析（1）连通器内不同液体的压强传递流体静⼒学基本⽅程式的两种表达形式为C pz =+γ和h p p γ+=0。
需要注意的是这两个公式只适⽤于同⼀液体，如果连通器⾥⾯由若⼲种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。
（2）平⾯壁的压⼒中⼼压⼒中⼼的坐标可按式Ay J y y c cc D +=计算，⾯积惯性矩c J 可查表，计算⼀般较为复杂。
求压⼒中⼼的⽬的是求合⼒矩，如果⽤积分法，计算往往还简便些。
（3）复杂曲⾯的压⼒体压⼒体是这样⼀部分空间体积：即以受压曲⾯为底，过受压曲⾯的周界，向相对压强为零的⾯或其延伸⾯引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的⾯或其延伸⾯上的投影⾯为顶所围成的空间体积。
压⼒体内不⼀定有液体。
正确绘制压⼒体，可以很⽅便地算出铅垂⽅向的总压⼒。
（4）旋转容器内液体的相对静⽌液体随容器作等⾓速度旋转时，压强分布及⾃由⾯的⽅程式为c z gr p +-=)2(22ωγc gr z +=2220ω恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。
2 流体静力学
2 U形水银测压计 当被测点压强很大时，所需测压管很长，这时可以
改用U形水银测压计。
在U形管内，水银面N-N为等压面，p1=p2。 对测压计右支 对测压计左支 A点的绝对压强 A点的相对压强 式中， 与m分别为水和水银的密度。
3 差压计 差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器
内各盛一种介质，其密度分别为 A和 。B 因c-c面是等压面，于是
pA AghA pB B ghB m gh pA pB m gh B ghB AghA hA s hB h
hA h hB s pA pB (m A )gh (B A )ghB Ags
流体静压强基本特性
特性一：静止流体只能承受压应力，压强的方向垂直并指向作用面。
用反证法来证明此特性： 取一块处于静止状态的流
体，若作用面AB上的应力p’ 的方向向外且不垂直于AB， 则可分解成法向应力pn和切向
应力 。
1）若存在 ，必然有流动，这与静止的前提不符， 0。 2）流体不能承受拉力，因此 p的方向必然是内法线方向，如图中的 p。
3
静压力与静压强
静压力：在平衡流体内部相邻两部分之间相互作用的力 或流体对固体壁面的作用力称为压力，常以字母F表示。
静压力：取微小面积A ，令作用于A 的静压力为FP，则
单位面积所受的平均静水压力为 p FP /。A
静压强： p lim FP A0 A
静压力FP的单位：牛顿(N)； 静压强 p 的单位：牛顿/米2(N/m2)，又称为“帕”(Pa)。
代入平衡微分方程
dp ( fxdx f ydy fzdz)
p0
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流体静力学
2－1 如图2-37所示，两互相隔开的密封容器，压强表A的读数为
4
10
7.2⨯Pa，真空表B的
读数为
4
10
9.2⨯Pa，求连接两容器的U形管测压计中两水银柱的液面差h为多少？[0.42m]
2－2 如图2-38所示，一直立的煤气管，为求管中煤气的密度，在高度差H=20m的两个断
面上安装U形管测压计，其内工作液体为水。
已知管外空气的密度
=
a
ρ
1.28kg/m3，测压计读
数
100
1
=
h
mm，
115
2
=
h
mm。
若忽略U形管测压计中空气密度的影响，试求煤气管中煤气
的密度。
[0.53 m3/kg]
2－3 如图2－39，用U形管测压计测量压力水管中A点的压强，U形管中工作液体为水银，
若
=
1
h
800mm，
=
2
h
900mm，大气压强
=
a
p
101325Pa，求图中A点的绝对压强。
[212 .0kPa]
2－4 如图2－40所示，用U 形管测量一容器中气体的绝对压强和真空，U 形管中工作液体为四氯化碳，其密度＝ρ1594kg/m 3
，液面差=∆h 900mm ，求容器内气体的真空和绝对压强。
[14.07 kPa ；84.0 kPa]
2－5 如图2－41所示，用U 形管测压计测量管道A 、B 中的压强差，若A 管中的压强为510744.2⨯Pa ，B 管中的压强为510372.1⨯ Pa ，试确定U 形管中两液面的高度差h 为多少。
[1.3m]
2－6 如图2－42所示，U 形管测压计和容器A 连接，若各点的相对位置尺寸25.01=h m ，=2h 1.61m ，13=h m ，试求容器中水的绝对压强和真空。
[33.31 kPa ；68.0 kPa]
图2－43 图2－44
2－7 如图2－43所示，盛有油和水的圆形容器顶盖上有F ＝5788N 的载荷，已知
=1h 30cm ，2h =50cm ，d =0.4m 。
油的密度oi ρ=800 kg/m 3，水银的密度Hg ρ=13600 kg/m 3，试求U 形管中水银柱的高度差H 。
[0.4m]
2－8 如图2－44 所示，两U 形管测压计和一密封容器连接，各个液面之间的相对位置尺寸分别为：1h =60cm ，2h =25cm ，3h =30cm ，试求下面的U 形管左管中水银液面距容器中自由液面的距离4h 为多少。
[1.28m]
2－24 把2－23题中的平板AB和水平面成450角放置水下图2－58中的
CD位置上，试求水作用在平板上的总压力和总压力作用点的位置。
[19.47kN；
2.584m]
2－25 如图2－59所示，一铰链固定的倾斜式自动开启的水闸，水闸和水
平面的夹角为
60，当水闸一侧的水位H＝2m，另一侧水位h＝0.4m时，闸门
自动开启，试求铰链至闸门下端的距离x。
[0.8m]
2－27 试画出图2－60中曲面AB所受液体总压力的垂直分力对应的压力体，并标出垂直分力的方向。
2－28 一扇形闸门如图2－61所示，圆心角α＝450，闸门右侧水深H＝3m，求每米闸门所承受的静水总压力及其方向。
[44.575kN；73032‘] 2－29 一球形盛水容器如图2－62所示，下半球固定，上半球用螺栓和下半球固定在一起，球体的直径d＝2m，试求上半球体作用于螺栓上的力。
[10.624kN]
2－30 一贮水设备如图2－63所示，在C点测得绝对压强p
＝196120 Pa，
h＝1m，R＝1m，求作用于半球AB上的总压力。
[256.72kN]
2－31 如图2－64所示，盛水容器的底部有一圆形孔口，用重G＝2.452N、半径r＝4cm的球体封闭，孔口的直径d＝5cm，水深H＝20cm，试求提起该球所需的最小力F。
[3.762N]。