流体力学 第二章 流体静力学

第二章 流体静力学1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。

根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。

2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。

① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。

② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

共同点：不体现粘性，无切应力3º 适用范围：理想流体、实际流体4º 主要内容：流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点）等压面方程（测压计）作用于平面和曲面上的力（难点）重力压力重力压力重力直线惯性力压力重力离心惯性力压力质量力质量力第一节 流体静压强及其特性一、 基本概念1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。

p设微小面积A ∆上的总压力为P ∆，则 平均静压强：A P p ∆∆= 点静压强：A P p A ∆∆=→∆lim 0即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。

单位：N/m 2 (Pa)2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。

P单位：N (牛)3、流体静压强单位：国际单位：N/m 2＝Pa物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2工程单位：kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m 水柱1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m 水柱二、 流体静压强特性1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。

（垂直并指向作用面）证明： 反证法证明之。

有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。

设切割面上任一点m 处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为n p 和切应力τ。

而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。

所以静压强p 的方向只能是沿着作用面内法线方向。

2、 静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即p 只是位置的函数p =p ( x , y , z ) ——大小特性。

（各向相等）证明思路：1、选取研究对象（微元体）2、受力分析（质量力与表面力）3、导出关系式∑=0F 4、得出结论1、选取研究对象（微元体）从静止流体中取出一微小四面体OABC ，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为dx 、dy 、dz ，设x p 、y p 、z p 、n p （n 方向是任意的）分别表示作用在∆OAC 、∆OBC 、∆OAB 、∆ABC 表面上的静压强，n p 与x 、y 、z 轴的夹角为α、β、γ。

2、受力分析（质量力与表面力）流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。

（1）表面力表面力与作用面的面积成正比。

作用在∆OAC 、∆OBC 、∆OAB 、∆ABC 面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）（2）质量力质量力与微元体的体积成正比。

四面体的体积：dxdydz V OABC 61= 四面体的质量：dxdydz M ρ61=设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X 、Y 、Z ，则质量力F 在坐标轴方向的分量是：3、导出关系式 ∑=0F因流体微团平衡，据平衡条件，其各方向作用力之和均为零。

则在x 方向上，有： 将上面各表面力、质量力表达式代入后得又αcos ⋅dA 即为∆ABC 在yoz 平面上的投影面积，则当dx 、dy 、dz 趋于零时也就是四面体缩小到o 成为一个质点时，有：同理： n y p p =即： n z y x p p p p ===4、得出结论因n 方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。

在连续介质中，p 仅是位置坐标的连续函数p =p( x , y , z ).说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。

如：同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。

呈什么关系？＝》第二节中讨论第二节 流体平衡微分方程式一、方程式的建立它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。

● 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程。

● 方法：微元分析法。

在流场中取微小六面体，其边长为dx 、dy 、dz ，然后进行受力分析，列平衡方程。

以x 轴方向为例，如图所示1、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，dx 、dy 、dz → 0微元体中心：A(x, y, z)A 1点坐标： A 1(x-dx/2，y ，z)A 2点坐标： A 2(x+dx/2，y ，z)2、受力分析（1）表面力设A 处压强： p (x ，y ，z)因压强分布是坐标的连续函数，则A 1点、A 2点的压强p 1、p 2可按泰勒级数展开， 略去二阶以上无穷小量，得到A 1、A 2处的压强分别为：则表面力在x 方向的合力为：（2）质量力微元体质量：M ＝ρdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在x 方向上的分量为X 。

则质量力在x 方向的合力为：X ·ρdxdydz3、导出关系式：对微元体应用平衡条件∑=0F ，则4、结论：同理，在y 和z 方向可求得： 01=∂∂-z p Z ρ （Ⅰ）——欧拉平衡微分方程式X 、Y 、Z ——单位质量力在x 、y 、z 轴方向的分量x p ∂∂-ρ1、y p ∂∂-ρ1、z p ∂∂-ρ1单位质量流体所受的表面力在x 、y 、z 轴方向上的分量 说明：（1） 公式的物理意义：平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。

（2）公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。

二、方程的积分（压强分布公式）1、利用Euler 平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler 方程分别乘以dx ，dy ，dz ，然后相加，得)(Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x p ++=∂∂+∂∂+∂∂ρ （1）因为 p ＝p （x ，y ，z ），所以上式等号左边为压强p 的全微分dp ，则上式可写为（Ⅱ）2、势函数（力函数） 对于不可压缩流体：ρ＝const 因为Ⅱ式左边是压强p 的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U (x,y,z )的全微分，即：又因为 dz z U dy y U dx x U dU ∂∂+∂∂+∂∂=则有 （Ⅲ） 该函数 U (x,y,z ) 称为势函数。

显然， U (x,y,z )在 x ，y ，z 方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。

因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。

把 dz z U dy y U dx x U dU ∂∂+∂∂+∂∂=代入Ⅱ式得所以 C U p +=ρ令 p ＝p 0时，U ＝U 0 ， 则 C ＝p 0－ρU 0()00U U p p -+=ρ （Ⅳ）——帕斯卡（Pascal ）定律：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。

三、等压面1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。

（p ＝const ）2、方程：由Ⅱ式 )(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ由 p ＝const → dp ＝0得 3、 等压面性质① 等压面就是等势面。

因为 dU dp ρ= 。

② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。

证明：沿等压面移动无穷小距离dz k dy j dx i L d++=则由空间解析几何：单位质量力做的功应为所以，质量力与等压面相垂直。

③ 等压面不能相交相交 → 一点有2个压强值：错误④ 绝对静止流体的等压面是水平面X ＝Y ＝0，Z ＝－g + 性质②⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点A 、B ，两点间势差为dU ，压差为dp 。

因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有：dp ＝ ρ1 dU 且 dp ＝ ρ2 dU因为 ρ1≠ ρ2≠0所以 只有当dp 、 dU 均为零时，方程才成立。

说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。

第三节 重力作用下的流体平衡本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态。

一、静力学基本方程式1、坐标系的原点选在自由面上，z 轴垂直向上，液面上的压强为p 0，则X ＝0，Y ＝0，Z ＝－g代入公式： （1）得： dz dz g dp γρ-=-=)(（2）对于不可压缩流体(公式使用条件之一)，γ＝const ，积分（2）式得：（3）——静力学基本方程形式之一2、由（3）式得 C z p '+-=γ代入边界条件：z ＝0时，p ＝p 0则 p 0＝C’所以 z p p γ-=0 （4）令 -z ＝h （点在液面以下的深度h ）则（5） ——静力学基本方程形式之二。

3、说明：（1）适用条件：静止、不可压缩流体。

（2）静止流体中任一点的压强p 由两部分组成，即液面压强p 0与该点到液面间单位面积上的液柱重量h γ。

推广：已知某点压强求任一点压强（3） 静止流体中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。

大小：静力学基本方程式方向：垂直并且指向作用面（特性一）例题：（4） 同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。

连通器：二、几种压强的表示（基准不同）1、绝对压强： p 绝是以绝对真空为零点而计量的压强。

2、相对压强（表压）：p 相 或 p 表是以当地大气压为零点而计量的压强。

3、真空压强（真空度）： p v 或p 真当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。

注：① 只有当0<表p 时，才用真空度的概念② 气体的压强都是绝对压强③ 尽可能用表压：p a 在液体内部等值传递的三、压强的度量1、应力单位： Pa ， Kgf/cm 2（即at ），dyn/cm 22、大气压单位：1atm ＝760mmHg ＝1.0336 Kgf/cm 2= 10.336mH 2O=1.013×105N/m 2 1at ＝735mmHg ＝1 Kgf/cm 2＝9.8×104Pa ＝10mH 2O=9.8×104Pa3、 液柱高单位：mmHg ，mH 2O四、静力学基本方程式的意义1、 几何意义z ——位置水头：该点到基准面的高度。

γp——压力水头:该点压强的液柱高度。

γpz + ——测压管水头：为一常量静止流体中各点的测压管水头是一个常数。