利用MATLAB进行复变函数的主要运算
matlab 复变函数
matlab 复变函数一、介绍MATLAB是一个非常强大的数学软件，可以处理各种复杂的数学问题，包括复变函数。
复变函数是一种在复平面上定义的函数，它可以用来描述许多物理和工程现象。
因此，MATLAB提供了许多功能强大的工具来处理和分析复变函数。
二、基本概念1. 复平面复平面是由实部和虚部组成的平面。
在MATLAB中，可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。
其中x表示实部，y表示虚部。
2. 复变函数复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。
在MATLAB中，可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。
3. 解析性解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。
如果一个函数在某个点处存在导数，则称该点为解析点。
4. 共轭共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 模长模长是指一个复数到原点距离。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
三、常用操作1. 绘制图形绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB 中，可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。
2. 计算导数计算导数是分析复变函数的重要操作之一。
在MATLAB中，可以使用diff函数来计算复变函数的导数。
3. 计算积分计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用integral函数来计算复变函数的积分。
4. 计算共轭计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。
在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 计算模长计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
四、常用工具箱1. Symbolic Math ToolboxSymbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。
它提供了许多功能强大的工具来处理和分析符号表达式。
MATLAB学习（4）——复数及其运算
MATLAB学习（4）——复数及其运算MATLAB学习(4)——复数及其运算复数及其运算A)复数的表⽰(1).x=a+bi,其中a称为实部，b称为虚部(2)或写成复指数的形式：x=re^(iθ)其中r称为复数的模，⼜记为 |x| ；θ称为复数的幅度，⼜记为Arg(x) 。
且满⾜r=√(a^2+b^2) ,tanθ=b/a第⼀种⽅式适合处理复数的代数运算，第⼆种⽅式适合处理复数旋转等涉及幅⾓改变的问题复数的构造：(1)直接构造法将复数看做完整的表达式输⼊例：x1=-1+i%实部虚部形式x2=sqrt(2)*exp(i*(3*pi/4))%复指数形式(2)符号函数构造法将复数看做函数形式，将实部和虚部看做⾃变量，⽤syms来构造，⽤subs对符号函数中的⾃变量赋值例:syms a b real%声明a b为实数型x3=a+b*i%实部虚部形式复数的符号表达subs(x3,{a,b},{-1,1})%代⼊具体值syms r ct real;%声明r ct为实数型x4=r*exp(ct*i);%复指数形式复数的符号表达subs(x4,{r,ct},{sqrt(2),3*pi/4})%代⼊具体值以上例⼦中复数均为 -1+1i复数矩阵的构造：(1)由复数元素构造例：a1=[sqrt(2)*exp((pi/4)*i) 1+2i 1+3i;sqrt(2)*exp((-pi/4)*i) 1-2i 1-3i](2)由实矩阵构造例:a2re=[1 1 1;1 1 1];%实部实矩阵a2im=[1 2 3;-1 -2 -3];%虚部实矩阵a2=a2re+a2im*i%由实矩阵构造以上两例中的复数矩阵均为1.0000 + 1.0000i 1.0000 +2.0000i 1.0000 +3.0000i1.0000 - 1.0000i 1.0000 -2.0000i 1.0000 -3.0000iB)复数的绘图(1)直⾓坐标图plot函数(2)极坐标图Polar函数调⽤格式：polar(theta,rho)其中theta为极坐标极值,rho为极坐标⽮径例：做出y=t+i*rsin(t) 的坐标图t=0:0.01:2*pi;y=t+i*t.*sin(t); %直⾓坐标表⽰r=abs(y);delta=angle(y);%极坐标表⽰subplot(2,1,1)plot(y)%绘制直⾓坐标图title('直⾓坐标图');subplot(2,1,2)polar(delta,r)%绘制极坐标图title('极坐标图')C)复数的操作函数常⽤矩阵分解函数转⾃博客：。
Matlab中的复数运算基础教程
Matlab中的复数运算基础教程引言：在科学计算和工程领域中，复数运算是一项非常重要的技术。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了灵活而高效的复数运算工具。
本文将介绍Matlab中的复数运算基础知识，涵盖了复数的表示、基本运算、共轭和幅角的计算等。
1. 复数的表示复数是由实数和虚数组成的数。
在Matlab中，复数可以用a + bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部。
例如，3 + 2i就是一个复数。
在Matlab中，可以直接输入复数，例如：z = 3 + 2i;这样就定义了一个复数变量z。
2. 基本运算Matlab中的复数运算基本与实数一致。
支持加法、减法、乘法和除法等运算。
例如，可以使用"+"运算符计算两个复数的和：z1 = 3 + 2i;z2 = 1 + 4i;z = z1 + z2;这样，z的值将是4 + 6i。
3. 共轭运算在复数运算中，共轭运算是一个重要的概念。
复数的共轭是将虚部的符号取反得到的结果。
在Matlab中，可以使用conj函数对复数进行共轭运算。
例如：z = 3 + 2i;w = conj(z);这样，w的值将是3 - 2i。
4. 幅角运算在复数的表示中，幅角是指复数与正实轴之间的夹角。
在Matlab中，可以使用angle函数计算复数的幅角。
angle函数的结果以弧度形式表示。
例如：z = 3 + 2i;theta = angle(z);这样，theta的值将是0.5880弧度。
5. 赋值运算在进行复数运算时，经常需要将结果赋值给一个变量。
在Matlab中，可以使用等号将计算结果赋值给一个变量。
例如：z1 = 3 + 2i;z2 = 1 + 4i;z = z1 + z2;在这个例子中，z1和z2分别是两个复数，将它们相加的结果赋值给z。
6. 数值计算与绘图Matlab中的复数运算不仅支持基本的数值计算，还能与绘图功能结合。
通过使用plot函数和复数运算，可以绘制出复平面上的曲线。
matlab在复变函数中的应用
matlab在复变函数中的应用
Matlab 可以用来解决复变函数的典型问题，包括离散傅里叶变换，谱图比较，滤波器设计，系统的频率响应及系统建模等。
下面介绍几个可以使用Matlab对复变函数执行分析的典型功能：
（1）离散傅里叶变换(DFT)
使用Matlab的fft()函数可以计算傅立叶变换，从而研究信号的频率成分。
（2）谱图比较
使用Matlab的fft2()函数可以比较两个信号在频域上的区别，从而研究信号的特性。
（3）滤波器设计
使用Matlab的filter()函数可以实现几种不同的滤波器类型，这些滤波器可以用来削弱或去除某些特性的运动员。
（4）系统的频率响应
使用Matlab的freqz()函数可以计算系统的频率响应，从而研究系统的行为特性。
（5）系统建模
使用Matlab的sysfir()函数可以构建基于频率响应的系统模型，从而调整系统的参数来优化系统性能。
总之，Matlab能够帮助完成复变函数Ada Fourier变换和谱图比较，滤波器设计，系统的频率响应及系统建模等功能，是复变函数分析的有力工具。
Matlab在复变函数中应用
第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换）。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中，产生复数的方法有两种：1.由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2.由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种：1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章）2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式：real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则：1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式：Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置，可用Z .’或conj (Z’)。
第9章Matlab在复变函数中应用
第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换）。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中，产生复数的方法有两种：1.由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ；2.由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种：1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章）2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式：real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则：1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式：Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z 的非共轭转置，可用Z .’或conj (Z ’)。
用matlab计算复变函数的积分
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4
例3
解析推导
Matlab计算
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例4
解析推导
matlab计算 n为0时 结果为2πi
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n为其它整数时，结果为零
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例5
解析推导
Matlab计算
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例6
解析推导 Matlab计算（参数积分）
Matlab计算（留数定理）
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例6
也可用matlab的 residue函数 求留数
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例10
解析推导结合Matlab求留数(用limit和diff函数，或用residue函数)
Matlab计算(参数积分)
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例11
方法一：用matlab求留数和极点，再通过留数求和计算积分
方法二：用matlab直接积分
在复平面上选取实轴和上半圆弧作为
闭合围道，包围的极点为 i 和 3i， 由于在上半圆弧上的积分为零，因此
当t= -3时做积分
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例13
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例14
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用matlab协助 求留数：
若把它当作更高阶极点对待求留数，结果一样
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用matlab验证这个级数求和，结果一致
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例15
先来计算 这部分积分
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用matlab计算复变函数的积分
张宏浩
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1
例1
MATLAB在复变函数中的应用
1 1）求函数(z 1)(z 2)在点
2）求函数 cos z 在 一、
点的泰勒展式（五次幂多项式近似）
z0 0 点的泰勒展式（五次幂多项式近似）
1 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角分别是：0.5000、-0.5000、0.5000 1i
+ 0.5000i、0.7071、-0.7854
1i 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角分别是：0、-1.0000、0.0000 + 1i
实 1.0000i、1.0000、-1.5708 验 结 二、方程所有的根为：2^(1/2)*(1/2 + i/2)、2^(1/2)*(1/2 - i/2)、 果
2^(1/2)*(- 1/2 + i/2)、2^(1/2)*(- 1/2 - i/2) 三、Res[f(z),1]=3; Res[f(z),0]=2 四、Res[f(z),2]=1; Res[f(z),1]=-1 由留数定理知
实 验 总 结
总分：
实 验 成 绩 评 定
1.实验报告格式排版 2.实验设计思路(科学性、可行性、创新性) 3.实验代码编写(规范性、正确性、复杂性) 4.实验结果分析(正 码
一、>> a=[1/(1+i),(1-i)/(1+i)] a =0.5000 - 0.5000i 0.0000 - 1.0000i >> real(a) ans =0.5000 0 >> imag(a) ans =0.5000 -1.0000 >> conj(a) ans =0.5000 + 0.5000i 0.0000 + 1.0000i >> abs(a) ans =0.7071 1.0000 >> angle(a) ans =-0.7854 -1.5708 二、>> solve('x^4+1=0') ans =2^(1/2)*(1/2 + i/2) 2^(1/2)*(1/2 - i/2) 2^(1/2)*(- 1/2 + i/2) 2^(1/2)*(- 1/2 - i/2) 三、>> [r,p,k]=residue([5,-2],[1,-1,0]) r= 3 2 p= 1 0 k = [] 四、>> [r,p,k]=residue([1],[1,-3,2]) r = 1 -1 p=2 1 k = [] 五、1、>> syms x >> taylor(1/(x^2-3*x+2)) ans =(63*x^5)/64 + (31*x^4)/32 + (15*x^3)/16 + (7*x^2)/8 + (3*x)/4 + 1/2 2、>> syms x >> taylor(cos(x)) ans =x^4/24 - x^2/2 + 1 通过本次试验，我对复变函数在 matlab 中的应用有了一定的了解，学习到了复 变函数在 matlab 中的算法的结构以及基本的字符的表示。学习到了留数在 matlab 中 的代码的表示以及对留数的概念有了更加深入的了解。意识到 Matlab 软件和数学分 析多元微分学的结合利于实践学习。深刻了解到复变函数问题在数学软件中的应 用。通过练习更加熟练了这个软件，从中学到了很多知识。 评分小项 分值 10 分 30 分 30 分 20 分 10 分 得分
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利用MATLAB进行复变函数的主要运算
摘要
复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.
本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.
关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换
1.复数的生成：
Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta);
2.复数的运算：
Real（z）imag（z）；
3．共轭复数
复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角
复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角
5．复数的乘除法
复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。
6．复数的平方根
复数的平方根运算由函数sqrt实现。
调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。
7．复数的幂运算
复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。
8.复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。
9．复数方程求根
复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。
10.留数
在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数
Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数
Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数
11. taylor 泰勒级数展开
taylor( f )返回f 函数的五次幂多项式近似。
此功能函数可有3个附加参数。
taylor( f , n) 返回 1-n 次幂多项式。
taylor( f , a) 返回 a 点附近的幂多项式近似。
taylor(r, x) 使用独立变量代替函数 findsym( f )。
12. Fourier 变换
Fourie 积分变换 F=fourier(f)返回以默认独立变量x 对符号函数f 的 Fourier 变换，默认返回 w 的 函数。
如果 f (w)=f ，则 fourier 函数返回 t 的函数 F=F(t) 。
定义 F( w )int(f( x inf,inf),-i *w* x), x,-)*exp( 为对 x 的积分。
=13 F fourier ( f ,v) 以 v 代替默认值 w 的 Fourier 变换，且有 fourier ( f ,v) 等价于 F ( v) = int inf,inf)。
13. Laplace 变换
Laplace 变换 laplace(F)=L 返回以默认独立变量 T 对符号函数 F 的 Laplace 变换。
函数 返回默认为 s 的函数。
如果 F(s)=F ，则 Laplace 函数返回 t 的函数 L(t)=L 。
其中定义 L 为 对 t 的积分 t), 0, inf) 。
*s -exp(* int(F(t)=L(s)
laplace(F, t)=L 以 t 代 替 s 的 Laplace 变 换 。
laplace(F, t) 等价于 x), 0, inf ) 。
*t -exp(* int(F(x)=L(t) laplace(F, w, z)=L 以 z 代替 s 的 Laplace 变换相对于 w 的积分）。
laplace(F, w, z) 等价于 w), 0, inf) 。
*z -exp(* int(F(w)=L(z)
14. 复变函数图形绘制
设有z=x+iy ,w = f(z) =u(x,y) + iv(x,y).所学知识可知绘制复变函数的图形，需要四维空间才能满足.为了避免这一困难，借用两张复平面：z 平面与w 平面点集间的对应关系来来描述复变函数.
做圆周z =5在
映射5
3z z +
=ω下的象.。