matlab复变函数画图形

matlab复变函数画图形第四篇计算机仿真第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的,本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换,21.1 复数运算和复变函数的图形21.1.1 复数的基本运算1复数的生成复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成创建复矩阵有两种方法((1)一般方法例 21.1.1创建复矩阵的一般方法(【解】仿真程序为A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)]%运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i,说明: %后为注释语句,不需输入)(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵【解】仿真程序为re=rand(3,2);im=rand(3,2);com=re+i*im%运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算1 复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下:real(z) 返回复数 z 的实部;imag(z) 返回复数 z 的虚部.2 共轭复数复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数.3 复数的模与辐角复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为:abs(z) 返回复数 z 的模;angle(z) 返回复数 z 的辐角.例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)(【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i]%a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 -3.0000ireal(a)%ans = 0.2308 1.5000 -3.5000 1.0000(注明:凡ans 及其后面的内容均不需输入,它是前面语句的答案,本句ans 是real(a)的答案)imag(a)%ans = -0.1538 -2.5000 -13.0000 -3.0000conj(a)%ans =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 1.0000 + 3.0000iabs(a)%ans = 0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle(a)ans =-0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.2490 %4 复数的乘除法复数的乘除法运算由“*”和“/”实现(5 复数的平方根复数的平方根运算由函数 sqrt 实现(调用形式如下:sqrt(z) 返回复数 z 的平方根值6 复数的幂运算复数的幂运算的形式是 z^n，结果返回复数 z 的 n 次幂( 7 复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数 exp 和log实现(调用形式如下:exp(z) 返回复数 z 的以 e 为底的指数值;log(z) 返回复数 z 的以 e 为底的对数值. 例21.1.2 求下列式的值(πi2ln(,10)e(1); (2)(【解】log(-10)%ans= 2.3026 + 3.1416iexp(pi/2* i)%ans =0.0000+ 1.0000i 21.1.3 复变函数的图形1.整幂函数的图形 2z 例 21.1.6 绘出幂函数的图形. 【解】 z=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^2);colorbar('vert');title('z^2')%(如图21.1所示)2z图21.1 复变函数的图形2. 根式函数的图形12z 例 21.1.7 绘出幂函数的图形【解】 z=cplxgrid(30);cplxroot(2);colorbar('vert');title('z^{1/2}' ) %(如图21.2).12 z图21.2 复变函数的图形3. 复变函数中对数函数的图形Lnz例 21.1.3 绘出对数函数的图形.【解】z=cplxgrid(20);w=log(z);for k=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));hold ontitle('Lnz')endLnz图21.3 对数函数 view(-75,30) %(如图21.3)例 21.1.4 计算机仿真编程实践:nzkn (1,2,,),,,,n,2kz,,10若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式n1,0,,nk,1()zz,km,m,1mk(),成立.【解】仿真程序n=round(1000*random('beta',1,1))+1% n=input('please enter n=')su=1;sum=0;for s=1:nN(s)=exp(i*2*s*pi/n);endfor k=1:nfor s=1:nif s~=ksu=1/(N(k)-N(s))*su;endendsum=sum+su;su=1;endsum%仿真验证结果为:n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i其中n的值为随机产生的整数，可见其和的实部和虚部均接近于零。

另一篇:matlab表现复变函数(四维)的方法是用三维空间坐标再加上颜色，类似于地球仪用颜色表示海洋与高山。

单值函数:单叶多值函数:多叶matlab使用下列函数进行复变函数的做图:cplxgrid:构建一个极坐标的复数数据网格z=cplxgrid(m); %产生(m+1)*(2*m+1)的极坐标下的复数数据网格。

最大半径为1的圆面 cplxmap:对复变函数做图cplxmap(z,f(z),[optional bound]) %画复变函数的图形，可选项用以选择函数的做图范围 cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部cplxroot:画复数的n次函数曲面cplxroot(n) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面cplxroot(n,m) %画复数n次根的函数曲面,复数为最大半径为1的圆面,为(m+1)*(2m+1)的方阵例1:画复数z^3的图形z=3*cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^3);colorbar其结果如图可见，自变量z的取值在水平面的半径小于3的园内。

cplxmap做图时，以xy平面表示自变量所在的复平面，以z轴表示复变函数的实部，颜色表示复变函数的虚部由于函数为单页的，所以函数是单值的例2:画复数(z-0.5)^0.5的图形仿照cplxroot函数的程序，编程如下m=20;n=2;r=(0:m)'/m;theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5;w1=z.^(1/n);subplot(2,2,1),surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); colorbar w2=w1.*exp(i*2*pi/n);subplot(2,2,2),surf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar subplot(2,1,2)surf(real(z),imag(z),real(w1),imag(w1)); hold onsurf(real(z),imag(z),real(w2),imag(w2)); colorbar如果仅使用 w1=z.^(1/n);，则所得结果为图(2，2，1)可见，对于多值函数，MATLAB仅仅是对其主值进行计算。

例3:复变函数1/(1-z)的级数展开复变函数1/(1-z)是级数展开中常用的一个函数。

当abs(z)<1时，它的泰勒展开式为1/(1-z)=求和(k=0,+无穷)z^k当abs(z)>1时，它的罗朗展开式为1/(1-z)=求和(k=-无穷,-1)z^k泰勒展开与罗朗展开的区别在复变函数里面,一些函数无法被展开为泰勒级数,因为那里存在一些奇点。

但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数,这就是洛朗级数.从形式上看,泰勒级数是只含正幂项和常数项.洛朗级数不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。

有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。

可以认为泰勒级数是洛朗级数的一种特殊形式m=30;r=2*(0:m)'/m;theta=pi*(-m:m)/m; z=r*exp(i*theta)-0.5; z(find(z==1))=nan; z1=z;z1(abs(z1)>=1)=nan; w1=1;u1=1;for k=1:100u1=u1.*z1;w1=u1+w1;endsubplot(2,2,1)cplxmap(z1,w1)colorbarz2=z;z2(abs(z2)<=1)=nan; w2=1./z2;u2=1./z2; for k=1:100u2=u2./z2;w2=u2+w2;endsubplot(2,2,2)cplxmap(z2,-w2)colorbarsubplot(2,2,3)cplxmap(z,1./(1-z))colorbartemp1=caxis;subplot(2,2,4)cplxmap(z1,w1)hold oncplxmap(z2,-w2)caxis(temp1)axis([min(min(real(z))),max(max(real(z))),min(min(imag(z))),max(max( imag(z))),min(min(real(1./(1-z)))),max(max(real(1./(1-z))))]) colorbar图(2，2，1)为泰勒展开，图(2，2，2)为罗朗展开图(2，2，3)为matlab计算结果，图(2，2，4)为泰勒展开和罗朗展开的综合结果。