知识讲解_简单的逻辑联结词

1简单的逻辑联结词编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义;2.会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.【要点梳理】要点一、逻辑联结词“且”般地，用逻辑联结词“且”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作: P A q，读作：“ P且q ”。

规定：当P , q两命题有一个命题是假命题时，pAq是假命题;当P , q两命题都是真命题时，P八q是真命题。

要点诠释:P八q的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。

若开关P, q的闭合与断开分别对应命题P, q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pA q的真与假。

(2)与集合中的交集类比交集AnB={x|x迂AaX迂B}中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时可参考交集的概念。

要点二、逻辑联结词“或”般地，用逻辑联结词“或”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作：pvq ,读作：“ P或q ”。

规定：当P , q两命题有一个命题是真命题时，pvq是真命题;当P , q两命题都是假命题时，pvq是假命题。

要点诠释:pvq的真假判定的理解:(1)与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。

若开关P，q的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题的pV q的真与假。

(2)与集合中的并集类比并集AUB={X|X迂A或X迂B}中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时可参考并集的概念。

(3)“或”有三层含义，以“ P或q”为例:①P成立且q不成立;②P不成立但q成立;③P成立且q也成立。

要点三、逻辑联结词“非”般地，对一个命题P全盘否定得到一个新命题，记作：「P，读作：“非P或P的否定”。

规定：当P是真命题时，「P必定是假命题; 当P是假命题时，「P必定是真命题。

要点诠释:(1)逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。

(2)下面是一些常用词的否定:是等于属于有都是至少一个至多一个一定X=1 或x=2 x> 1 且X< 3不是不等于不属于没有不都是一个都没有至少两个一定不XM1且X丰2 xw 1 或X> 3(3)否命题与命题的否定之间的区别:否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题(否定二次)；命题的否定是只对原命题的结论做否定(否定一次) ，即「P.如:P 的否命题：若X 或1，则(x-1)(x +1)或0 •P 的否定即一^p :若 x=1，贝y (x-1)(x +1)：：^0 •“P 或q ”的否定“P 且q ”的否定要点四、简单命题与复合命题(1)定义:简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或” 、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。

(2)复合命题的构成形式:② P 且q ;记作：P A q③ 非P (即命题P 的否定)；记作：「P (3) 复合命题的真假判断要点诠释: 同时为假时，“P 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真” ； 同时为真时，“P 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假” 。

【典型例题】类型一：复合命题的构成例1 •指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题.(1) 菱形的对角线互相垂直平分; (2) 42不是无理数; (3) 6是12或18的约数.命题 p ：若 X =1，则(x-1)(x+1)=o •(4) “或”、“且” 联结的命题的否定形式:命题 命题 ① 当P 、q ② 当P 、q③ “非P ”与P 的真假相反.【解析】(1) P 且q 的形式，其中P :菱形的对角线互相垂直， q :菱形对角线互相平分;(2)非p 的形式，其中P : J 2是无理数;(3) P 或q 的形式，其中P : 6是12的约数，q : 6是18的约数.【总结升华】正确理解逻辑联结词 或”、’且”、’非”的含义是解题的关键。

根据上述 各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。

举一反三:【变式1】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题(1) 1是奇数或偶数; (2)梯形不是平行四边形; (3)2是偶数也是质数.【答案】例2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词或”、且”、非”，若含有，请指出其中q 的基本命题.(1) 正方形的对角线垂直相等;2是4和6的约数;不等式X 2—5x +6 >0的解集为｛xx >3或x c 2｝。

【解析】(1)是“ P 且q ”形式的命题，其中 P ：正方形的对角线互相垂直； q ：正方形的对角线相等.面上看它是否含有 或”、且”、非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结 词联结两个命题.举一反三:【高清课堂：简单的逻辑联结词 XXXXXX 例1】 【变式1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题:平行四边形的对角线互相平分,平行四边形的对角线相等; 集合A 是材B 的子集， 集合A 是AUB 的子集；X 2+1，(1) P 或q 的形式，其中 (2) 非P 的形式，其中P P : 1是奇数，q ： 1是偶数; :梯形是平行四边形；(3) P 且q 的形式，其中P : 2是偶数，q : 2是质数。

P 、(2)是“ P 且q ”形式的命题, 其中 P ： 2是4的约数；q : 2是6的约数.(3)是简单命题，而不是用“或” 联结的复合命题【总结升华】对于用逻辑联结词 或”、且”、非”联结的新命题的结构特点不能仅从字q : 3>4.【答案】(1) P A q ：平行四边形的对角线互相平分且相等； (2) pAq ：集合A 是 昭B 的子集，且是 A U B 的子集;2(3) P A q ： x +1 >1，且 3>4.P 且q : 3 <4且3=4 (假命题)，非 P (-■ P )： 3 <4，即 3 >4 (假命题).【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题, 最后判断复合命题的真假.举一反三：【变式】已知命题 P 、q ，试写出P 或q 、P 且q 、非p 的形式的命题并判断真假.(1) P :平行四边形的一组对边平行， q :平行四边形的一组对边相等【变式 2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。

(1)(3)李明是老师，赵山也是老师;1是合数或质数；他是运动员兼教练员；(1)这个命题是“P 且q 形式， 其中 P ：李明是老师， q ：赵山是老师。

(2)这个命题是“P 或q ” 形式， 其中 P ： 1是合数，q :1是质数。

(3)这个命题是“ P 且q形式， 其中 P ：他是运动员， q ：他是教练员。

(1) p ： 0={x|x 2v1}, q ： 0u{x|x 2v1}. (2) P : 3 c4 , q : 3 =4【解析】(1) P 或 q ： 0 ={x|x2<1}或 0 u{x|x 2 <1}，即 0 匸{x|x 2<1}(真命题)，2P 且 q ： 0 ={x| X <1} 2u{x|x <1}(假命题)，非 P (「P )： 0 齐{x x21(真命题)，(2) P 或 q : 3 v4或 3=4 , 即3 <4 (真命题)，【答例3.已知命题P 、 q ，写出P 或q 、 P 且q 、非P 的形式并判断真假。

(2) P : 2 - {135,7} , q : 2 - {2,4,6,8}⑶ p :1迂｛1,2｝, q:｛1｝u｛1,2｝【答案】（1）P或q :平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）P且q :平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）非P :平行四边形的一组对边不平行（假命题）。

（2）p或q : 2<：｛1,3,5,7｝或2<：｛2,4,6,8｝，即2亡｛1,2,3,4,5,6,7,8｝（真命题）p 且q : 2<^｛1,3,5,7｝且2亡｛2,4,6,8｝（假命题）非P : 2亨｛1,3,5,7｝（真命题）（3）P或q : 1€｛1,2｝或｛1｝u ｛1,2｝（真命题）P 且q ：1€｛1,2｝且｛1｝u｛1,2｝（真命题）非P ：1 7｛1,2｝（假命题）类型二：复合命题真假的判定例4. （2015湖南）已知命题P：若X>y,则—XV— y;命题q：若X>y,则X2>y2,在命题① pAq；②pV q;3pA （「q）; ® （「p） Vq 中，真命题是（）A .①③B.①④C.②③D.②④【答案】C.【解析】根据不等式的性质可知，若X>y,则—XV— y成立，即P为真命题，当x= 1, y=—1时，满足X> y,但X2>y2不成立，即命题q为假命题，则①pA q为假命题；②pV q 为真命题；③pA厂q）为真命题；④ 厂p） V q为假命题，故选：C.【总结升华】解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，命也就是由给出复合题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否.举一反三：【变式1】（2014 重庆文）已知命题：P：对任意x €R，总有凶为，q：x = 1是方程X+ 2 = 0的根；则下列命题为真命题的是（）A. P q B pAq C.「pA「q D . pAq【答案】根据绝对值的性质可知，对任意X €R，总有凶为成立，即P为真命题，当X = 1时，X + 2= 3却，即卩X = 1不是方程X+ 2= 0的根，即q为假命题，则pA「q,为真命题，故选：A.【变式2】已知命题P: 3> 3; q: 3> 4,则下列判断正确的是（A. pvq为真，pAq为真，「p为假【答案】C类型三：命题的否定与否命题写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假P :在整数范围内， a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数 P :若 x>0 且 y>0，贝y x + y>0 .【解析】（1） 「p :在整数范围内，a 、b 都是偶数，则a+b 不是偶数（假命题）；P 的否命题是：在整数范围内，若a 、b 不都是偶数，则a+b 不是偶数（假命题）；(2) -p :若 x>0 且 y>0，贝y x + yc0 (假命题)；P 的否命题是：若 XV0或yc0，贝U x + yc0 （假命题）.【总结升华】①“ x>0且y>0”的否定是“ XV0或yv0”；“ a 、b 都是偶数”的否定为“ a 、b 不都是偶数”.② 命题的否定和否命题是不一样的 举一反三:【变式1】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假【答案】（1） P 的否定：若X 2 + y 2= 0，则x , y 不全为零（假命题）；B . Pvq 为真, p A q 为假,C . Pvq 为假, P A q 为假,D . pvq 为真,【答案】Dp A q 为假,【高清课堂：简单的逻辑联结词 xxxxxx 例5】 【变式3】已知命题 所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（(A) (?p) V q(B) P A q (C) (?p) V (?q)(D (?p) A (?q)(1) P :若2 2x+y=O ，贝y x , y 全为零;(2) P :若 X =3 且 y=5，贝U x + y=8.P 的否命题：若X 2 + y 2式0，则X , y 不全为零（真命题）； （2） p 的否定：若X = 3且y=5，贝y x + y 或8 （假命题）; P 的否命题：若X 或3或ym=5，则X + yd8 （假命题）.【变式2】“ xy 于0 ”是指（填出符合条件的所有选项）A. XH0且y 工0B. XH0或y 工0C. X , y 至少有一个不是 0 【解析】xy 于0指X , y 都不是0,即X H 0且y 工0 .D. X , y 都不是0E.【答案】A 、D;X , y 不都是0。