组合数学第三章习题解答

3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部 分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍。 证明：用反证法，设存在划分。
P P2 P3 P4 P5 {1,...,326} 1
326 1 因为 1 66,因此必存在有一子集含66个元素 5 不妨设为P 1
i 1
6
i
12 C (6,1)
Ai 12 C (6,1) 6 C (6,2) 4 C (6,3) 3 C (6,4) 2 C (6,5) C (6,6) 72 90 80 45 12 1 28
28 5 33
共33次会议
2.求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.
解 设A3：被3整除的数的集合 A5：被5整除的数的集合 A7：被7整除的数的集合
A7 A5 A3 A5 A3 A7 A5 A3 500 500 3 5 7 33 4 29 3 5
3.6 在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其间 距离小于 2 证 把１×１正方形分成四个相等的小正 方形．如下图：
2
则这５点中必有两点落在同一个小正方形 内．而小正方形内的任两点的距离都小于
1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 2
3.7 在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点距离 小于1/2
第三章习题 3.1 某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在 会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四 人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没 有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？ 1．解 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则
A
3.4 试给下列等式以组合意义
(a) C (n m, n k ) (1)l C (m, l )C (n l , k ), n k m
m
(b)
(c )
C (l 1, n m 1) (1) j C (n m, j )C (n m j l 1, l )
120 120 120 A2 A3 20, A2 A5 12, A2 A7 8 2 3 25 2 7 120 120 120 A3 A5 8, A3 A7 5, A5 A7 3, 3 5 3 7 5 7
bi j ai j 1 a1
c1 bi2 bi1 , c2 bi3 bi1 ,..., c16 bi1 7 bi1 ,
c j bi j1 bi1 ai j1 1 a1 ai1 1 a1 ai j1 1 ai1 1
设C={c1,c2,…,c16} 如果： C ( p1 p2 ) 否则：
证把边长为１的三角形分成四个边长为－的三角形，如下图：
则这５点中必有两点落在同一个小三角 形中．
3.8 任取11个数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。 证明：一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位数是不是0，是 0就是10的倍数。 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数，任取11个数，其中必 有两个个位数相同，那么这两个数的差的个位数必然是0。
3.12,一年级有100名学生参加中文、英文和数学的考试，其中92 人通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中 65人通过中英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语 和数学考试，求通过三门学科考试的学生数？
3.13,试证
(a) (b) A B B A B A BC C AC B C A B C
设这66个元素为a1<a2<a3<...<a66
构造b1=a2-a1, b2=a3-a1,…, b65=a66-a1, 令B={b1,b2,…,b65} 这65个元素属于1到326，如果这65个元素有任何一个属于P1， 则定理得证。 否则： B p2 p3 p4 p5 (2)因为。 65 1 1 17 4 因此至少有一个集合含至少B中17个元素，设这个集合为p2。 设这6个元素为： bi1 bi2 ... bi1 7 构造：
3. n代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。 解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．以下分两种 情况讨论。 若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他n1个人的最大取数不超过n－2．必有两人认识人数相等。 若没有人的朋友数为0，则这n个人的朋友数的实际取数只 有n－1种可能．所以至少有２人的朋友数相等。
3.5 设有3个7位的二进制数 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7, b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7, c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7, 试证存在整数i和j，1≤i<j≤7，使得下列之一必然成立： ai=aj=bi=bj,ai=aj=ci=cj,bi=bj=ci=cj 证明： 显然，每列中必有两数字相同，共有C(3,2)种模式，有０或１ 两种选择．故共有C(3,2)· 2种选择。C(3,2)· 2=6．现有7列，即 必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的 数字相等．
(a)从n个元素中取k个元素的组合，总含m个指定的元素的组合 数为C(n-m,k-m),设这m个元素为a1,a2,...,am.Ai为不含ai的组 合，i=1,2,...,m
Ai C (n 1, k ) Ai1 Ai 2 ... Ail C (n l , k )
Ai1 Ai 2 ... Aim C (n, k ) C (m,1)C (n 1, k ) C (m,2)C (n 2, k ) ... (1) m C (m, m)C (n m, k )
di j ci j 1 ci1
e1 d i2 d i1 , e2 d i3 d i1
同样可证明ei既可表示成p1中元素之差，也可表示成p2p3p4 中元素之差，
否则： e1 , e2 p5 构造： e2 e1 同样可证明e2-e1既可表示成p1中数之差，也可表示成p2p3p4中 数之差。 e2-e1是1到326中的数，设f=d2-d1
Ai N i Ai , i 1,2,..., l
A0 N 0 A0 N 0 A1 N 0 ( N1 A1 ) ... N 0 N1 N 2 ... (1)l N l C (m l , m) C (m l , m 1) C (m l , m 2) ... C (m l , m l )
C p3 p4 p5
16 1 3 1 6
则定理得证
(3)因为。
因此至少有一个集合含至少C中6个元素，设这个集合为p3。 设这11个元素为： ci1 ci2 ... ci6
ci j bi j 1 bi1
构造： d1 ci2 ci1 , d 2 ci3 ci1 ,..., d 5 ci6 ci1 同样可证明d1和d2既可表示成p1中元素之差，也可表示成p2p3 中元素之差，
j 0
i 0 nm
C (m l 1, m 1) C (m l , m) C (m l , m 1) C (m l , m 2) ...
(1)l C (m l , m l )
(a)
C (n m, n k ) C (n m, k m)
A
B
C
R(
)
Ⅰ
=R( ) R( ) =(1+x)(1+3x+x2 ) =1+4x+4x2 + x3
故方案数＝3!－4· 2!+4 · 1!－1 · 0!＝1
Ⅱ
Ⅲ
3.11,n个球放到m个盒子中去，n<m(m-1)/2,试证其中必有两个盒 子有相同的球数。
证明：用反证法
假如没有两个盒子的球数相同，那么m个盒子中最少需要 0,1,2,...(m-1)共m(m-1)/2,因此必有两个盒子有相同的球数。
e p1 p2 p3 p4
因此：1到326的326个整数任意分成5部分，其中必有一部分 其中有一个数是另两个数之差，设ai=aj-ah,那么反过来： aj=ai+ah
3.10 A,B,C三种材料用作产品I,II,III的原料，但要求I禁止 用B和C作原料，II不能用B作原料，III不允许用A作原料，问 有多少种安排方案？ 解 按题意可得如下的带禁区的棋盘其中有阴影的表示禁 区． 禁区的棋子多项式为：
证明(a)
(a) A B与A B关于B互为余集， 因此 A B B A B
(b) A BC C AC B C A B C A B C与(C B) (C A)互为余集. A B C C (C B) (C A) C C A C B A B C
设D={d1,d2,…,d5} 如果： D ( p1 p2 p3)因为。
5 1 2 1 3
因此至少有一个集合含至少D中3个元素，设这个集合为p4。 设这3个元素为： 构造：
d i1 d i2 d i3
j1 n -m
l个相同的球放入n个不同的盒子里，指定的m个盒子为空，其他 盒子不空的方案数为C(l-1,n-m-1)
( c ) 设Ai为m+l个元素中取m+i个，含特定元素a的方案集；Ni为 m+l个元素中取m+i个的方案数．则：
N i C (m l , m i )
Ai C (m l 1, m i 1) Ai N i Ai C (m l , m i ) C (m l 1, m i 1) C (m l 1, m i ) Ai 1