2011年北大自主招生联考数学试题及解答
2011年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)
绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2）复数212i i-=+（A ）i（B ）-i（C ）（D ）4355i--4355i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A)(B) (C) (1,0)(1,)2π(1,2π-(D)(1，)π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA ；○1回归往日精品，再现今日辉煌AF·AG=AD·AE○2③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 (7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) (C)10 (D) （8）设,，,.记为平行四边形()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为()N t（A ） （B ） {}9,10,11{}9,10,12（C ） （D ） {}9,11,12{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ≤ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２ －２ｘ－１，
解法 ２ 联 立 方 程 组
消去 ｙ＝－５ｘ２ ＋２ｘ＋３．
２ ０１１×｜ｘ－２ ０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２ ０１１１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１ １１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
其２ 个交点为Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ）、Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）．代入点 Ａ 的坐
标
得
烄ｙ１ 烅 烆ｙ１
＝２ｘ１２ －２ｘ１ －１， ＝－５ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋３．
① ②
①×５＋②×２ 得 ７ｙ１ ＝－６ｘ１ ＋１，即 ６ｘ１ ＋７ｙ１ －１
＝０．同理得 ６ｘ２ ＋７ｙ２ －１＝０．
所以，两交点 Ａ、Ｂ 都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０ 上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２ ０１１）÷２＝５０３×２ ０１１
解法２ 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７ ＝ ａ３ ＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３ ＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５． 令 ａｎ ＝４ｎ－２５＜０，得 正 整 数 ｎ≤６，则
ａ１ ＜ａ２ ＜…＜ａ５ ＜ａ６ ＜０＜ａ７ ＜…， Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞…＞Ｓ５ ＞Ｓ６ ＜Ｓ７ ＜Ｓ８ ＜…． 所以，数列Ｓ１ ，Ｓ２ ，…中的第 ６ 项最小，最小值为
2011北约自主招生文科数学试题
2011北约自主招生文科数学试题1、（三函\解几）已知平行四边形的两边长分别为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。
2、（解几\方程）求过抛物线Y=2X^2-2X-1与Y=-5X^2+2X+3的交点的直线方程。
3、（数列）在等差数列｛an（n下标）｝中，a3=-13，a7=3，Sn（n下标）为其前n项和。
问数列｛Sn（n下标）｝的哪一项最小？并求出最小项值。
4、（三函\不等式）在三角形ABC中，若a+b》=（大于等于）2c，证明：C《=（小于等于）60度。
5、（数论）是否存在四个正实数，使得两两之积分别为2、3、5、6、10、16？参考思路：1、可以用余弦定理：先利用已知三边求出平行四边形一角的余弦值，则另一角的余弦值可知（互为相反数），再求未知对角线；也可以利用解几中的重要结论：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方和（不过要先建立坐标系证明该结论）。
2、最容易想到的方法自然是联立两抛物线方程，解出交点坐标，用两点式或点斜式表示……好吧，我承认这样做有点难算，不过其实也不算太难啦（最后化简结果似乎是不含根式的）。
当然，也可以先设直线方程Y=kX+b，与两抛物线分别联立，再对比所得交点的系数，从而得解（我的一位同学就是这样做的）。
3、常规题。
先求公差，再求通项，再求前n项和，最后利用二次函数的性质解之（注意n为正整数），或利用an《=0且a（n+1）>=0解之（n和n+1下标）。
4、可以考虑反证法；不然就用余弦定理表示出cosC，把式子分子中的a、b利用原题中的不等式换成c，再用基本不等式，中间经过若干步转换，最后化简为cosC》=0.5，于是得证。
5、尚未解出。
数论问题对高中文科生来说还是难了一点……面试题1、最刁钻的问题：火车开车前为什么会先退一步然后再前进？在采访了物理老师之后，得出的结论是：通常情况下,火车各节车厢之间的挂钩拉得很紧,牵引力必须克服整列火车与铁轨的最大静摩擦力才能启动。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷) 文 (精校版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
2011年北京大学保送生考试数学试题赏析
Ｇ（
ｘ １ ＋ｘ ２ ＋ｘ ３ ， ３
ｙ １ ＋ｙ ２ ＋ｙ ３ ）＝ Ｇ（ ） ， 而 ０， ０ ３ ） ， 故 Ｂ Ｃ 的外心 为 Ｏ（ ０， ０ △Ａ ， 为正三角形 Ａ Ｂ Ｃ △
０．
２ ２ 从而 ４ ｘ ４ ｘ ｐ －４ ｑ）＜ ０， ｐ － １ ＝－ （ ２ ≤－ （ ， 故ｘ ４ ｘ ． ｑ）＜ ０， １ ＜０ ２ ＜０ 因此 ， ｘ ｘ ． ｐ ＝－ （ ｑ ＝ｘ １ ＋ｘ ２） １ ２ ＞０ ＞ ０， ， ， 综合以上情况可得 ： 问题得证 ． ｐ ≥ ０ｑ ≥ ０ 点评 此题研究的其实是复合方程问题 ， 一 般解决的方法 是 代 数 法 ， 此法对恒等变形的要求 还有数 形 结 合 的 思 想 方 法 也 是 解 决 这 类 题 较高 ， 目的很好工具 ， 有时更显 得 形 象 直 观 ． 在历年的名 这种 题 型 出 现 比 较 多 ， 以下两 校自主招生试题中 ， 例供同学们参考 ： （ 已知 １． ２ ０ ０ ８年上海交通大学自主招生试题 ） （ ） ， 函数 ｆ（ 且ｆ（ ｘ） ｘ２ ＋ ｂ ｘ＋ ｃ ａ ≠０ ｘ） ＝ａ ＝ｘ 无 ］＝ ｘ 是否有实数根 ？ 实根 ， 试判断 ｆ［ 证明你 ｘ） ｆ（
２ ａ ， ） ， 设切线与 ｘ 轴的交点为 Ｑ ， 则得 Ｑ（ ０ ｘ ０ ２ ａ ｃ＋ ２ Ｆ１Ｑ ｘ ｃ ｘ０ ＋ａ ｅ ｘ０ ＋ａ ０ ∴ ＝ ２ ＝ ２ ＝ Ｆ２Ｑ ｅ ｘ０ －ａ ａ ｃ ｘ０ －ａ ｃ－ ｘ ０ Ｐ Ｆ１ ， ＝ Ｐ Ｆ２ 又由三角形内角平分线定理逆定理知 ， Ｐ Ｑ平
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(解析版)
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
55
(D) 4 3 i 55
【解析】： i 2 1 2i
(i 2)(1 2i) (1 2i)(1 2i)
i 2i2 2 4i 1 4i2
i 2(1) 2 1 4(1)
4i
i
，选
A。
（3）如果 log 1 x log 1 y 0 ，那么 (
2
2
（A） y x 1 (B) x y 1
（6）执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 P 值为( )
(A)2
(B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
第 1页 （共 7页）
【解析】执行三次循环，S 1 A 2 成立， p 11 2 ，S 1 1 1 1 3 ，S 3 A 2
P 22
2
成立， p 2 1 3 ， S 3 1 3 1 11 ， S 11 A 2 成立， p 3 1 4
y
2x ，则 b
.
【答案】2
第 2页 （共 7页）
【解析】：由
x2
y2 b2
1得渐近线的方程为 x2
y2 b2
0y
bx
即
y
bx ，由一条渐近线的方程
为 y 2x 得b 2
（11）已知向量 a ( 3,1),b (0 1), c (k, 3) 。若 a 2b 与 c ，共线，则 k =
2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
5
答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
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()()
1132，(123x +的交点的直线方程()()1132得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩252x x -++
解析：因为222cos 2a b c C ab +-=222
22a b a b ab +⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥()22314
22a b ab ab +-= 3124
22ab ab ab
⋅-≥12=，当且仅当a b =时，""=成立，又因为()0,C π∈，所以060C ∠≤。
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线；
所以211212CC CC r r C C -=+<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的双曲线；
21121212点、实轴长为12r r -的双曲线；
所以211212CC CC r r C C -=+=或211212CC CC r r C C +=+=，所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；
所以211212CC CC r r C C -=-<，由双曲线的定义，C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的双曲线（圆1C 、2C 的交点除外）；
21121212实轴长为12r r +的椭圆（圆1C 、2C 的交点除外）；
所以211212CC CC r r C C -=-=或2112CC CC r r +=-，
所以C 的圆心的轨迹是过1C ，2C 的直线（除直线与圆1C 、2C 的交点外）；
（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆（两圆1C 、2C 的交点除外）；
（ⅰ）若C 与1C ，2C 都内切，则11CC r r =-，22CC r r =-，所以211212CC CC r r C C +=->，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r -的椭圆；
（ⅱ）若C 与1C 内切，2C 外切，则11CC r r =-，22CC r r =+，所以211212CC CC r r C C +=+>，所以C 的圆心的轨迹是以1C ，2C 为焦点、实轴长为12r r +的椭圆。
7.求()121 (20111)
=-+-++-的最小值。
f x x x x。