高二数学必修5不等式与不等关系主要知识点
高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件(共37张PPT)
（1）：如果两个实数的差是正数，那么这两个
实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学
语言描述这个原理？ a－b＞0 a＞b
（2）：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语
言描述这个原理？ a－b = 0 a = b
600mm
(1)截得两种钢管的总长度 不能超4000mm；
500x 600y 4000
(2)截得600mm钢管的数量 不能超500mm的钢管数
y 3x
量的3倍；
x0
(3)截得两种钢管的数量
都不能为负.
y 0
考虑到实际问题的意义呢？
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
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不等关系与不等式之间 高二数学苏教版必修五第三章3.1不等式与不等关系课件（共37张PPT） 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
巨 人
3.1 不等关系与不等式
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
1.什么是不等关系？
2.什么是不等式？
3.不等关系与不等式之间 是什么关系？
2021/5/1
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高 二数学 苏教版 必修五 第三章3 .1不等 式与不 等关系 课件（ 共37张 PPT）
高二数学必修5不等式与不等关系主要知识点汇编
高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点1.不等关系两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔<（2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+（4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc <推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd >推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间的关系：3.一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩．4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．5.基本不等式：(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+． (2).≤2a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”）。
高二数学必修五第三章知识点：不等关系及不等式
高二数学必修五第三章知识点：不等关系及不等式根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式;也分一次或多次不等式。
小编准备了高二数学必修五第三章知识点，具体请看以下内容。
一、不等关系及不等式知识点总结1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba3.不等式的性质(1)对称性：ab(2)传递性：ab，ba(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;(5)可乘方：a0bn(nN，n(6)可开方：a0(nN，n2).注意：一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.一种方法要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
探究高中数学中的不等式与不等关系
探究高中数学中的不等式与不等关系数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，而不等式与不等关系作为数学中的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。
不等式与不等关系不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
本文将探究高中数学中的不等式与不等关系，分析其应用和意义。
一、不等式与不等关系的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种表示方法，常用的不等关系有大于、小于、大于等于、小于等于等。
例如，a > b表示a大于b，a < b表示a小于b，a ≥ b表示a大于等于b，a ≤ b表示a小于等于b。
通过不等式与不等关系，我们可以比较两个数的大小关系，进而进行数值的比较和运算。
二、不等式与不等关系的性质及运算规则不等式与不等关系具有一些重要的性质和运算规则，这些性质和规则对于解决不等式问题具有重要的指导意义。
1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么可以推出a > c。
这个性质告诉我们，如果两个数之间存在大小关系，那么通过传递性可以推出更多的大小关系。
2. 不等式的加减乘除性质：对于不等式a > b，c > 0，有以下性质：- 加法性质：a + c > b + c- 减法性质：a - c > b - c- 乘法性质：a × c > b × c（当c > 0时）- 除法性质：a ÷ c > b ÷ c（当c > 0时）通过这些性质，我们可以对不等式进行加减乘除运算，从而得到新的不等式。
三、不等式的解集与图像表示解不等式就是找到满足不等式条件的数的集合，这个集合被称为不等式的解集。
不等式的解集可以用图像表示，从而更直观地理解不等式的解集。
对于一元一次不等式，我们可以通过构建不等式的解集来表示。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以通过移项得到2x > 2，进而得到x > 1。
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
苏教版学高中数学必修五不等式不等关系讲义
学习目标核心素养１．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式（组）的实际背景.２．会用不等式（组）表示不等关系．（重点）３．会比较数（或式）的大小．（难点）通过实际问题抽象出不等式（组），培养数学建模素养.１．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：（１）用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十一号飞船的质量大于“嫦娥四号”卫星的质量；（２）用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于１．４m；（３）用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x>a时，销售收入f（x）大于成本g（x）；（４）用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用３0y的和不超过２000元．２．不等式（１）不等式的定义用数学符号“＝”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．（２）关于a≥b和a≤b的含义a．不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．b．不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．（３）不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤３．比较大小（１）比较实数a，b大小的文字叙述１如果a—b是正数，那么a>b；２如果a—b等于0，那么a＝b；３如果a—b是负数，那么a<b，反之也成立．（２）比较实数a，b大小的符号表示１a—b>0⇔a>b；２a—b＝0⇔a＝b；３a—b<0⇔a<b.思考：试用不等式表示下列关系：（１）a大于b a________b（２）a小于b a________b（３）a不超过b a________b（４）a不小于b a________b[提示] （１）> （２）< （３）≤（４）≥１．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于２000 Hz，用不等式表示为________．80 Hz≤x≤２000 Hz [“不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于２000 Hz”即“≤２000 Hz”．]２．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于２．５%，蛋白质的含量p应不少于２．３%，用不等式组表示上述关系为________．[答案] 错误!用不等式表示不等关系【例１】若单价每提高0．１元，销售量就可能相应减少２000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于２0万元呢？思路探究：总收入＝单价×销售量，总收入—成本＝利润．[解] 设提价后杂志社的定价为x元，则销售的总收入为8—错误!×0．２x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于２0万元”可以表示为不等式8—错误!×0．２x≥２0．用不等式表示不等关系的注意事项１利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.２在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一.提醒：利用不等式表示不等关系时的注意点：１必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.２在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一.１．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于５0，可用不等关系表示为________．１0b＋a>５0 [该两位数为１0b＋a，由题意可知１0b＋a>５0．]用不等式组表示不等关系【例２】9名驾驶员，此车队每天至少要运３60 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．思路探究：[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则错误!即错误!用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：１阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步.２对题中关键字、关键句要留心，多加注意.３要将所有不等关系都表示为不等式.２．如图所示，在一个面积为３５0平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的４倍，写出L与W的关系．[解] 由题意，得错误!实数大小的比较[探究问题]１．如果a，b之间的大小关系分别为a>b，a＝b，a<b，那么a—b分别与0的关系？反之呢？[提示] 若a>b，则a—b>0，反之也成立；若a＝b，则a—b＝0，反之也成立；若a<b，则a—b<0，反之也成立．２．若a>b，则错误!>１吗？反之呢？[提示] 若a>b，当b<0时，错误!<１，即a>bD⇒/错误!>１；若错误!>１，则错误!—１>0，即错误!>0，∴a—b>0，b>0或a—b<0，b<0，即错误!>１D⇒/a>b，反之也不成立．【例３】已知x<１，比较x３—１与２x２—２x的大小．思路探究：错误!―→错误!错误!错误!―→错误![解] x３—１—（２x２—２x）＝x３—２x２＋２x—１＝（x３—x２）—（x２—２x＋１）＝x２（x—１）—（x—１）２＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）错误!，∵x<１，∴x—１<0，又∵错误!２＋错误!>0，∴（x—１）错误!<0，∴x３—１<２x２—２x.１．（变条件）本例条件“x<１”变为“x≥１”，比较x３—１与２x２—２x的大小．[解] x３—１—（２x２—２x）＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）错误!，∵x≥１，∴x—１≥0，又（x—错误!）２＋错误!>0，∴（x—１）错误!≥0，∴x３—１≥２x２—２x.２．（变条件）本例条件“x<１”变为“x>２”，比较x x与２x的大小．[解] ∵错误!＝错误!x，又x>２，∴错误!>１，∴错误!x>错误!0＝１，∴x x>２x.１．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法（１）作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．（２）变形的方法：１因式分解；２配方；３通分；４对数与指数的运算性质；５分母或分子有理化；⑥分类讨论．２．作商法比较大小的步骤及适用范围（１）作商法比较大小的三个步骤：１作商变形；２与１比较大小；３得出结论．（２）作商法比较大小的适用范围：１要比较的两个数同号；２比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．１．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a—b＞0⇔a＞b；a—b＝0⇔a＝b；a—b＜0⇔a＜b.２．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．１．判断正误（１）不等式x≥２的含义是指x不小于２．（）（２）某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为１２0 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于１00 m. 用不等式表示为错误!（）[答案] （１）√（２）√２．下面列出的不等式中，正确的是（）Ａ．a不是负数，可表示成a>0Ｂ．x不大于３，可表示成x<３Ｃ．m与４的差是负数，可表示成m—４<0Ｄ．x与２的和是非负数，可表示成x＋２>0C[a不是负数，可表示为a≥0；x不大于３可表示为x≤３；m与４的差是负数，可表示成m—４<0；x与２的和是非负数，可表示成x＋２≥0．]３．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．１0y＋x＞70 [设两位数可表示为１0y＋x，∴70<１0y＋x.]４．某市政府准备投资１800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以２0至３0个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为２8万元与５8万元，该学校的规模（初、高中班级数量）所满足的条件是什么？[解] 设初中有x个班级，高中有y个班级，此时所需要的资金为（２8x＋５8y）万元，市政府准备投资１800万元，则２8x＋５8y≤１800，班级数量非负且要满足２0≤x＋y≤３0，即需要满足的条件是错误!。
高二数学必修5nbsp不等关系与不等式(2)nbspppt1
0 n N ） a b 0 (7) a b （
* n n
(乘方法则 )
0 n N , n ≥ 2） n a n b 0 (开方法则 ) (8) a b （ 1 1 (9) a b，ab 0 (倒数法则 ) a b
*
作业：P75－A组：3T、5T，B组：2T、3T
你能推导它们吗?
(7)a b 0 a n bn ,(n N , n 2);
(8)a b 0 n a n b (n N , n 2).
可归纳为：a b 0 a b ,(n R, n 0)
n n
y
y 3
y2
x
x
1 y 2
c c ∴ (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ∴ 1 1 继续变形 a b a b ca bc ∴ a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?
课堂练习: 用不等号 “<”或 “>”填空: > ⑴ a b, c d a c _______ bd ; ⑵ a b 0, c d 0 ac ____ < bd ; 3 > ⑶ a b 0 3 a ______ b; 1 1 ⑷ a b 0 2 ____ < 2. a b
作差比较法
常用的不等式的基本性质有 : ⑴a b b a ; (反对称性 ) ⑵ a b，b c a c ; (传递性 ) ⑶ a b a c b c , (可加性 )此法则又称为移项法则 ; (5) a b，c d a c b d (同向不等式可相加 ) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性 ) a b，c 0 ac bc (6) a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘 )
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
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高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点
1.不等关系
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；
0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．
2．不等式的性质：
（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔<
（2）传递性:,a b b c >>⇒，a c > （3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+
移项法则:a b c a c b +>⇔>-
推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+
（4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc <
推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd >
推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *
∈≥
(5) 可开方(正):0a b >>⇒ n n a b > (,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间的关系：
判别式
ac b 42-=∆ 0>∆
0=∆ 0<∆ 二次函数
c
bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
一元二次方程
()的根00
2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根 a b x x 221-== 无实根
3.一元二次不等式恒成立情况小结：
2
0ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．
20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00
a <⎧⎨∆<⎩．
4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：
y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；
y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
5.基本不等式：
(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22
2≥+．
(2).
≤2
a b +(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”）。