项目二-相关与回归分析案例及练习要求
实验五：相关与回归分析
7.717
.000
GDP ** 2
6.675E-7
.000
.035
.280
.787
（常数）
5403.084
971.774
5.560
.001
数据一般默认3位，修改具体为：
（1）SPSS默认显示至小数点后3位，因此当数字小于1/1000时就只能显示0.000了。所以这种情况并不代表这个数字为0，而是表示它小于1/1000。要想显示完整数字，可以采取如下方法：
此时，按照上面的方法一次做3,4，得到的图形为：
输入／移去的变量b
模型
输入的变量
移去的变量
方法
1
GDP1a
.
输入
a.已输入所有请求的变量。
b.因变量: income
模型汇总
模型
R
R方
调整R方
标准估计的误差
1
.998a
.996
.996
484.24032
a.预测变量: (常量), GDP1。
Anovab
总计
1.259
10
自变量为GDP。
系数
未标准化系数
标准化系数
t
Sig.
B
标准误
Beta
ln(GDP)
.725
.017
.998
43.170
.000
（常数）
16.689
2.747
6.076
.000
因变量为ln(income)。
模型汇总
R
R方
调整R方
估计值的标准误
.996
模型
非标准化系数
标准系数
t
Sig.
统计学案例——相关回归分析报告
统计学案例——相关回归分析报告《统计学》案例——相关回归分析案例⼀质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某⽯油炼⼚的催化装置通过⾼温及催化剂对原料的作⽤进⾏反应，⽣成各种产品，其中液化⽓⽤途⼴泛、易于储存运输，所以，提⾼液化⽓收率，降低不凝⽓体产量，成为提⾼经济效益的关键问题。
通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化⽓收率的主要原因，因此，只有确定⼆者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提⾼液化⽓收率的⽬的。
经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化⽓收率⽐去年同期增长1个百分点的⽬标，即达到12.24%的液化⽓收率。
2、数据的收集⽬标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化⽓收率的30组数据（如上表），进⾏简单直线回归分析。
3.⽅法的确⽴设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归⽅程为x b b y10?+= 将数据输⼊计算机，输出散点图可见，液化⽓收率y 具有随着回流温度x的提⾼⽽降低的趋势。
因此，建⽴描述y 与x 之间关系的模型时，⾸选直线型是合理的。
从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最⼩⼆乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最⼩⼆乘直线为x y229.0263.21?-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化⽓收率将减少0.229%。
（3）残差分析为了判别简单线性模型的假定是否有效，作出残差图，进⾏残差分析。
从图中可以看到，残差基本在-0.5—+0.5左右，说明建⽴回归模型所依赖的假定是恰当的。
误差项的估计值s=0.388。
（4）回归模型检验 a.显著性检验在90%的显著⽔平下，进⾏t 检验,拒绝域为︱t ︱=︱b 1/ s b1︱>t α/2=1.7011。
由输出数据可以找到b 1和s b1，t=b 1/ s b1=-0.229/0.022=-10.313，于是拒绝原假设，说明液化⽓收率与回流温度之间存在线性关系。
回归分析的基本知识点及习题
模型评估：线性 回归模型的评估 通常使用R方值、 调整R方值、残 差图等指标进行
评估。
参数估计与求解
最小二乘法：通过最小化误差的平 方和来估计线性回归模型的参数
梯度下降法：通过迭代更新参数， 使得损失函数最小化，从而得到最 优解
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
最大似然估计法：基于似然函数的 最大值来估计参数，使得观测到的 数据出现的概率最大
原理：通过引入 一个小的正则化 项来改进最小二 乘法的估计，以 减少过拟合和增 加模型的稳定性。
目的：在回归分析 中，岭回归分析用 于处理自变量之间 高度相关的情况， 通过加入正则化项 来减少过拟合，提 高模型的预测精度。
应用场景：岭回 归分析广泛应用 于统计学、机器 学习和数据分析 等领域，尤其在 处理共线性数据 问题时表现出色。
感谢您的观看
汇报人：
梯度下降法：通过 迭代更新参数来最 小化损失函数
牛顿-拉夫森方法 ：利用泰勒级数展 开来求解参数
模型评估与优化
模型的准确性评估：通过比较实际值与预测值来评估模型的预测能力。
模型的可靠性评估：检查模型是否具有足够的稳定性和可靠性。
模型的优化方法：通过调整模型参数或改变模型结构来提高模型的预测能力和可 靠性。
假设：满足线性关系、误差项独立同分布、误差项无偏、误差项无自相关等假设。 模型建立：基于历史数据，通过最小二乘法等估计方法确定自变量和因变量的关系。 模型评估：通过残差分析、决定系数、调整决定系数等方法评估模型的拟合优度。
参数估计与求解
最小二乘法：通过 最小化误差的平方 和来估计参数
最大似然估计法： 基于似然函数的最 大值来估计参数
模型的适用性：确定模型是否适用于特定的数据集和问题类型。
相关与回归分析综合题解题举例
相关与回归分析综合题例解
（一）通过散点图判断两个变量是否线性相关。
试用积差法计算学习时间与成绩分数的相关系数，说明两个变量的线性相关程度。
（1）散点图
（2）相关系数计算
根据已知数据做表
将表中的数据带入以下算式：
（二）检验两个变量之间是否存在线性相关关系。
：r=0
假设：H
H
r≠0
a
计算统计量：
（三）建立适当的回归模型
由于x、y是呈现是线性相关关系，可以建立线性回归模型，来进行拟合。
依据表9.3的数据，对参数估计的计算：
=396.2/15-4.919×49.2/15=10.278
拟合的方程为：
（四）估计标准误差 Se
令，整理数据如表9.4
已知：
则：
（五）用计算决定系数评价拟合程度。
由于
由表9.4整理数据如表9.5
（六）回归方程的显著性检验( ＝0.05)
假设：H
0：β
1
=0
H
a ：β
1
≠0
统计量
计算统计量
F
系显著。
（七）假定用户距离最近的消防站3.5千米，计算置信度为95%的火灾损失额度的预测区间。
用回归方差计算点估计值为：
区间估计值为：。
回归分析实例范文
回归分析实例范文回归分析是一种统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
它可以帮助我们了解变量之间的相关性，以及一个变量对另一个变量的影响程度。
以下是一个回归分析的实例，以说明如何运用回归分析来探索变量之间的关系。
假设我们有两个变量：广告费用（x）和销售额（y）。
我们对其中一产品进行了市场调研，收集了一些数据，如下所示：广告费用（万元），销售额（万元）-----------，-----------4，1002，508，2006，15010，250我们的目标是确定广告费用与销售额之间的关系，以及预测未来的销售额。
首先，我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系。
从散点图中可以看出，广告费用与销售额之间存在着正相关关系，即广告费用越高，销售额也越高。
接下来，我们可以使用回归分析来量化这种关系。
在回归分析中，我们假设存在一个线性关系，即销售额（y）与广告费用（x）之间的关系可以用一条直线来表示。
我们希望找到一条最佳拟合线，使得该直线尽可能地通过数据点。
通过回归分析，我们可以得到以下回归方程，用于预测销售额：y=β0+β1*x其中，β0表示截距，β1表示斜率。
回归分析还可以计算出拟合优度（R²），来评估模型的拟合程度。
R²的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
现在，我们来计算回归方程和拟合优度。
首先，我们需要计算β1和β0。
β1可以通过以下公式来计算：β1 = ∑((xi - x平均)*(yi - y平均)) / ∑((xi - x平均)²)β0可以通过以下公式计算：β0=y平均-β1*x平均其中，x平均和y平均分别表示广告费用和销售额的平均值。
计算得到β1≈20计算得到β0≈5因此，回归方程为：y=5+20*x接下来，我们计算拟合优度（R²）。
拟合优度可以通过以下公式计算：R²=SSR/SSTO其中，SSR（回归平方和）表示拟合线解释的总方差SSR = ∑((yi - y预测)²)SSTO（总平方和）表示实际观测值和实际平均值之间的总方差，可以通过以下公式计算：SSTO = ∑((yi - y平均)²)计算得到SSR≈850计算得到SSTO≈1166.67因此，拟合优度（R²）为：R²=850/1166.67≈0.73拟合优度为0.73，说明回归模型可以解释销售额的73%的变异性。
相关和回归分析练习题
课本例题：对某10户居民家庭的年可支配收入和消费支出进行调查，得到的原始资料如下， 单位：千元居民家庭编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 可支配收入25 18 60 45 62 88 92 99 75 98 消费支出 20 15 40 30 42 60 65 70 53 78 （1） 计算居民可支配收入与消费支出之间的相关系数，判断这两个变量之间是否显著相关；（P223）（2） 建立居民消费支出对居民可支配收入的一元线性回归方程，并解释回归系数的经济意义；（P227）（3） 计算拟合系数2R , 解释其意义；（P230）（4） 当居民可支配收入为120千元时，利用回归方程预测相应的消费支出。
（P232）相关系数的计算222222()()()()()()i i i i XX Y Y XY nXY r X n X Y n Y X X Y Y ---==⋅---⋅-∑∑∑∑∑∑ 参数1ˆβ和0ˆβ的估计122ˆXY nXY X nX β-=-∑∑ 01ˆˆY X ββ=- 拟合系数的计算2222222211222ˆˆˆ()()](()[)ii i i X n X Y n Y y x R y y ββ===--∑∑∑∑∑∑2,,X XX ∑∑ 2,,Y Y Y ∑∑ XY ∑ 1、 解：22()()()()i i i i X X Y Y r XX Y Y --=-⋅-∑∑∑ 21025,152711,128.125Y Y Y ===∑∑,129559.16ni i i X Y ==∑2195.56,5822.3334,24.445X X X ===∑∑变量X 的离差平方和2222()1041.86()92i i X X X n x X -==-=∑∑∑， 变量Y 的离差平方和2222()21382.8()75i i Y Y Y n y Y -==-=∑∑∑变量X 和Y 离差乘积项的和()()4503.305i i i i X x y X X Y Y Y nXY =--=-=∑∑∑ 22()()4503.3050.95401041.869221382.875()()i i i i XX Y Y r X X Y Y --===⨯-⋅-∑∑∑ 2.解：(1) 2199.5,7667.15,24.9375Y YY ===∑∑,1107610.4ni i i X Y ==∑ 22670,1587328,333.75X XX ===∑∑ 12241027.275ˆ0.0589696215.5XY nXY X nX β-===-∑∑ 00ˆˆ24.93780.0589333.75 5.2700Y X ββ=-=-⨯= 样本回归方程为ˆ 5.27000.0589i iY X =+ (2)变量X 的离差平方和222696215.5,i i x X nX =-=∑∑ 变量Y 的离差平方和2222692.1188i i y Y nY =-=∑∑22221ˆˆ()0.0589696215.52415.3178i i yx β==⨯=∑∑ 222ˆ2415.31780.89812692.1188ii y R y ===∑∑，表明自变量能解释因变量89.81%左右的变动,模型的拟合效果较好。
一元线性回归分析案例
数学３——统计内容
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
1. 画散点图
2. 了解最小二乘法的思想
3. 求回归直线方程
y＝bx＋a
4. 用回归直线方程解决应用问题
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
复习 变量之间的两种关系
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间
选修2-3——统计案例
5. 引入线性回归模型
y＝bx＋a＋e
6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因
7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系
8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类
非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
解：(1)列出下表,并计算
再冷的石头，坐上三年也会暖 !
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 xiyi 10400 36000 39900 32745 22785 18090 25500 39155 47940 15125
现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等
探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规 律？
课题：选修2-3 8.5 回归分析案例
回归分析方法应用实例
4、回归分析方法应用实例在制定运动员选材标准时，理论上要求先对不同年龄的运动员，各测试一个较大的样本，然后，计算出各年龄的平均数、标准差，再来制定标准。
但是，在实际工作中，有时某些年龄组不能测到较大的样本。
这时能不能使用统计的方法，进行处理呢？我们遇到一个实例。
测得45名11至18岁男田径运动员的立定三级跳远数据。
其各年龄组人数分布如表一。
由于受到许多客观因素的限制，一时无法再扩大样本，因此决定使用统计方法进行处理。
第一步，首先用原始数据做散点图，并通过添加趋势线，看数据的变化趋势是否符合随年龄增长而变化的趋势，决定能否使用回归方程制定标准。
如果趋势线不符合随年龄增长而变化的趋势，或者相关程度很差就不能用了。
本例作出的散点图如图1，图上用一元回归方法添加趋势线，并计算出年龄和立定三级跳远的：一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X相关系数 r＝0.7945（P<0.01）由于从趋势线可以看出，立定三级跳远的成绩是随年龄增加而逐渐增加，符合青少年的发育特点。
而且, 相关系数r＝0.7945，呈高度相关。
因此，可以认为计算出的一元回归方程，反映了11至18岁男运动员年龄和立定三级跳远成绩的线性关系。
决定用一元回归方程来制定各年龄组的标准。
第二步，用一元回归方程：Y＝2.5836＋0.3392 X 推算出各年龄的立定三级跳远回归值，作为各年龄组的第2等标准。
第三步，用45人的立定三级跳远数据计算出标准差为：0.8271。
由于在正态分布下，如把平均数作为标准约有50%的人可达到标准，用平均数-0.25标准差制定标准则约有60%的人可达到，用平均数+0.25、+0.52、+0.84标准差制定标准约有40%、30%、20%的人可达到标准。
本例用各年龄组回归值-0.25标准差、+0.25标准差、+0.52标准差、+0.84标准差计算出1至5等标准如表2、图2。
2、应用方差分析方法进行数据统计分析的研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
项目二-相关与回归分析案例及练习要求项目二：相关与回归分析一、实验目的1、掌握Pearson简单相关分析方法，并根据相关系数判断两变量的相关程度。
2、熟悉偏相关系数、Kendall tau-b和Spearman等级相关系数的计算方法，理解其区别与联系。
3、掌握一元与多元回归分析方法，对回归模型估计和检验，并对结果进行分析。
4、了解曲线回归分析方法。
并对回归结果进行分析。
二、实验内容和要求1、现有杭州市区1978－2014 年的GDP、城镇居民年人均可支配收入和年人均消费支出的数据资料（example1.sav），如下：表5-1 杭州市区GDP、年人均可支配收入、人均消费支出和CPI指数年份GDP（亿元）人均可支配收入（元）人均消费支出（元）定基CPI指数（%）1978 14.1995 338 301 100.1 1979 16.7206 396 365 100.5 1980 20.8220 521 491 101.3 1981 22.9243 540 513 103.3 1982 24.8297 532 532 105.4 1983 28.2171 578 535 107.6 1984 35.3781 729 679 110.9 1985 44.8574 1026 908 130.01986 51.3639 1169 107213 7.81987 60.5234 1260 1118 152.3 1988 70.8474 1565 1515 185.7 1989 77.2208 1764 1615 218.7 1990 89.6496 1985 1685 228.8 1991 109.6628 2128 1894 245.9 1992 141.3287 2580 2296 271.5 1993 208.6571 3525 3183 329.6 1994 278.8314 5249 4559 400.5 1995 369.7794 6301 5559 466.5 1996 472.7377 7206 6095 515.5 1997 541.4265 7896 6766 550.1 1998 590.5726 8465 7235 560.0 1999 631.7335 9085 7424 562.2 2000 711.1586 9668 7790 566.7 2001 1226.0891 10896 8968 563.9 2002 1404.2278 11778 9215 557.12003 1664.7332 12898 9949.76554. 32004 2036.2738 14565 11212.78 568.2 2005 2349.5459 16601 13438 577.8 2006 2748.3121 19026.86 14471.74 584.8 2007 3273.8842 21689.36 14895.75 605.22008 3813.9834 24103.58 16719.10 634.9 2009 4069.8687 26863.93 18594.75 626.0 2010 4740.7788 30035 20219 650.4 2011 5589.8574 34065 22642 681.6 2012 6213.2486 37511 22800 698.7 2013 6639.8609 39310 24833 716.1 2014 9201.1600 44632 32165 730.5 数据来源：历年《杭州统计年鉴》和《2014年杭州市国民经济和社会发展统计公报》。
要求：（1）求人均可支配收入、GDP、人均消费性支出与消费价格指数的双变量Pearson相关系数。
相关性income bcpiincome Pearson 相关性 1 .841**显著性（双侧）.000 N 37 37bcpi Pearson 相关性.841** 1 显著性（双侧）.000N 37 37**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
相关性gdp bcpigdp Pearson 相关性 1 .751**显著性（双侧）.000 N 37 37bcpiPearson 相关性.751** 1显著性（双侧）.000N 37 37 **. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
相关性payout bcpipayout Pearson 相关性 1 .873**显著性（双侧）.000 N 37 37bcpi Pearson 相关性.873** 1 显著性（双侧）.000N 37 37**. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
（2）画出人均可支配收入与人均消费支出的散点图，求人均消费支出倚人均可支配收入的直线回归方程，解释方程结果，并给出方程的估计标准误差。
模型汇总模型R R 方调整 R 方标准估计的误差1 .994a.989 .988 912.186a. 预测变量: (常量), income。
的估计标准误差。
模型汇总模型R R 方调整 R 方标准估计的误差1 .985a.969 .969 2250.284a. 预测变量: (常量), gdp。
（4）求人均消费支出倚GDP的直线回归方程。
解释方程结果，并给出方程的估计标准误差。
模型汇总和参数估计值因变量: payout方程模型汇总参数估计值R 方 F df1 df2 Sig. 常数b1线性.952 698.757 1 35 .000 2500.690 3.553自变量为 gdp。
模型汇总模型R R 方调整 R 方标准估计的误差1 .976a.952 .951 1865.083a. 预测变量: (常量), gdp。
（5）若将GDP的单位改为万元，再做第3和第4题，观察单位变化对回归方程的影响。
无影响（6）求人均可支配收入倚GDP的二次回归方程，并与直线回归方程比较，选出最适合的方程。
（7）求人均消费支出倚GDP的二次回归方程，并与直线回归方程比较，选出最适合的方程。
（8）以定基居民消费价格指数为控制变量，对居民年人均可支配收入和消费支出进行偏相关分析。
（9）计算居民年人均消费支出倚GDP，居民年人均可支配收入和消费价格指数的多元线性回归方程，确定最终模型并对估计结果进行解释。
*（10）求人均可支配收入对GDP的弹性系数和人均消费支出对GDP的弹性系数（提示：一个变量Y对另一个变量X的弹性系数E定义为：E=Y的增长率÷X 的增长率）。
2、由表5-2所示的2013年浙江省各地级市GDP、第三产业就业人数数据资料（example2.sav），进行Kendall tau-b和Spearman等级相关分析。
表5-2 2013年浙江省11地市经济数据单位：亿元/万人地区杭州宁波嘉兴湖州绍兴舟山GD P 8343.527128.873147.661803.153967.29930.85三产就业人数288.93200.44101.8263.52 114.00 30.98地区温州金华衢州台州丽水--GD P 4003.862958.781056.573153.34983.08--三259.5113.51 40.14 147.150.54 --产就业人数6 4数据来源：《2014年浙江统计年鉴》。
练习一、请打开数据文件exercise1.sav，该数据文件是有关浙江省人均可支配收入、服务业产值等基本信息资料。
试根据文件中的数据资料，运用SPSS软件进行以下分析。
1、Pearson线性相关分析：计算城镇居民人均可支配收入、地区生产总值、服务业产值和服务业就业人数的Pearson线性相关系数和sig值，并判断变量间的相关程度。
表1 双变量间的Pearson线性相关系数居民人均可支配收入地区生产总值服务业产值服务业就业人数居民人均可支配收入地区生产总值服务业产值服务业就业人数相关性城镇居民可支配收入地区生产总值服务业产值服务业城镇就业人数城镇居民可支配收入Pearson 相关性 1 .995**.990**.996**显著性（双侧）.000 .000 .000N 30 30 30 30 地区生产总值Pearson 相关性.995** 1 .998**.997**显著性（双侧）.000 .000 .000N 30 30 30 30 服务业产值Pearson 相关性.990**.998** 1 .995**显著性（双侧）.000 .000 .000N 30 30 30 30 服务业城镇就业人数Pearson 相关性.996**.997**.995** 1 显著性（双侧）.000 .000 .000N 30 30 30 30 **. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
相关程度判断：各项Sig<0.01,表明在置信度99%下，相关系数在0.990到0.998之间，高度相关2、偏相关分析：以地区生产总值为控制变量，计算双变量的偏相关系数和sig值，并将计算结果填入下表。
居民人均可支配收入服务业产值服务业就业人数居民人均可支配收入服务业产值服务业就业人数相关性控制变量城镇居民可支配收入服务业产值服务业城镇就业人数地区生产总值城镇居民可支配收入相关性 1.000 -.464 .497显著性（双侧）. .011 .006df 0 27 27 服务业产值相关性-.464 1.000 -.002显著性（双侧）.011 . .993df 27 0 27 服务业城镇就业人数相关性.497 -.002 1.000显著性（双侧）.006 .993 .df 27 27 03、一元线性回归分析(1)建立居民人均可支配收入倚服务业产值的直线回归方程，将计算结果填入下表：表2 居民人均可支配收入的一元线性回归回归系数T值P值常数项3205.977 7.814 0.000 服务业产值 2.050 36.912 0.000得到的线性回归方程：Y=3205.977+2.050X 。
(2)分析回归模型的判别系数及其含义：P值等于0，小于0.05，表明拟合效果显著。
(3)回归方程的经济含义是，服务业产值每增加1亿元，_ 城镇居民可支配收入增加2.050元。
_(4)回归方程整体显著性检验sig<0.05,整体拟合效果显著。
4、多元线性回归分析(1) 建立以居民人均可支配收入为因变量，外商直接投资和服务业就业人数为自变量的直线回归方程，将计算结果填入下表：表3 居民人均可支配收入的多元线性回归回归系数T值P值共线性统计量容差VIF常数项-5714.828 -7.241 .000服务业就业人数38.607 10.826 .000 .043 23.335 外商直接投资34.240 1.886 .070 .043 23.335 得到的线性回归方程：居民可支配收入=-5714.828+38.607*服务业就业人数+34.240*外商直接投资。