广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期末数学试题
广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题数学试卷（共4页）第Ⅰ部分基础检测（共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2B ．0C ．1D ．不能确定2．已知集合{}2|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >-C ．22m -≤≤D ．22m -<<3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．A．B ．C．D．4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）． A ．18 B ．2716-C ．89D ．15165．设0x 是方程2ln(1)x x+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-B ．||2x y -=C ．1y x=D ．lg ||y x =7．函数12()2x f x -=的大致图象为（ ）．A ．B ．C．D ．8．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(1,2)C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()0f x f x x--<的x 的取值范围为（ ）．A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 14．已知函数1()lg51xf x x x+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知函数21()42a f x x ax =-+-+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值．16．（本小题满分10分）化简计算．（1(0,0)a b >>．（2）522log 253log 648ln1+-．（3）916log 16log 2534+．（4）5lg242log 9log 1210--+．17．（本小题满分12分）为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为3015t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图．（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？)第二部分 能力检测（共50分）四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．函数12()log (42)x xf x =-的单调递减区间为__________．19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g x f x f xg x ⎧⊗=⎨<⎩≥，若39101,109()10log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩≤，()|1|g x x =-，则函数()()(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可）五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．（3）求满足2312f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知函数1()(0,1)xxtf x a a a a -=+>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2f =，且221()2()xx h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．广东省广州市荔湾区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案数学试卷（共4页）第Ⅰ部分基础检测（共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合{}0,2,M x =，{}0,1N =，若N M ⊆，则x 的值为（ ）． A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定【答案】C【解析】{}0,2,M x =，{}0,1N =， ∵N M ⊆， ∴0M ∈，1M ∈， ∴1x =． 故选C ．2．已知集合{}2|10A x x mx =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >-C ．22m -≤≤D ．22m -<<【答案】D【解析】{}2|10A x x mx =++=为方程210x mx ++=的根的集合，∵A R =∅， ∴A =∅， ∴240m ∆=-<， 解得22m -<<． 故选D ．3．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是（ ）．A．B ．C．D．【答案】C【解析】解：由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一数值与之对应， A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．根据函数的定义中“定义域内的每一个x 都有唯一的函数值与之对应”判断． 故选C ．4．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）． A ．18 B ．2716-C ．89D ．1516【答案】D【解析】解：函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩≤，2(2)2224f =+-=，则2111151(2)4416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选D ．5．设0x 是方程2ln(1)x x+=的解，则0x 在下列哪个区间内（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)【答案】B【解析】构造函数2()ln(1)f x x x=+-， ∵(1)ln 210f =-<，(2)ln310f =->， ∴函数2()ln(1)f x x x=+-的零点属于区间(1,2)，即0x 属于区间(1,2)． 故选B ．6．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）． A ．2y x =-B ．||2x y -=C ．1y x=D ．lg ||y x =【答案】D【解析】0x >时，2y x =-在(0,)+∞单调递减，||1222xx xy --⎛⎫=== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减， 11y x x==在(0,)+∞单调递减， lg ||lg y x x ==在(0,)+∞单调递增．故选D ．7．函数12()2x f x -=的大致图象为（ ）．A ．B．C．D．【答案】A 【解析】1112221()222x x x f x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴12()2x f x -=的图象为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移12个单位所得．故选A ．8．已知a =，0.32b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）． A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】A【解析】10.220.30.31a c ==<=<， 0.30221b =>=，∴b c a >>． 故选A ．9．已知函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式(1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围（ ）． A ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．(1,2)C ．(,0)-∞D ．(,1)-∞【答案】A【解析】解：偶函数()f x 在[0,2]上是减函数，∴其在(2,0)-上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大， ∴不等式(1)()f m f m -<可以变为|1|||22212m m m m ->⎧⎪-⎨⎪--⎩≤≤≤≤，解得11,2m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．故选A ．10．已知4log 28a =，5log 35b =，6log 42c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】B【解析】解：444log 28log (47)1log 7a ==⨯=+，555log 35log (57)1log 7b ==⨯=+， 666log 42log (67)1log 7c ==⨯=+， 且654lg7lg7lg7log 7log 7log 7lg6lg5lg 4===<=， ∴c b a <<． 故选B ．11．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊕”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ⊕=+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn ⊕=，则在此定义下，集合{}(,)|12,*,*M a b a b a b =⊕=∈∈N N 中的元素个数是（ ）．A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【答案】B【解析】12111210394857661122634=+=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯，其中26⨯舍去，66+只有一个，其余的都有2个，所以满足条件的(,)a b 有：27115⨯+=个． 故选B ．12．设函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则使()()0f x f x x--<的x 的取值范围为（ ）．A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-【答案】D【解析】∵奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数， ∴()f x 在(,0)-∞为增函数， ∵(1)0f =， ∴(1)(1)0f f -=-=，∴当(,1)(0,1)x ∈-∞-，()0f x <， 当(1,0)(1,)x ∈-+∞，()0f x >，又()()()()2()0f x f x f x f x f x x x x--+==<，∴()0xf x <，∴当0x >，()0f x <，(0,1)x ∈， 当0x <，()0f x >，(1,0)x ∈-， 综上，x 的取值范围为(1,0)(0,1)-．故选D ．二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）13．若函数()(1)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x m m =-+（其中0a >，1a ≠）的图象恒过定点A 的坐标为__________． 【答案】(3,2)【解析】∵()(1)a f x m x =-是幂函数， ∴11m -=解得2m =，∴()log ()log (2)2a a g x x m m x =-+=-+， 当3x =，(3)log (32)22a f =-+=， ∴()g x 的图象恒过定点(3,2)．14．已知函数1()lg 51xf x x x+=++-，且()6f a =，则()f a -=__________． 【答案】4【解析】∵1()lg 51xf x x x+=++-， ∴1()lg 51xf x x x--=-+++ 1lg51xx x+=--+-1lg 51x x x +⎛⎫=-++ ⎪-⎝⎭，又1()lg 561af a a a+=++=-， ∴1lg11aa a++=-， ∴1()lg 51541a f a a a +⎛⎫-=-++=-+= ⎪-⎝⎭．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）已知函数21()42a f x x ax =-+-+． （1）若2a =，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值．（2）若函数()f x 在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值． 【答案】（1）0．（2）6-或103． 【解析】∵2a =，∴221()242a f x x ax x x =-+-+=-+， 对称轴为直线212(1)x =-=⨯-，∴()f x 在区间[0,1]上的最小值是(0)0f =，解：配方，得22211()242442a a a a f x x ax x ⎛⎫=-++-=--+-+ ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的图象开口向下的抛物线，关于直线2ax =对称． （1）当[0,1]2a∈，即02a ≤≤时，()f x 的最大值为2122442a aa f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解之得2a =-，或3，经检验不符合题意． （2）当12a>时，即2a >时，函数在区间中[0,1]上是增函数， ∴()f x 的最大值为1(1)1224a f a =++-=，解之得103a =． （3）当02a<时，即0a <时，函数在区间中[0,1]上是减函数， ∴()f x 的最大值为1(0)224af =-=，解之得6a =-，综上所述，得当()f x 区间[0,1]上的最大值为2时，a 的值为6-或103．16．（本小题满分10分）化简计算．（1(0,0)a b >>．（2）522log 253log 648ln1+-．（3）916log 16log 2534+．（4）5lg 242log 9log 1210--+．【答案】（1）a ．（2）22．（3）9．（4）85-．【解析】（1）原式2112331111444323a bab++⨯-⨯+⋅=⋅52773333ab--=a =．（2）原式26522log 53log 280=+-⨯2236=⨯+⨯22=．（3）原式916log 16112log 2521(16)9⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭log 2516911log 1622(9)(16)=+11221625=+45=+9=．（4）原式(lg5lg 2)lg9lg1210lg 4lg 2--=-+ 22lg 2lg52lg3lg(32)10lg 2lg 2-⨯=-+ 2lg3lg32lg 222lg 2lg 25+=-+ 225=-+85=-．17．（本小题满分12分）为了检验某种溶剂的挥发性，在容器为1升的容器中注入溶液，然后在挥发的过程中测量剩余溶液的容积，已知溶剂注入过程中，其容积y （升）与时间t （分钟）成正比，且恰在2分钟注满；注入完成后，y 与t 的关系为3015t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图．（1）求容积y 与时间t 之间的函数关系式．（2）当容积中的溶液少于8毫升时，试验结束，则从注入溶液开始，至少需要经过多少分钟，才能结束试验？)【答案】（1）2301,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤．（2）92． 【解析】解：（1）∵两分钟匀速注满容积为1升的容器， ∴注入速度为12（升/分），在注入过程中，02t ≤≤，容积y 与时间t 的关系是12y t =， 注入结束后，y 与t 的关系为3015ta y -=，且当2t =时，1y =，有230115a -=，解得115a =， ∴在注入结束后，2t >，容积y 与时间t 的关系是23015t y -=，综上所述，y 与x 的函数关系式为2301,0221,25t t t y t -⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤． （2）试验结束的条件是：容器注满之后，容积减少为8毫升之后， 即23021851000t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩，即233021155t t ->⎧⎪⎨<⎪⎩，即22330t t >⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得92t >．第二部分能力检测（共50分）四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．18．函数12()log (42)x xf x =-的单调递减区间为__________． 【答案】(0,)+∞【解析】12()log (42)x xf x =-，(0,)x ∈+∞，令2x t =，则(1,)t ∈+∞，22112211()log ()log 24f x t t t ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当(1,)t ∈+∞，212()log ()g t t t =-单调递减， ∴()f x 的单调减区间为(0,)+∞．19．定义(),()(()()(),()()g x f x g x f x g xf x f xg x ⎧⊗=⎨<⎩≥，若39101,109()10log (1),9x x f x x x ⎧+⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩≤，()|1|g x x =-，则函数()()(h x f x g x =⊗在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性是__________．（填“递增”、“递减”、“先减后增”、“先增后减”其中之一即可） 【答案】先增后减【解析】由定义()()f x g x ⊗结果为()f x ，()g x 的较小者3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3()log (1)f x x =--单调递减，3()[0,log 2]f x ∈， ()1g x x =-单调递增，1(),12g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又31log 212<<，∴0x ∃，03,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()f x g x >，()()h x g x =，(]0,2x x ∈，()()f x g x <，()()h x f x =，∴()h x 在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦先增后减．五、解答题：本大题3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分12分）已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，0a >且1a ≠． （1）求函数()f x 的定义域．（2）若()log ()a f x x t =+有且仅有一实根，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）(2,2)-．（2）(2,)+∞．【解析】（1）∵()log (2)log (2)a a f x x x =+--， ∴2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，∴()f x 的定义域为(2,2)-． （2）()log (2)log (2)a a f x x x =+-- 2log 2ax x+=-， ∵()log ()a f x x t =+有且仅有一实根， ∴22x x t x+=+-在(2,2)-上有且仅有一实根， 整理得2(1)220x t x t +-+-=在(2,2)-上， 有且仅有一实根，令2()(1)22f x x t x t =+-+-， ∴(2)(2)0f f -<，即4(84)0t -<，解得2t >．21．（本小题满分14分）定义在R 上的非负函数()f x ，对任意的x ，y ∈R 都有()()()f x f y f xy =且(0)0f =，(1)1f -=，当1y >，都有()1f y >．（1）求(1)f 的值，并证明()f x 是偶函数． （2）求证：()f x 在(0,)+∞上递增．（3）求满足2312f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立的x 的取值范围．【答案】（1）(1)1f =．（2）见解析．（3）1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】（1）∵()()()f x f y f xy =，(1)1f -=， ∴令1x y ==-，则1xy =，即(1)(1)(1)(1)(1)1f f f --==+⨯+=， ∴(1)1f =，()[(1)](1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-=，∴()f x 是偶函数．（2）任取120x x <<，由于()f x 在R 上非负，211x x >， ∴222111221111()()1()()()x x f x f x f x x f x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===> ⎪⎝⎭， ∴21()()f x f x >， ∴()f x 在(0,)+∞上递增．（3）∵()f x 为R 上偶函数且()f x 在(0,)+∞上递增， ∴由231(1)2f x x f ⎛⎫-<= ⎪⎝⎭，得2312x x --<，解得：122x -<<，∴x 的取值范围为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．（本小题满分14分）已知函数1()(0,1)x xtf x a a a a -=+>≠是定义域为R 是奇函数． （1）求实数t 的值．（2）若(1)0f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在R 上恒成立，求实数b 的取值范围． （3）若3(1)2f =，且221()2()xx h x a mf x a =+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【答案】（1）2t =．（2）(3,5)-．（3）2m =．【解析】解：（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 所以1(1)0t +-=，所以2t =．（2）由（1）知：1()(0,1)xxf x a a a a =->≠， 因为(1)0f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以1()xxf x a a =-是R 上的单调递增， 以()f x 是定义域为R 是奇函数，所以222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-， 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以2(1)160b ∆=--<，即35b -<<， 所以实数b 的取值范围为(3,5)-． （3）因为3(1)2f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去），所以2221111()22222222222xx x x x xx xh x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1()22x u f x x ==-，则2()22f u u mu =-+， 因为1()22x f x x =-在R上为增函数，且1x ≥，所以3(1)2u f =≥， 因为221()22()2xxh x mf x =--在[1,)+∞上的最小值为2-， 所以2()22g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为222()22()2g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m =，所以当32m ≥时，2min ()()22f u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去），当32m <时，min 317()3224f u f m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =．。
广东省广州市荔湾区2019～2020学年度高一第1学期期末教学质量检测数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度广东省广州市荔湾区高一第一学期期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题)1.函数的定义域为A. B. C. D.2.在下列四组函数中,与表示同一函数的是A.,B.,C.,,,D.,3.函数的零点所在的区间是A. B. C. D.4.已知向量,且,则x的值是A. B.6 C. D.5.函数在上是增函数,则a的范围是A. B. C. D.6.已知,,.,则与的夹角是A. B. C. D.7.设,,,则a、b、c的大小关系是A. B. C. D.8.为了得到函数的图象,只需把函数的图象A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度9.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是A.2B.C.D.10.已知向量,,则向量在向量方向上的投影是A. B. C.5 D.11.已知函数在一个周期内的简图如图所示,则方程为常数且在内所有解的和为A.B.C.D.12.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,若,则a为A. B. C.或3 D.或二、填空题(本大题共4小题)13.幂函数的图象过点,则______.14.在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度和燃料的质量Mkg、火箭除燃料外的质量mkg的函数关系是当燃料质量是火箭质量的______ 倍时,火箭的最大速度可达到.15.已知,,那么的值是______.16.在等腰直角中,,,M是斜边BC上的点,满足,若点P满足,则的取值范围为______.三、解答题(本大题共6小题)17.已知,且.求的值；求的值.18.已知全集,集合,.若,求和；若,求实数m的取值范围.19.已知.若,求的单调递减区间；若时,的最小值为,求a的值.20.药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：人工种植药材时,某种药材在一定的条件下,每株药材的年平均生长量单位：千克是每平方米种植株数x的函数.当x不超过4时,v的值为2；当时,v是x的一次函数,其中当x为10时,v的值为4；当x为20时,v的值为0.当时,求函数v关于x的函数表达式；当每平方米种植株数x为何值时,每平方米药材的年生长总量单位：千克取得最大值？并求出这个最大值.年生长总量年平均生长量种植株数21.已知,是平面内两个不共线的非零向量,,,,且A,E,C三点共线.求实数的值；已知点,,,若A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.22.已知函数,其中.Ⅰ当时,恒成立,求a的取值范围；Ⅱ设是定义在上的函数,在内任取个数,,,,,设,令,,如果存在一个常数,使得恒成立,则称函数在区间上的具有性质P.试判断函数在区间上是否具有性质P？若具有性质P,请求出M的最小值；若不具有性质P,请说明理由.注：答案和解析1.【参考答案】A【试题分析】解：要使有意义,则,解得,的定义域为.故选：A.可看出,要使得有意义,则需满足,解出x的范围即可.本题考查了函数定义域的定义及求法,对数函数的定义域,考查了计算能力,属于基础题.2.【参考答案】B【试题分析】解：A中的2个函数与的定义域不同,故不是同一个函数.B中的2个函数与具有相同的定义域、值域、对应关系,故是同一个函数.C中的2个函数,与,的定义域不同,故不是同一个函数.D中的2个函数,的定义域、对应关系都不同,故不是同一个函数.综上,A、C、D中的2个函数不是同一个函数,只有B中的2个函数才是同一个函数,故选B.根据题意,逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系.本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系.相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系.3.【参考答案】C【试题分析】解：因为,,所以,函数是连续函数,所以函数的零点所在区间是；故选：C.利用函数零点存在定理,对区间端点函数值进行符号判断,异号的就是函数零点存在的区间.本题考查了函数零点的存在区间的判断；根据函数零点的判定定理,只要区间端点的函数值异号,就是函数零点存在区间.4.【参考答案】B【试题分析】解：因为,且,所以,解之可得故选B由向量平行的条件可得,解之即可.本题考查平面向量共线的坐标表示,属基础题.5.【参考答案】B【试题分析】解：因为函数,开口向下,对称轴,若函数在上是增函数,则,解得,故选：B.因为函数开口向下,对称轴,若函数在上是增函数,则,即可解出答案.本题考查二次函数的图象和性质,属于基础题.6.【参考答案】B【试题分析】解：设两个向量的夹角为故选B设出两个向量的夹角,利用向量的数量积公式列出方程,求出夹角的余弦,利用夹角的范围求出夹角.求两个向量的夹角,一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦,注意向量夹角的范围,求出向量的夹角.7.【参考答案】A【试题分析】解：由指数函数和对数函数的图象可以得到：,,,所以故选A由指数函数和对数函数的图象可以判断a、b、c和0、1的大小,从而可以判断a、b、c的大小本题考查利用插值法比较大小,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的分布是解决本题的关键. 8.【参考答案】D【试题分析】解：设将函数的图象向右平移a个单位后,得到函数,的图象,则,解得,所以,函数的图象向右平行移动个单位长度,可得到函数,的图象,故选：D.由已知中把函数的图象平移后,得到函数,的图象,我们可以设出平移量为a,然后根据平移法则“左加右减,上加下减”构造关于平移量的方程,解方程求出平移量,即可得到答案.本题考查的知识点是函数的图象变换,其中设出平移量为a,然后根据平移法则“左加右减,上加下减”构造关于平移量的方程,是解答本题的关键.9.【参考答案】B【试题分析】本题给出扇形的圆心角和弦长,求扇形的弧长,属于基础题.作出辅助线,利用解直角三角形求出扇形的半径,是解决问题的关键.设扇形OAB中,过O点作于点C,延长OC交弧AB于D点.在利用三角函数的定义求出半径AO长,再代入弧长公式加以计算,可得所求弧长的值. 【试题答案】解：如图所示,设扇形OAB中,圆心角,过O点作于点C,延长OC,交弧AB于D点,则,,中,,得半径,弧AB长.故选B.10.【参考答案】D【试题分析】解：向量,,,；则向量在向量方向上的投影是：.故选：D.向量在向量方向上的投影,计算即可得出结论.本题考查向量的数量积,投影,属于基础题.11.【参考答案】B【试题分析】解：根据函数在一个周期内的简图,可得,再把点代入可得,求得,.再根据五点法作图可得,,故函数,显然它的一个顶点坐标为,故由图象可得方程为常数且在内所有的解共有2个,且这2个解的和等于,故选：B.由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性,得出结论.本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,正弦函数的图象的对称性,属于中档题.12.【参考答案】D【试题分析】解：令,则,所以,则；令,则,所以,则,即,令,则,,故选：D.利用时奇函数以及在上的解析式可求得解析式,再令,根据x范围可求出a的值本题考查分段函数解析式的求法,涉及函数奇偶性的应用,求出解析式是关键,属于中档题.13.【参考答案】【试题分析】解：设幂函数,幂函数的图象过点,,解得,,,故答案为：.利用幂函数的定义即可求出.熟练掌握幂函数的定义是解题的关键14.【参考答案】63【试题分析】解：.火箭的最大速度可达,即可得,即,即,故答案为：63.火箭的最大速度可达,即,将代入题中函数关系式,利用对数的基本运算法则进行求解即可得到结论.本题主要考查对数的基本运算,考查了用函数知识解决实际问题的应用、对数的互化等知识点,属于基础题.15.【参考答案】【试题分析】解：因为,,所以.故答案为：.直接利用两角和的正切函数公式求解即可.本题考查两角和与差的三角函数,基本知识的考查.16.【参考答案】【试题分析】解：以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标,由可得,点P在圆上,设,易知,,由可得,,则,则,由正弦函数的有界性可知,.故答案为：.依题意,建立平面直角坐标,求出各点的坐标,可得,进而得解.本题考查平面向量的运用,通过坐标化解决问题是关键,属于基础题.17.【参考答案】解：因为.,所以,故..【试题分析】由.,利用同角三角函数关系式先求出,由此能求出的值.利用同角三角函数关系式和诱导公式能求出的值.本题考查三角函数值的求法,考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.18.【参考答案】解：全集,集合,.当时,,或,.集合,,,,解得,实数m的取值范围是.【试题分析】本题考查补集、并集、实数的取值范围的求法,考查补集、并集、子集的定义、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.求出全集,集合A,B,由此能求出,.求出集合,,由,列出不等式组,能求出实数m的取值范围.19.【参考答案】解：因为,由,得,所以的单调递减区间为；因为,所以,所以,所以当,即时,函数取最小值,即的最小值为,所以.【试题分析】对化简,利用整体思想,求出单调性即可；因为,所以,即时,函数取最小值,代入求出a.考查三角函数化简,单调性,最值的判断,中档题.20.【参考答案】解：由题意得,当时,；当时,设,由已知得,解得,所以,故函数.设药材每平方米的年生长总量为千克,依题意及可得,当时,为增函数,故；当时,,此时.综上所述,可知当每平方米种植10株时,药材的年生长总量取得最大值40千克.【试题分析】本题第题当时,设,然后代入两组数值,解二元一次方程组可得参数a、b的值,即可得到函数v 关于x的函数表达式；第题设药材每平方米的年生长总量为千克,然后列出表达式,再分段求出的最大值,综合两段的最大值可得最终结果.本题主要考查应用函数解决实际问题的能力,考查了理解能力,以及实际问题转化为数学问题的能力.本题属中档题.21.【参考答案】解：,因为A,E,C三点共线,所以存在实数,使得,即,得,因为,是平面内两个不共线的非零向量,所以,解得,；因为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以,设,则,因为,所以,解得,所以点A的坐标为.【试题分析】利用A,E,C三点共线,设存在实数,使得,联立解方程组求出即可；为A,B,C,D四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以,由,联立解方程组,求出A的坐标即可.考查向量共线定理的应用,向量的运算,平面向量的基本定理,中档题.22.【参考答案】解：Ⅰ当时,恒成立,即时,恒成立,因为,所以恒成立,即在区间上恒成立,所以,即,所以即a的取值范围是.Ⅱ由已知,可知在上单调递增,在上单调递减,对于内的任意一个取数方法,当存在某一个整数2,3,,,使得时,.当对于任意的1,2,3,,,时,则存在一个实数k使得,此时,当时,式,当时,式,当时,式.综上,对于内的任意一个取数方法,均有.所以存在常数,使恒成立,所以函数在区间上具有性质P.此时M的最小值为3.【试题分析】Ⅰ当时,恒成立,可转化为恒成立,进而转化为函数最值问题解决；Ⅱ先研究函数在区间上的单调性,然后对内的任意一个取数方法,根据性质P的定义分两种情况讨论即可：存在某一个整数2,3,,,使得时,当对于任意的1,2,3,,,时；本题考查函数恒成立问题,考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力,本题综合性强、难度大,对知识能力要求较高.。
广东省广州市荔湾区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
的值是A. C. D. 【答案】，即，从而得到答案．【详解】．三个数，B.D.【详解】，．设集合，，若C. D.中，，则的值为C. 【答案】【详解】在中，，，，,故选：C．看作时间的函数的轴向左平移的一个可能的值为D.【答案】利用函数的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【详解】令为偶函数，，，当时，的一个可能的值为【点睛】本题考查函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，已知，，的夹角为，如图所示，若，中点，则的长度为【答案】的中线，从而有，根据长度的长度．【详解】根据条件：．故选：A．根据公式f(x)=B.【答案】解析式求值，当出现若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足B.D.得，代入计算比较大小可得考点：函数奇偶性及函数求解析式函数单调递减，且为奇函数，若，则满足的C. D.则有，解得，再利用单调性继续转化为，从而求得正解已知函数，则的零点所在区间为C. D.【详解】连续函数上单调递增，，的零点所在的区间为，故选：B．函数在区间的值为或 C.【答案】A，故，当时，在单调递减所以，此时时，在单调递增，在单调递减，解得时，在，解得综上可知，故选同角三角函数的基本关系式；计算______【答案】11．，，则【答案】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出，，，，故答案为：函数的解析式为．【答案】【解析】，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式．，再由函数的周期性可得．再由五点法作图可得，故函数的解析式为，故答案为．【点睛】本题主要考查函数周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．−）【答案】【解析】由题意在是偶函数，则不等式可，则，解得已知函数，1求的值；2若，，求【答案】(Ⅰ)=1；(Ⅱ)=代入可得：）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，，则，根据二倍角公式求出代入即可．试题解析：（1）因为，；）因为，，则。
，。
1.诱导公式；2.二倍角公式；3.两角和的余弦．已知向量，不共线，，的值，并判断是否同向；，夹角为，当为何值时，．，由数量积运算求出．【详解】，，即又向量，不共线，，，，即，与与夹角为又故，解得．时，．【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，已知函数．求函数的单调递增区间；，求函数【答案】（1）（）所以的单调递增区间为考点：三角函数的性质点评：解决的关键是能利用三角恒等变换，以及函数的性质准确的求解，属于基础题。
2019-2020广州荔湾区实验中学高一上册期末数学【试卷+答案】
分，即有
，那么 （ ）．
A.
点坐标为
A.
和直线 ，则
B.
的所有交点从左到右依次记为 ， ， ， ， （ ）．
C.
D.
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
， 被称为
，
狄利克雷函数，其中其中 为实数集， 为有理数集，有以下命题正确的个数是（ ）．
13.
14.
15.
16.
，
三、解答题
（ ） 17. 1
．
（2） ．
/
（ ） 18. 1 ； （2） ；
，． ．
（ ） 19. 1 （2） （3）
．
；
．
，
．
（ ） 20. 1 ；函数 在 上单调递增 （2） ．
（ ） 21. 1
，
，
，
，
，
．
（2） ．
（ ） 22. 1 ．
（2） ．
（ 3 ）当
时，不存在上限 ；
A.
B.
C.
D.
5. 函数
对于任意 都有
，它的
最小正周期为 ，则函数 图象的一个对称中心是（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 已知平面内一点 及 ，若
，则点 与 的位置关系是（ ）．
点 A. 在 外部 点 B. 在线段 上 点 C. 在线段 上 点 D. 在线段 上
/
7. 下列函数中，既是偶函数，又在区间
（ 1 ）求 关于 的函数关系式． （ 2 ）当 时，求 的最大值．
22. 对数函数
和指数函数
互为反函数，已知函数
，其反函数为 ．
（ 1 ）若函数
2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）函数3()log (2)f x x =+-的定义域为( )A ．1(2，2)B ．1[2，2)C ．1(2，2]D ．1[2，2]2．（5分）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…C ．()1f x x =+，x R ∈，()1g x x =+，x Z ∈D ．()f x x =，2()g x =3．（5分）函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)4．（5分）已知向量(3,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x 的值为( ) A ．6B ．6-C ．83-D ．835．（5分）函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(,4)-∞-上是增函数，则a 的范围是( ) A ．[5，)+∞B ．[3-，)+∞C ．(-∞，3]-D ．(-∞，5]-6．（5分）已知向量a ，b 满足||3a =，||23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒7．（5分）设0.3log 4a =，4log 3b =，20.3c -=，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c <<8．（5分）为了得到函数cos(2)()3y x x R π=-∈的图象，只需把函数cos2y x =的图象( )A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度9．（5分）已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin 1C ．2sin1D ．sin 210．（5分）已知向量(3,4)a =-，(4,3)b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是( ) A．B．-C ．5D ．5-11．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[0，]π内所有解的和为( )A ．6πB ．3π C ．2π D ．π12．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，122,01()1,1log x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+⎩…，若f （a ）4=-，则a 为( )A ．14-B ．3-C ．14-或3D ．14-或3-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）已知幂函数()y f x =的图象过点，则f （4）= ． 14．（5分）在不考虑空在不考虑空气阻力的条件下，某种飞行器的最大速度/vm s 和燃料的质量Mkg 、该飞行器（除燃料外）的质量mkg 的函数关系是22000log (1)Mv m=+，当燃料质量是飞行器质量的 倍时，该飞行器的最大速度为12/km s ． 15．（5分）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为 ． 16．（5分）在等腰直角ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足||1AP =，则AP BM 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知02πα<<，且5sin 13α=． （1）求tan α的值；（2）求2sin 22sin()sin 2cos ()sin 22απααπαα--++的值．18．（12分）已知全集U R =，集合2{|40}A x x x =-…，22{|(22)20}B x x m x m m =-+++…． （1）若3m =，求U B ð和AB ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知2()2sin 2()f x x x a a R =-++∈． （1）若x R ∈，求()f x 的单调递减区间； （2）若[2x π∈，]π时，()f x 的最小值为4-，求a 的值．20．（12分）药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量v （单位：千克）是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <…时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0． （1）当020x <…时，求函数v 关于x 的函数表达式；（2）当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（年生长总量=年平均生长量⨯种植株数）21．（12分）已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12BE e e λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知点(2,4)D ，1(2,1)e =--，2(2,2)e =-，若A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．22．（12分）已知函数()log a g x x =，其中1a >．（Ⅰ）当[0x ∈，1]时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()m x 是定义在[s ，]t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1x ，2x ，⋯，2n x -，1n x -，设1221n n x x x x --<<⋯<<，令0s x =，n t x =，如果存在一个常数0M >，使得11|()()|nii i m x m xM -=-∑…恒成立，则称函数()m x 在区间[s ，]t 上的具有性质P ．试判断函数()|()|f x g x =在区间21[,]a a 上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由．（注1102111:|()()||()()||()()||()()|)ni i n n i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-+⋯+-∑2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）函数3()log (2)f x x =+-的定义域为( )A ．1(2，2)B ．1[2，2)C ．1(2，2]D ．1[2，2]【解答】解：要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<，()f x ∴的定义域为1(,2)2．故选：A ．2．（5分）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+B ．()|1|f x x =+，11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…C ．()1f x x =+，x R ∈，()1g x x =+，x Z ∈D ．()f x x =，2()g x =【解答】解：A 中的2个函数()1f x x =-与21()1x g x x -=+ 的定义域不同，故不是同一个函数．B 中的2个函数()|1|f x x =+与11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩…具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数．D 中的2个函数()f x x =，2()g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数．综上，A 、C 、D 中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选B ．3．（5分）函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【解答】解：因为f （1）32610=+-=-<， f （2）94670=+-=>，所以f （1）f （2）0<， 函数是连续函数，所以函数()326x f x x =+-的零点所在区间是(1,2)； 故选：C ．4．（5分）已知向量(3,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则x 的值为( ) A ．6B ．6-C ．83-D ．83【解答】解：因为(3,2)a =，(,4)b x =且//a b ， 所以2340x -⨯=，解之可得6x = 故选：A ．5．（5分）函数2()2(1)2f x x a x =-+-+在(,4)-∞-上是增函数，则a 的范围是( ) A ．[5，)+∞B ．[3-，)+∞C ．(-∞，3]-D ．(-∞，5]-【解答】解：因为函数2()2(1)2f x x a x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-， 若函数()f x 在(,4)-∞-上是增函数， 则41a --…，解得3a -…， 故选：B ．6．（5分）已知向量a ，b 满足||3a =，||23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是( ) A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【解答】解：设两个向量的夹角为θ 3a b =- ∴||||cos 3a b θ=-∴1cos2θ==-[0θ∈，]π 120θ∴=︒故选：B ．。
2019-2020学年广东省高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，则A B =I （ ） A ．{1,3} B ．{1,3,6}C ．∅D ．{3,6}【答案】A【解析】根据集合的交集运算,即可得解. 【详解】集合{0,1,2,3,4,5}A =,{1,3,6,9}B = 由集合的交集运算可得{1,3}A B ⋂= 故选:A 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属于基础题.2．函数()()lg 2f x x +的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5【答案】A【解析】使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>． 【详解】由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．512π=（ ） A ．70︒ B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】B【解析】根据弧度与角度的转化,代入即可求解. 【详解】根据弧度与角度的关系180π︒=可得55180751212π︒︒=⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题. 4．若函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．1【答案】C【解析】根据幂函数定义可知2221m m --=,解方程即可求得m 的值. 【详解】因为函数()21()22m f x m m x -=--是幂函数,所以2221m m --=,解得1m =-或3m =. 故选:C 【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.5．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M 则（ ） A ．3|,2M k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭B ．3|,22k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭C ．|,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭D ．|2,2M k k Z πααπ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】根据角的表示方法及终边在y 轴的负半轴上,即可得解. 【详解】根据角的表示方法可知,终边在y 轴的负半轴上的角可以表示为22k παπ=-+,k ∈Z ,故选:D 【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在y 轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题. 6．圆心角为60°，弧长为2的扇形的面积为（ ） A ．130B ．30πC ．3πD ．6π【答案】D【解析】根据弧长公式，求得半径，结合扇形的面积公式即可求得. 【详解】由弧长公式l r θ=，得半径6r π=.故扇形的面积公式162S lr π==. 故选：D. 【点睛】本题考查弧长公式与扇形的面积公式，属基础题. 7．cos350sin 70sin170sin 20-=o o o o （ ） A ．3-B ．3C ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-o o o o ，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos30-=-==o o o o o o o o o ． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 8．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断. 【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 9．若α为第二象限角，下列结论错误的是（ ） A ．sin cos αα> B ．sin tan αα> C ．cos tan 0αα+< D ．sin cos 0αα+>【答案】D【解析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项. 【详解】因为α为第二象限角,所以sin 0α>,cos 0α<,tan 0α< A,B,C 对,D 不一定正确. 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.10．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9C ．10D ．14【答案】C【解析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x-<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想12．已知函数2()ln(1)f x x x =+，若(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)()0f x f mx ++-…恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据分子有理化,可判断()f x 为奇函数.由解析式判断出单调性,即可将不等式化简,求得m 的最大值. 【详解】依题意知函数()f x 的定义域为R ,()()()2222211()ln 1lnln 11x xx xf x x x x x x x++⎫⎫-=-+==--+⎪⎪⎭⎭+-即()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数.由解析式可知()f x 为减函数.所以不等式()0ff mx +-≤可化为()ff mx ≤,mx ≥,即在(0,)+∞上m ≤.1=>, 所以1,m m £的最大值是1. 故选:B 【点睛】本题考查了对数函数的运算性质,对数函数奇偶性及单调性的判断.根据奇偶性及单调性解不等式求参数,属于中档题.二、填空题13．已知tan 4α=-，则tan2α=_________. 【答案】815【解析】根据正切二倍角公式,代入即可求解. 【详解】由正切的二倍角公式,代入即可求解.22tan tan21tan ααα=-.()()22481514⨯-==-- 故答案为: 815【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题. 14．已知函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…，若()5f a =，则a =______.【答案】32-【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】函数26,0,()log (),0,x x f x x x +⎧=⎨-<⎩…所以当0a ≥时,()66f a a =+≥,即()5f a =无解; 当0a <,2()log ()5f a a =-=,即32a -=,解得32a =- 综上可知,32a =- 故答案为:32- 【点睛】本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 152032(3)log 6427π+-+-=__________.【答案】1【解析】根据指数幂运算及对数的性质,化简即可求解. 【详解】根据指数幂运算及对数的性质,化简可得2032(3)log 6427π-+-()2633231log 23=-++-31691=++-=.故答案为:1 【点睛】本题考查了指数幂运算及对数的性质应用,属于基础题.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数()()lg g x f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解. 【详解】解：由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题17．已知集合{|2A x x a =≤-或3}x a >+，050x B xx ⎧⎫-<⎧⎪⎪=⎨⎨⎬->⎩⎪⎪⎩⎭. （1）当1a =时，求A B U ；（2）若A B B =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|1x x ≤-或0}x >；（2）(,3][7,)-∞-+∞U【解析】（1）将1a =代入可得集合A.解不等式组求得集合B.即可根据并集运算求得A B U .（2）根据A B B =I ,可知集合B 为集合A 的子集,即B A ⊆.根据集合关系即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为0,50,x x -<⎧⎨->⎩.所以05x <<,即{|05}B x x =<<, 当1a =时,{|1A x x =≤-或4}x >, 所以{|1A B x x =≤-U 或0}x >. （2）因为A B B =I ,所以B A ⊆,由（1）知{|05}B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥, 即3a ≤-或7a ≥,所以实数a 的取值范围为(,3][7,)-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了集合的简单运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题. 18．已知角θ的终边经过点()2,3P -,求下列各式的值. (1)2sin 3cos sin θθθ-;(2)()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)23-(2)413- 【解析】（1）由三角函数定义可得3tan 2θ=-,对于原式分子分母同除cos θ,进而求解即可；（2）由三角函数定义可得sin θ==利用诱导公式化简,进而代入求解即可 【详解】解:(1)由角θ的终边经过点()2,3P -,可知3tan 2θ=-, 则322sin 2tan 2233cos sin 3tan 332θθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)因为sin 13θ==-, 所以()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin cos sin 2θθθ=++- 2sin 12θ=+-9411313=-=-【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数值19．已知函数()2cos()02f x x ππϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图象过点. （1）求函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值、最小值及对应的x 的值； （2）把()y f x =的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间.【答案】（1）()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；12()4x k k Z =-∈时，max ()2f x =；32()4x k k Z =+∈时，min ()2f x =-；（2）372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）将点代入解析式,结合02πϕ<<即可求得ϕ的值.进而求得函数()f x 的解析式;根据余弦函数的图像与性质,即可求得最大值、最小值及对应的x 的值.（2）根据三角函数的平移变换可求得()g x 的解析式,结合余弦函数的图像与性质即可求得其单调递减区间. 【详解】（1）代入点,得2cos(0)ϕ+=cos 2ϕ=. 因为02πϕ<<,所以4πϕ=,则()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 当24x k πππ+=,即12()4x k k Z =-∈时,max ()2f x =； 当24x k ππππ+=+,即32()4x k k Z =+∈时,min ()2f x =-.（2）由（1）知()2cos 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3()2cos (1)2cos 44g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 当322()4k x k k Z πππππ-+∈剟时,()g x 单调递减,所以3722()44k x k k Z ++∈剟, 所以()g x 的单调递减区间为372,2()44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质的简单应用,整体代入法求最值及单调区间,属于基础题.20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤，故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系． 21．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+06,||2πωϕ⎛⎫<<<⎪⎝⎭，()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，且481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，5cos 13C =，求cos A . 【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）3365或1665【解析】（1）根据对称轴和对称中心,可表示出周期.由06ω<<即可求得ω的值.再由对称轴即可求得ϕ的值,进而求得()f x 的解析式; （2）根据481225f B π⎛⎫+=⎪⎝⎭,代入解析式,结合同角三角函数关系式,即可求得sin ,cos B B 的值.再根据5cos 13C =求得sin C ,结合诱导公式及余弦的和角公式即可求得cos A . 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T , ∵()f x 的图象的一条对称轴是3x π=,一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭, ∴7(21)1234Tk ππ-=⨯-,*k N ∈, ∴21T k π=-,*k N ∈,∴221k ππω=-,*k N ∈, ∴42k ω=-,*k N ∈ ∵06ω<<,∴2ω= ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=,∴232k ϕππ+=+π,k Z ∈, ∴6k πϕπ=-+,k Z ∈.∵||2ϕπ<, ∴6πϕ=- ∴6πϕ=-∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由（1）知482sin 21225f B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭, 所以24sin 225B =,即12sin cos 25B B =.① 因为,,A BC 是ABC ∆的三个内角,0B π<<,所以sin 0B >,cos 0B >. 又因为22sin cos 1B B +=,②联立①②,得4sin ,53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin ,54cos .5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当4sin 5B =,3cos 5B =时, 3541233cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=；当3sin 5B =,cos 45B =时,4531216cos cos()cos cos sin sin 51351365A B C B C B B =-+=-+=-⨯+⨯=.【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求三角函数解析式.由同角三角函数关系式及余弦的和角公式求三角函数值,属于基础题.22．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）设0a >，函数2()cos2cos 3g x x a x a =+-+，如果总存在1],[x a a ∈-，对任意2x R ∈，()()12f x g x …都成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞【解析】（1）根据定义任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,利用作差()()12f x f x -,变形后即可判断符号,即可证明函数的单调性.（2）根据定义可判断()f x 和()g x 的奇偶性.由不等式在区间上的恒成立,可知存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x ….根据解析式及单调性,分别求得()f x 的最大值和()g x 的最大值,即可得不等式()25()33a a f a e e -=+≥.再利用换元法,构造对勾函数形式,即可解不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）证明：任取,12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -()()()11221212121222222222113333x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e ----⎡⎤⎛⎫++⎡⎤=-=-+-=-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()()()21121212121212122212(11333x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e ee e e ++++⎡⎤-⎫=-+=--=--⎢⎥⎪⎭⎣⎦因为12,(0,)x x ∈+∞,12x x <,所以121x x e e <<,120x x e e -<,121x x e +>,所以()()12f x f x <,即当120x x <<时,总有()()12f x f x <,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增.（2）由2e 2e ()()3x xf x f x -+-==,得()f x 是R 上的偶函数,同理,()g x 也是R 上的偶函数.总存在1[,](0)x a a a ∈->,对任意2x R ∈都有()()12f x g x …,即函数()y f x =在[,]a a -上的最大值不小于()y g x =,x ∈R 的最大值.由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当[,]x a a ∈-时,()f x 的最大值为()f a ,22211()2cos cos 2cos 3483a a g x x a x a x a ⎛⎫=+--=+--- ⎪⎝⎭.因为1cos 1x -≤≤,0a >,所以当cos 1x =时,()g x 的最大值为53. 所以()25()33a af a e e -=+≥. 令1(0)at e a =>>,则152t t +…,令1()(1)h t t t t=+>,易知()h t 在(1,)+∞上单调递增,又5(2)2h =,所以2t ≥,即2a e ≥, 所以ln 2a ≥,即实数a 的取值范围是[ln 2,)+∞. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由存在性与恒成立问题,解不等式求参数的取值范围,综合性强,对思维能力要求较高,属于难题.。
广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期末教学质量检测数学答案
2019-2020学年第一学期期末教学质量监测高一数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．2114．63 15．322 16．,33⎡-⎢⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17.（本小题满分10分） 已知20πα<<，且135sin =α. （1）求αtan 的值；（2）求2sin 22sin()sin 2cos sin 22απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.17.解：（1）因为135sin =α，20πα<<， 所以12cos 13α===，……………………………………4分 故125cos sin tan ==ααα. …………………………………… 5分 （2）222sin 22sin()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos ()sin 22απαααααπααααα---=+++………………… 7分 cos sin 1tan sin cos 1tan αααααα--==++ ………………… 9分51712517112-==+. ………………… 10分18.（本小题满分12分）已知全集U =R ，集合2{|40}A x xx =-≤，22{|(22)20}B x x m x m m =-+++≤.（1）若3=m ，求B ðU 和B A Y ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18.解：（1）由题设条件，得{|04}A x x =≤≤， ………………… 1分若3=m ，2{|8150}B x x x =-+≤，即{|35}B x x =≤≤ ， …………………2分{|3B x x =<ðU 或5}x >， …………………4分{|05}A B x x =≤≤U . …………………6分（2）{|04}A x x =≤≤，由02)22(22≤+++-m m x m x 得()[(2)]0x m x m --+≤,{|2}B x m x m =≤≤+ . …………………8分若A B ⊆，则有⎩⎨⎧≤+≥420m m ， …………………10分所以20≤≤m , …………………11分 所以实数m 的取值范围为{|02}m m ≤≤. …………………12分19.（本小题满分12分）已知2()2sin 22()f x x x a a =-+++∈R . （1）若R ∈x ，求)(x f 的单调递减区间；（2） 若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(x f 的最小值为4-，求a 的值.19．解：（1）因为2()2cos 21cos 22f x x x a x x a =++=+++=1)62sin(2+++a x π. ………………… 3分由Z ∈+≤+≤+k k x k ,2236222πππππ， 得 Z ∈+≤≤+k k x k ,326ππππ , …………………5分 所以()f x 的单调递减区间为]32,6[ππππk k ++ Z ∈k . …………………6分（2）因为,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22πx π≤≤， …………………7分 所以6136267πππ≤+≤x . …………………8分 所以当3262x ππ+=，即32π=x 时，函数()f x 取最小值-1. ………………10分即()f x 的最小值为412-=++-a ， 所以3-=a . …………………12分20.（本小题满分12分）药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量ν（单位：千克）是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，ν的值为2；当204≤<x 时，ν是x 的一次函数，其中当x 为10时，ν的值为4；当x 为20时，ν的值为0． （1）当200≤<x 时，求函数ν关于x 的函数表达式；（2）当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（年生长总量=年平均生长量⨯种植株数）20. 解：（1）由题意得，当40≤<x 时，2=v ； …………………1分 当204≤<x 时，设b ax v +=， …………………2分由已知得⎩⎨⎧=+=+410020b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=852b a ，所以852+-=x v ， …………………4分故函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<=204,85240,2x x x v ． …………………5分（2）设药材每平方米的年生长总量为)(x f 千克，依题意及（1）可得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<=204,85240,2)(2x x x x x x f ， …………………7分当40≤<x 时，()f x 为增函数，故824)4()(max =⨯==f x f ；………………8分 当204≤<x 时，40)10(52)20(52852)(222+--=--=+-=x x x x x x f ， 40)10()(max ==f x f , …………………11分综上，当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． ……12分21.（本小题满分12分）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB =+u u u re e ,21e e λ+-=BE ,212e e +-=，且C E A ，，三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知点24D（，），1(21)=--，e ，2(22)=-，e ，若D C B A ，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．21.解：（1）212121λ)e (e )e e ()e (2e λ1++=+-++=+=，……………2分 因为C E A ，，三点共线,所以存在实数k ,使得EC k AE =,即)2()1(2121e e e e +-=++k λ, ………………………… 3分 得0=-+++21)1()21(e e k k λ. …………………………4分 因为21e ,e 是平面内两个不共线的非零向量, 所以⎩⎨⎧=-+=+01021k k λ，解得21-=k ，23-=λ. …………………………6分(1) 因为D C B A ，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形,所以=.设(,)A x y ,则)42(y x --=， ， …………………………8分因为），（），（，2711)36(21321=-+=--=+=e e ，……………………10分 所以⎩⎨⎧=-=-2472y x ，解得⎩⎨⎧=-=25y x ，所以点A 的坐标为)25(，-. ……………………………………………………12分22．（本小题满分12分）已知函数x x g a log )(=，其中1>a .（1）当]1,0[∈x 时， 12(>+）xa g 恒成立，求a 的取值范围； （2）设)(x m 是定义在],[t s 上的函数，在),(t s 内任取1-n 个数1221,,,,--n n x x x x Λ， 且1221--<<<<n n x x x x Λ，令0x s =，n x t =，如果存在一个常数0>M ，使得11|()()|nii i m x m xM -=-≤∑恒成立，则称函数)(x m 在区间],[t s 上具有性质P .试判断函数()|()|f x g x =在区间21,a a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111|()()||()()||()()||()()|nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑L ）22． 解：（1）当]1,0[∈x 时，1)2(>+xa g 恒成立，即]1,0[∈x 时，1)2(log >+x a a 恒成立， …………………………1分 因为1>a ，所以a a x>+2恒成立， …………………………2分 即xa a <-2在区间]1,0[上恒成立，所以12<-a ，即3<a ，…………………4分 所以31<<a .即a 的取值范围是)3,1(. …………………………5分（2）函数)(x f 在区间21,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有性质P . …………………………6分因为()|()|f x g x =在],1[2a 上单调递增，在1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ………………7分对于21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭内的任意一个取数方法212101a x x x x x a n n =<<<<<=-Λ，当存在某一个整数}1,,3,2,1{-∈n k Λ，使得1=k x 时，)]()([)]()([])()([)()(1211101k k ni i i x f x f x f x f x f x f x f x f -++-+-=--=-∑Λ)]()([)]()([)]()([1121-+++-++-+-+n n k k k k x f x f x f x f x f x f Λ321)]1()([)]1()1([2=+=-+-=f a f f af ………………9分当对于任意的}1,,3,2,1{-∈n k Λ，1≠k x 时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<时，)]()([)]()([])()([)()(1211101k k ni i i x f x f x f x f x f x f x f x f -++-+-=--=-∑Λ1211|()()|[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-L011[()()]|()()|()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+- ……（*）当)()(1+>k k x f x f 时，（*）式011()()2()32()3n k k f x f x f x f x ++=+-=-<， 当)()(1+<k k x f x f 时，（*）式0()()2()32()3n k k f x f x f x f x =+-=-<， 当)()(1+=k k x f x f 时，（*）式011()()()()3()()3n k k k k f x f x f x f x f x f x ++=+--=--< ………11分 综上，对于),1(2a a内的任意一个取数方法212101a x x x x x an n =<<<<<=-Λ， 均有∑=-≤-ni i ixm x m 113)()(.所以存在常数3≥M ，使∑=-≤-ni i iM xm x m 11)()(恒成立，所以函数)(x f 在区间],1[2a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. ……………………… 12分。
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年广东省广州市八区联考高一上学期期末数学试题及答案一、单选题 1．函数()()32f x log x =+-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x的范围即可． 【详解】 要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<， ()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．2．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A ．21()1,()1x f x x g x x -=-=+B ．1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C ．()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R Z D ．2(),()f x x g x ==【答案】B【解析】根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系． 【详解】解：A 中的2个函数()1f x x 的定义域为R ，21()1x g x x -=+的定义域为()(),11,-∞--+∞，定义域不同，故不是同一个函数．B 中的2个函数()|1|f x x =+与11()11x x g x x x +-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C 中的2个函数()1f x x =+，x ∈R 与()1g x x =+，x ∈Z 的定义域不同，故不是同一个函数．D 中的2个函数()f x x =的定义域为R ，2()g x =的定义域为[)0,+∞，定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数． 综上，A 、C 、D 中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选B ． 【点睛】本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系． 3．函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】 因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6 B ．－6 C ．83-D ．83【答案】A【解析】两向量平行，內积等于外积． 【详解】2346x x =⨯⇒=，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题． 5．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞-【答案】B【解析】因为函数()f x 开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数，则41a -≤-，即可解出答案．【详解】 因为函数()()2212f x xa x =-+-+，开口向下，对称轴1x a =-，若函数()f x 在(),4-∞-上是增函数， 则41a -≤-，解得3a ≥-， 故选：B 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，根据函数的单调性求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，属于基础题． 6．已知向量a ，b 满足||3,||23,3a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°【答案】B【解析】设两个向量的夹角θ，利用向量的数量积公式列出方程，求出夹角的余弦，利用夹角的范围求出夹角． 【详解】解：设两个向量的夹角为θ3a b ⋅=-∴cos 3a b θ=- ∴1cos 23a b a bθ⋅===-⨯[]0,θπ∈120θ∴=︒故选：B ． 【点睛】求两个向量的夹角，一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角． 7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ） A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<b<a D ．b<a<c【答案】A【解析】试题分析：()20.34log 40,log 30,1,0.31a b c a b c -==∈=∴<<【考点】1.指数函数对数函数性质；2.比较大小8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度 【答案】D【解析】设出平移量a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案． 【详解】设将函数2y cos x =的图象向右平移a 个单位后，得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，则()223cos x a cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得6a π=，所以，函数2y cos x =的图象向右平行移动6π个单位长度，可得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，故选：D 【点睛】本题考查的知识点是函数()y Acos x ωϕ=+的图象变换，其中设出平移量为a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2 B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 2【答案】B【解析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =， 故选：B. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.10．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A ．B ．-C ．5D ．5-【答案】D【解析】向量b a -在向量a 方向上的投影，计算()b a a a-⋅即可得出结论． 【详解】向量()3,4a =-，()4,3b =，()1,7b a ∴-=，()()137425b a a -⋅=⨯+⨯-=-；则向量b a -在向量a 方向上的投影是：()2253(4)b a a a-⋅==-+-．故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积，投影，主要考查基本公式，属于基础题． 11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3πC ．2πD ．π【答案】B【解析】由函数的图象的最大值求出A ，由过点()0,1求ϕ，由点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭求ω，可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】 根据函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图，可得2A =，再把点()0,1代入可得21sin ϕ=，求得12sin ϕ=，6πϕ∴=． 再根据五点法作图可得5126ππωπ⋅+=，2ω∴=，故函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈， 当[]0,x π∈时，函数的对称轴是6x π=，故由图象可得方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有的解共有2个，且这2个解的和等于263ππ⨯=， 故选：B 【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，一般由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（） A ．14- B ．3- C ．14-或3D ．14-或3- 【答案】D【解析】根据题意得到0a <，分01a <-< 和1a -≥ 两种情况得到函数在不同的情况下的解析式，进而得到参数值. 【详解】由题意知，当0x >时，()2f x ≥，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()2f x ≤-， ()4f a =-，0a ∴<，()()4f a f a =--=-，()4f a ∴-=，当01a <-<时，()122log 4a -+=，解得14a =-， 当1a -≥时，14a -+=，解得3a =-， 综上可得，14a =-或3-. 故答案为D. 【点睛】解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决．(3)求f (f (f (a )))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则．二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()4f =___________.【答案】12【解析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再代入求值即可; 【详解】解：设幂函数()f x x α=，幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴222α=，解得12α=-， 12()f x x-∴=，()121442f -∴==， 故答案为：12．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及函数值的计算，属于基础题.14．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 【答案】63.【解析】试题分析：令,则，即，即，所以；即当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度可达12Km/s.【考点】函数模型的应用. 15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 【答案】322【解析】由()()44ππααββ+=+--，再结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】 解：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=, 又()()44ππααββ+=+--， 所以tan()tan()4tan()tan[()()]441tan()tan()4παββππααββπαββ+--+=+--=++-=213542122154-=+⨯， 故答案为322.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑()()44ππααββ+=+--，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题. 16．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得234AP BM sin πθ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，进而得解． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标， 由1AP=可得，点P 在圆221x y +=上，设(),P cos sin θθ，易知()1,0B ，()0,1C ，由3BC BM =可得，21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()11,,,33AP cos sin BM θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 则1123334AP BM cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=-+=- ⎪⎝⎭， 由正弦函数的有界性可知，22AP BM ⎡⋅∈⎢⎣⎦． 故答案为：22⎡⎢⎣⎦．【点睛】本题考查平面向量的运用，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．三、解答题 17．已知02πα<<，且513sin α=． ()1求tan α的值；()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)512；(2)717【解析】()1由513sin α=．02πα<<，利用同角三角函数关系式先求出cos α，由此能求出tan α的值．()2利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为222sin cos 2sin 2sin 2sin cos αααααα++，再化简为关于sin ,cos αα的齐次分式求值．【详解】 (1)因为513sin α=．02πα<<，所以1213cos α===， 故512sin tan cos ααα==． (2)()22222221221222sin sin sin sin cos sin cos sin tan sin sin cos sin cos tan cos sin απααααααααπαααααααα-----===+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭51712517112-==+． 【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题型． 18．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x xx ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
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广东省广州市荔湾区2019-2020学年高一上学期期
末数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 函数的定义域为
A．B．C．D．
2. 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A．f（x）=x-1，B．f（x）=|x+1|，
C．f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，
x∈Z D．f（x）=x，
3. 函数的零点所在的区间是( )
A．B．C．D．
4. 已知向量，且，则的值为()
A．6 B．－6
C．D．
5. 函数在上是增函数，则a的范围是
A．B．C．D．
6. 已知向量，满足，则与的夹角是
（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
7. 设则a，b，c大小关系是（）
A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<a<c
8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
9. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）
A．2
C．D．
B．
10. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影是
A．B．C．5 D．
11. 已知函数在一个周期内的简图如图所示，则方程为常数且在内所有解的和为
D．
A．B．C．
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，
，若，则（）
A．B．
C．或D．或
二、填空题
13. 已知幂函数的图像过点，则___________.
14. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度和燃料的质量、火
箭（除燃料外）的质量的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12Km/s．
15. 已知，,则________.
16. 在等腰直角中，，，M是斜边BC上的点，满足
，若点P满足，则的取值范围为______．
三、解答题
17. 已知，且．
求的值；
求的值．
18. 已知全集集合. (Ⅰ)若，求和；
(Ⅱ)若，求实数m的取值范围.
19. 已知．
若，求的单调递减区间；
若时，的最小值为，求a的值．
20. 药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工
种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量单位：千
克是每平方米种植株数x的函数．当x不超过4时，v的值为2；当
时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值
为0．
当时，求函数v关于x的函数表达式；
当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量单位：千克
取得最大值？并求出这个最大值．年生长总量年平均生长量种植株数
21. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，
，，且A，E，C三点共线．
求实数的值；
已知点，，，若A，B，C，D四点按顺时针顺
序构成平行四边形，求点A的坐标．
22. 已知函数，其中．
Ⅰ当时，恒成立，求a的取值范围；
Ⅱ设是定义在上的函数，在内任取个数，，，，，设，令，，如果存在一个常数
，使得恒成立，则称函数在区间上的具
有性质P.试判断函数在区间上是否具有性质P？若具有性
质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．注：。