4指数与指数函数(一)
指数与指数函数-必修一
11 33
2
31 4 4
3
11 1 1 33 3 3
(2 3 )＝2＋4×27＝110. 11
2 3
n m－2n
2
＝m ＝a.
3
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指数函数的图象及应用 xax 【例 2】(1)函数 y＝ (0<a<1)图象的大致形状是 ( D ) |x|
题 型二
xx a x>0 a， x>0 x， x>0 . 函数定义域为 ∈ R, ≠ 0}, ＝ ＝ a ， xa 函数定义域为{ {x x||x x ∈ R,x x ≠ 0}, 且 且yy ＝ ＝ x x x<0 |x ||＝ |x a ， 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y＝ － － a x，x<0 |x| －a ，x<0 xx xa xax
知识要点
6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
y bx y a
x
y
y cx y dx
o
x=1
x
0 b a 1 d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
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基础自测
题号 答案
1 2
3 4 5
x ,(a b) , m
7
2 3
3 4
5 2
( 2, 1) (1, 2)
3
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题 型二
指数函数的图象及应用
【例 2】 (2)若函数 y＝ax＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、
0 a 1, b 0 ． 三、四象限,则 a, b 的取值范围是__________________
(2)函数 y＝a ＋b－1 的图象经过第二、三、四象限， 大致图象如图． 所以函数必为减函数． 所以函数必为减函数． 所以函数必为减函数． 故 0< 0<a a<1. <1. 故 故 0<a<1. 又当 x x＝ ＝0 0 时， 时，y y<0 <0， ， 又当 又当0 x＝0 时，y<0， 即a a0 ＋b b－ －1<0 1<0， ，∴ ∴b b<0. <0. 0＋ 即 即 a ＋b－1<0， ∴b<0.
指数与指数函数
指数与指数函数1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 当n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈例题精讲【例1】求下列各式的值：（1（*1,n n N >∈且）； （2. 解：（1）当n3π-； 当n|3|3ππ-=-. （2||x y -.当x y ≥x y =-；当x y <y x =-.【例2】已知21na =+，求33n nn na a a a --++的值.解：332222()(1)1111n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-=++. 【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2a ＞0，b ＞0）； （3）.解：（1）原式=2111150326236[2(6)(3)]44a bab a +-+-⨯-÷-==.（2）原式=1312322123[()](/)a b ab ab b a ⋅⋅=1136322733a b a b a b⋅=104632733a b a b=a b.）原式22111144336444(33)(3)(3)33=⨯=⨯=⨯=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：（1（2）++⋅⋅⋅解：（1）原式=22（2）原式=+⋅⋅⋅+=112-⋅⋅⋅=11)2.练习：1.2指数函数及其性质（4）指数函数¤例题精讲：题型一：求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域： （1）132xy -=； （2）51()3xy -=； （3）1010010100x x y +=-.解：（1）要使132xy -=有意义，其中自变量x 需满足30x -≠，即3x ≠. ∴ 其定义域为{|3}x x ≠.（2）要使51()3xy -=有意义，其中自变量x 需满足50x -≥，即5x ≤. ∴ 其定义域为{|5}x x ≤.（3）要使1010010100x x y +=-有意义，其中自变量x 需满足101000x -≠，即2x ≠. ∴其定义域为{|2}x x ≠.题型二：求函数的值域【例2】求下列函数的值域：（1）2311()3x y -=； （2）421x x y =++解：（1）观察易知2031x ≠-， 则有203111()()133x y -=≠=. ∴ 原函数的值域为{|0,1}y y y >≠且.（2）2421(2)21x x x x y =++=++. 令2x t =，易知0t >. 则22131()24y t t t =++=++.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到213()24y t =++在0t >上为增函数，所以221313()(0)12424y t =++>++=. ∴ 原函数的值域为{|1}y y >.【例3】函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1,0a b >< B ．1,0a b >> C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<<解：从曲线的变化趋势，可以得到函数()f x 为减函数，从而0<a <1；从曲线位置看，是由函数(01)x y a a =<<的图象向左平移|-b |个单位而得，所以-b >0，即b <0. 所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b 的范围. 也可以取x =1时的特殊点，得到01b a a -<=，从而b <0.【例4】已知函数23()(0,1)x f x a a a -=>≠且.（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.解：（1）当230x -=，即23x =时，2301x a a -==. 所以，该函数的图象恒过定点2(,1)3.（2）∵ 23u x =-是减函数，∴ 当01a <<时，()f x 在R 上是增函数；当1a >时，()f x 在R 上是减函数.【例5】按从小到大的顺序排列下列各数：23，20.3，22，20.2.解：构造四个指数函数，分别为3x y =，0.3x y =，2x y =，0.2x y =，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是0.2x y =，0.3x y =，2x y =，3x y =. 如右图所示.由于0x ，所以从小到大依次排列是：，，点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比较问题. 当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比较此类大小.【例6】已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性.解：（1）()f x 的定义域为R . ∵ 21(21)21221()()21(21)21221x x x x x x x x x x f x f x ---------====-=-++++.∴ ()f x 为奇函数.（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则121212*********(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++.由于12x x <，从而1222x x <，即12220x x -<.∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <. ∴ ()f x 为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例7】求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =-.解：（1）设2,23u y a u x x ==+-.由2223(1)4u x x x =+-=+-知，u 在(,1]-∞-上为减函数，在[1,)-+∞上为增函数. 根据u y a =的单调性，当1a >时，y 关于u 为增函数；当01a <<时，y 关于u 为减函数. ∴ 当1a >时，原函数的增区间为[1,)-+∞，减区间为(,1]-∞-； 当01a <<时，原函数的增区间为(,1]-∞-，减区间为[1,)-+∞. （2）函数的定义域为{|0}x x ≠. 设1,0.21x y u u ==-. 易知0.2x u =为减函数. 而根据11y u =-的图象可以得到，在区间(,1)-∞与(1,)+∞上，y 关于u 均为减函数. ∴在(,0)-∞上，原函数为增函数；在(0,)+∞上，原函数也为增函数题型：指数函数相关的函数图像例题一：函数331x x y =-的图象大致是( )．题型二：指数函数性质的应用练习：例1、若231++<x x a a()1,0≠>a a 且，求：x 的取值范围。
指数与指数函数 (1)
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
指数式与指数函数
解析：因为
CLI
Cf(xK)＝T
1 O2
x，f(x1＋x2)＝
ADD TITL
1 x1 2E
x2
＝
1 2
x1
·1 2
x2
＝f(x1)·f(x2)，
所以①成立，②不成立；
感谢您的欣赏 显然函数
f(x)＝
1 2
x
单调递减，即fxx11－ －fx2x2<0，故③成立；
当 x1<0 时，f(x1)>1，fx1x1－1<0， 当 x1>0 时，答0<案f(x1：)<1①，f③x1x④1－⑤1<0，故④成立；
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
因此 f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
我们所要研究的函数都是将一次函数、二次函数、 反比例函数、指数函数等通过加减乘除或者复合而成的． f(x)＝ 3x＋23－x可以看做 y＝32x与 y＝32－x相加而得到；也可通过 y＝12t＋1t ， t＝3x 复合而成．因此可利用复合函数的单调性判断 f(x)＝3x＋23－x的 单调区间．
m an，
1．分数指数
在运算过程中，
幂的定义揭示 要贯彻先化简后
了分数指数幂 运算的原则，并
与根式的关系， 且要注意运
因此
算的顺序． 2．利用指数函数的单调性可比较两个幂的 大小．当幂的底数、 指数都不同时，可选择中间量进行比较．
01
添加标题
在指数函数解析式中，必须时刻注意底 数 a>0 且 a≠1，对于
进行化简时，要先 a6b6
是以分数指数幂的
将根式化
形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示；
004指数与指数函数(一)生
高一数学基础教材（A ）—04第二章 基本初等函数2-1 指数与指数函数（一）✍基础知识：1．正整指数幂a n ＝na a a a ⨯⋯⋯⨯⨯⨯.a n 叫做a 的 ，a 叫做幂的 ，n 叫做幂的 ，并规定a 1＝a . 2．零指数幂与负整数指数幂：规定：a 0＝1(a ≠0)，a －n＝ (a ≠0，n ∈N ＋).3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．(1)a m ·a n ＝ (m ，n ∈Z)；(2)(a m )n＝ (m ，n ∈Z)；(3) n m aa ＝ (a ≠0，m ，n ∈Z)；(4)(ab )m＝ (m ∈Z).4．a 的n 次方根的意义如果存在实数x ，使得x n＝a (a ∈R ，n >1，n ∈N ＋)，则x 叫做 ．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．5．根式的意义和性质当式子na 有意义时， 叫做根式， 叫做根指数． 根式的性质：(1)(na )n＝ (n >1，且n ∈N ＋)； (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧ ， 当n 为奇数时， ， 当n 为偶数时.6．分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N ＋，且m n为既约分数)；(2)正数的负分数指数幂的意义：a m n-＝ (a >0，m ，n ∈N ＋，且m n为既约分数)； (3)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 7．有理指数幂的运算性质(1)a αa β＝ (a >0，α，β∈Q)；(2)(a α)β＝ (a >0，α，β∈Q)；(3)(ab )α＝ (a >0，b >0，α∈Q)．✍例题讲解：【例1】 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【巩固】1、化简(a －1)2＋（1－a ）2＋33(1)a -＝________．【巩固】2．计算下列各式的值：(1) 33(4)-；(2) 42(9)-；(3)66(3)π-；(4)88(2)x -.【例2】用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)：(1)3a ·4a ； (2) a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3.【巩固】3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0)C ．x －34＝4（1x）3(x >0) D ．x －13＝－3x (x ≠0)【巩固】4．用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2(a >0)； (2)b 3a ·a 2b 6(a >0，b >0)．【例3】 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋(0.1)－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748.【巩固】5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73D.32b 73【巩固】6．已知a ＋a －1＝5，则a 2＋a －2＝________．【巩固】7．(1)计算：(0.0254)－14－[(78)－2.6]0＋(34)34·(22)53－160.75；(2)已知10a＝2，10b＝3，求1002a －13b的值．课堂练习一．选择题 1．将523写为根式，则正确的是( )A.352B.35 C.532D.532．根式1a 1a(式中a ＞0)的分数指数幂形式为( )A ．a －43 B ．a 43C ．a －34 D ．a 34.3.a －b2＋5a －b 5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 4．下列各式正确的是( )A.32＝－3B.4a 4＝aC.22＝2 D ．a 0＝15．若(x －5)0有意义，则x 的取值范围是( )A ．x >5B ．x ＝5C ．x <5D ．x ≠56．若xy ≠0，那么等式 4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <07．计算2n ＋12122n ＋14n·8－2(n ∈N *)的结果为( )A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．(12)2n －7 8．化简 23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 9．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2二．填空题10．计算：(π)0＋2－2×(214)12＝________.11．根式a －a 化成分数指数幂是________．12．化简11＋62＋11－62＝________.13．化简(3＋2)2013·(3－2)2014＝________.三．解答题 14．化简求值：(1)0.064－13－(－18)0＋1634＋0.2512； (2)a －1＋b －1ab －1(a ，b ≠0)．15．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值．16．已知a 2n＝2＋1，求a 3n ＋a －3na n ＋a －n的值．。
指数与指数函数练习题含答案
指数与指数函数练习题（1）1. 化简的结果是（）A.−2B.−2C.−2D.−22. 下列各函数中，值域为(0, +∞)的是（）A.y=2−x2 B.y=√1−2x C.y=x2+x+1 D.y=31x+13. 函数y=1sin x−x的一段大致图象是（）A. B.C. D.4. 函数f(x)=(12)x的值域是（）A.(0, +∞)B.(−∞, +∞)C.(0, 1)D.(1, +∞)5. 若函数f(x)＝a|2x−4|(a>0, a≠1)，满足f(1)=19，则f(x)的单调递减区间是（）A.(−∞, 2] B.[2, +∞) C.[−2, +∞) D.(−∞, −2]6. 如图是二次函数f(x)=x 2−bx +a 的部分图象，则函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是( )A.(14，12) B.(1, 2)C.(12，1)D.(2, 3)7. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)>0的解集是( ) A.(−∞, −2)∪(0, 2) B.(−∞, 0)∪(2, +∞) C.(−2, 0)∪(0, 2)D.(−2, 0)∪(2, +∞)8. 若2x ＝7，2y ＝6，则4x−y 等于（ ）A. B. C. D.9. 已知a >0，则2√a⋅√a 23=( )A.a 65B.a 56C.a −56D.a 5310. 下列运算结果中，一定正确的是（ ） A.a 3⋅a 4＝a 7 B.(−a 2)3＝a 6C.√a 88=aD.√(−π)55=−π11. 若函数(a >0，且a ≠1)是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A.a ＝8B.f(0)＝−3C.D.a ＝4E.f(2)＝1612. 若a ＝log 20.5，b ＝20.5，c ＝0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是（ ）A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.c <a <b13. 若函数f(x)=(a −1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．14. 函数f(x)=a x +3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15. ＝________；＝________．16. 函数y =−a x−2+1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________；17. 已知函数f(x)=a⋅2x −12x +1的图象经过点(1,13)．（1）求a 的值；（2）求函数f(x)的定义域和值域．18. 求值：（1）；（2）已知2a ＝5b ＝m ，且，求实数m 的值．19. （1）计算：0.064−13−(−57)0+[(−2)3]−43+16−0.75； 19.（2）化简：•(a 23−1−12−12⋅b13√a⋅b 5620. 请根据给出的函数图象指出函数的极值点和最大（小）值点．21. 已知(a>0，且a≠1)．（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性．（2）如果f(x)<g(x)，那么x的取值范围是多少？22. 已知函数y＝a（）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．（1）求该函数的解析式，并画出图象；（2）判断该函数的奇偶性和单调性．参考答案与试题解析 指数与指数函数练习题（1）一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 5 分 ，共计45分 ） 1.【答案】 B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2.【答案】 A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：对于A ，y =2−x 2=(√22)x的值域为(0, +∞)；对于B ，因为1−2x ≥0， 所以2x ≤1，x ≤0，y =√1−2x 的定义域是(−∞,0]， 所以0<2x ≤1， 所以0≤1−2x <1，所以y =√1−2x 的值域是[0,1)．对于C ，y =x 2+x +1=(x +12)2+34的值域是[34,+∞)； 对于D ， 因为1x+1∈(−∞,0)∪(0,+∞)，所以y =31x+1 的值域是(0,1)∪(1,+∞)． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断． 【解答】f(−x)=−1sin x−x=−f(x)，∴y＝f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y=−1π<0，4.【答案】A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的图象与性质，即可得出f(x)的值域是什么．【解答】解：∵函数f(x)=(12)x是指数函数，定义域是R，∴f(x)的值域是(0, +∞)．故选：A．5.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】由f(1)=19，解出a，求出g(x)＝|2x−4|的单调增区间，利用复合函数的单调性，求出f(x)的单调递减区间．【解答】由f(1)=19，得a2=19，于是a=13，因此f(x)＝(13)|2x−4|．因为g(x)＝|2x−4|在[2, +∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2, +∞)．故选：B．6.【答案】C【考点】二次函数的性质函数零点的判定定理【解析】由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g(x)的表达式计算g(12)和g(1)的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：∵f(x)=x2−bx+a，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴，12<x =b2<1 ∴ 1<b <2∴ f ’(x)=2x −b∴ g(x)=ln x +f′(x)=ln x +2x −b 在(0, +∞)上单调递增且连续 ∵ g(12)=ln 12+1−b <0， g(1)=ln 1+2−b =2−b >0，∴ 函数g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是(12,1).故选C . 7.【答案】 A【考点】其他不等式的解法 函数单调性的性质【解析】根据奇函数的性质求出f(−2)=0，由条件画出函数图象示意图，结合图象即可求出不等式的解集． 【解答】解：∵ f(x)为奇函数，且f(2)=0，在(−∞, 0)是减函数， ∴ f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0, +∞)内是减函数， ∴ 在(−∞,0)上，f(x)>0的解为(−∞,2), 在(0,+∞)上，f(x)>0的解为(0,2).∴ 不等式f(x)>0的解集为(−∞, −2)∪(0, 2). 故选A ． 8. 【答案】 D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答】2√a⋅√a23=a 2a 12⋅a 23=a 2a 76=a 56，二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 10.【答案】 A,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据有理数指数幂的运算法则计算． 【解答】A 选项a 3⋅a 4＝a 3+4＝a 7，正确；B 选项(−a 2)3＝−a 6，错误；C 选项当a ≥0时，√a 88=a ，当a <0时，√a 88=−a ，错误； D 选项√(−π)55=−π，正确． 11.【答案】 A,C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 12.【答案】a ＝log 20.5＜0，b ＝20.5＞1，0＜c ＝0.52＜1，则a ＜c ＜b ，则选：C 【考点】指数函数的图象与性质 【解析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a ，b ，c 的大小即可． 【解答】a ＝log 20.5<0，b ＝20.5>1，0<c ＝0.52<1， 则a <c <b ， 则选：C ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.【答案】(1, 2)∪(2, +∞) 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】根据指数函数的定义，底数大于0且不等于1，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵ 函数f(x)=(a −1)x 是指数函数， ∴ {a −1>0a −1≠1，解得a>1且a≠2；∴实数a的取值范围是(1, 2)∪(2, +∞)．故答案为：(1, 2)∪(2, +∞)．14.【答案】(0, 4)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=a x+3的图象可以看作把f(x)=a x的图象向上平移3个单位而得到，且f(x)=a x一定过点(0, 1)，则f(x)=a x+3应过点(0, 4).故答案为：(0, 4).15.【答案】6,【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】(2, 0)【考点】指数函数的图象与性质【解析】结合指数函数过(0,1)点，结合题目条件，即可得出答案．【解答】令x−2=0，解得x=2当x=2时，y=−a2−2+1=0∴函数y=−a x−2+1(a>0且a≠1）图象过的定点为(2,0)答案：（20）四、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】原式＝＝＝99；因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以，所以．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）直接利用有理数指数幂及根式的运算性质求解即可；（2）先利用指数式和对数式的互化，表示出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质求解即可． 【解答】原式＝＝＝99；因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以，所以．19. 【答案】原式＝0.4−1−1+2−4+2−3=52−1+116+18=2716． 原式=a−13b 12⋅a −12⋅b 13a 16⋅b 56=a−13−12−16⋅b12+13−56=a −1=1a ．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】原式＝0.4−1−1+2−4+2−3=52−1+116+18=2716．原式=a −13b 12⋅a −12⋅b 13a 16⋅b 56=a −13−12−16⋅b 12+13−56=a −1=1a ． 20.【答案】A ．函数的极大值点为x 2，极小值点为x 1，x 3，最大值点为a ，x 2，最小值点为x 3，B ．函数的极大值点为x 1，x 3极小值点为x 2，最大值点为x 1，最小值点为b ，C ．函数的极大值点为x 1，极小值点为x 2，最大值点为b ，最小值点为a【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数极值，最值与图象的关系进行判断即可．【解答】A ．函数的极大值点为x 2，极小值点为x 1，x 3，最大值点为a ，x 2，最小值点为x 3，B ．函数的极大值点为x 1，x 3极小值点为x 2，最大值点为x 1，最小值点为b ，C ．函数的极大值点为x 1，极小值点为x 2，最大值点为b ，最小值点为a 21.【答案】 当0<a <1时，>1，则f(x)＝a x 在R 上单调递减，g(x)＝．当a >2时，0<，则f(x)＝a x 在R 上单调递增，g(x)＝．因为f(x)<g(x)，即a x <，即a x <a −x ，当0<a <7时，不等式即为x >−x ；当a >1时，不等式即为x <−x ，综上，当0<a <3时，+∞)，当a >1时，不等式的解集为(−∞．【考点】函数单调性的性质与判断利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】根据题意，函数y＝a（）|x|+b的图象过原点，则有7＝a+b，则a＝−b，又由f(x)的图象无限接近直线y＝−2但又不与该直线相交，则b＝2，又由a+b＝6，则a＝−2，则f(x)＝−2×（）|x|+2，其图象如图：根据题意，f(x)＝−7×（）|x|+3，其定义域为R，有f(−x)＝−2×（）|x|+2＝f(x)，则f(x)是偶函数，又由f(x)＝，f(x)在(0, +∞)上为增函数，0)上为减函数．【考点】函数的图象与图象的变换函数奇偶性的性质与判断分段函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
指数与指数函数
指数与指数函数指数与指数函数1.1 指数与指数幂的运算1) 根式的概念如果$x=a$，$a\in R$，$x\in R$，$n>1$，且$n\in N^+$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根。
当$n$是奇数时，$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
当$n$是偶数时，正数$a$的正的$n$次方根用符号$n\sqrt{a}$表示，负的$n$次方根用符号$-n\sqrt{a}$表示。
负数$a$没有$n$次方根。
式子$n\sqrt{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
当$n$为奇数时，$a$为任意实数；当$n$为偶数时，$a\geq0$。
根式的性质：$(n\sqrt{a})^n=a$；当$n$为奇数时，$n\sqrt{a^n}=a$；当$n$为偶数时，$n\sqrt{a^2}=|a|$，即$\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}$。
2) 分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$。
正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-m/n}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
正分数$a^{1/m}=\sqrt[m]{a}$，负分数指数幂没有意义。
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。
3) 分数指数幂的运算性质a^r\cdot a^s=a^{r+s}$（$a>0,r,s\in R$）。
a^r)^s=a^{rs}$（$a>0,r,s\in R$）。
ab)^r=a^rb^r$（$a>0,b>0,r\in R$）。
例题精讲例1】求下列各式的值：1) $n(3-\pi)$（$n>1$，且$n\in N^+$）；2) $(x-y)^2$。
1) 当$n$为奇数时，$n\sqrt{3-\pi}=|\sqrt{3-\pi}|=\sqrt{3-\pi}$。
2.4 指数与指数函数
【例3】求下列函数的定义域、值域及其单调区间: 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:
(1) f ( x ) = 3
x 2 −5 x + 4
;
Hale Waihona Puke 1 1 ( 2) g ( x ) = − ( ) x + 4( ) x + 5. 4 2 (1)定义域是使函数有意义的 的取值范围, 定义域是使函数有意义的x 分析 (1)定义域是使函数有意义的x的取值范围,
的图象过点(1,1). 的图象过点(1,1). 4.当 的值域是_______. 4.当x∈［0,2］时,函数y=3x+1-2的值域是_______. 0,2］ 函数y [1,25] 解析 是增函数, ∵y=3x+1是增函数, ∴当x∈［0,2］时,3≤3x+1≤33, 0,2］ ∴1≤3x+1-2≤25.
m n
a ④当n为奇数时， an =____; 为奇数时，
n
−
m n
=______（ >0， >1）； =______（a>0，m、n∈N*，且n>1）； am 1 * (a>0,m = m (a>0,m、n ∈N ,且n>1). an
n
思考
分数指数幂与根式有何关系？ 分数指数幂与根式有何关系？
分数指数幂是根式的另一种写法, 提示 分数指数幂是根式的另一种写法,因此分数指 数幂与根式之间可以相互转化. 数幂与根式之间可以相互转化.在分数指数幂的定义 中,我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义,但 我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义, 事实上,负数也有分数指数幂, 事实上,负数也有分数指数幂,但必须保证相应的根式 有意义. 有意义. （2）有理数指数幂的运算性质 ______(a Q,s ①asat= ______(a>0, t∈Q,s∈Q); as+t ② as÷at= ______(a>0, t∈Q,s∈Q); ______(a Q,s as-t ④(ab)t= _______(a>0,b>0,t∈Q). ab) _______(a>0,b>0,t a tb t
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指数与指数函数（一）
【学习目标】
1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
【重、难点】
1.重点：指数幂的运算、指数函数的概念、图像和性质
2.难点：指数幂的运算、指数函数性质及运用
【考情分析】
1.考点：指数幂的化简与运算、指数函数的图象与性质的应用
2.考情：2018·全国卷Ⅱ，3、2018·天津卷，14、2018·浙江卷，5
2017·山东卷，10、2017·北京卷，10
【课堂过程】
（一）知识回顾
1．分数指数幂
(1)
m
n
a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；-
m
n
a＝
1
m
n
a
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质
(
题型一指数幂的运算
例题1.（1）．计算23×31.5×612＝________.
（2）．
1
2
1332
1
4
(0.1)()
a b
-
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭⋅⋅
a>0，b>0)＝________.
（3）．若
11
22
x x-
+＝3，则
33
22
22
3
2
x x
x x
-
-
+-
+-
＝________.
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
题型二指数函数的图象、性质及应用
例2(1)定义运算a⊕b＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，a≤b，
b，a>b，
则函数f (x)＝1⊕2x的图象是()
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满
足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2) 若曲线y ＝131-⎪⎭
⎫
⎝⎛x
与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是________．
(3) 已知a ＝2
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝4-3
2，c ＝13
12⎛⎫
⎪⎝⎭
，则下列关系中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b
D ．a <b <c
(4)已知0<a <b <1，则( ) A ．1(1-)b
a >(1－a )
b B ．(1－a )b >2
(1-)b a C ．(1＋a )a >(1＋b )b
D ．(1－a )a >(1－b )b
思维升华 利用指数函数的函数性质比较大小，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量。
【当堂检测】
1．计算：
3
1＋23＋
4
1－24＝________.
2．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，1
2，则f (－1)＝________. 3．已知a ＝1
3
35-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭，b ＝14
35-
⎛⎫
⎪⎝⎭
，c ＝34
32-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是________．
4．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2
，则a 的值为________．
5．已知实数a ，b 满足等式a ⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝b
⎪⎭
⎫
⎝⎛31，下列五个关系式
①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．。