2019年高考真题文科数学(北京卷)含答案
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）C
（2）D
（3）A
（5）D
（6）C
（7）A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（A）1010.1
（B）10.1
（C）lg10.1
（D） 10 10.1
（8）如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为
β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
第二部分（非选择题 共 110 分）
在△ABC 中，a=3， b – c 2 ，cosB= 1 ． 2
（Ⅰ）求 b，c 的值； （Ⅱ）求 sin（B+C）的值． （16）（本小题 13 分） 设{an}是等差数列，a1=–10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值．
则FG∥AB，且FG= 1 AB． 2
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE= 1 AB． 2
所以FG∥CE，且FG=CE． 所以四边形CEGF为平行四边形． 所以CF∥EG．
因为CF 平面PAE，EG 平面PAE，
所以CF∥平面PAE． （19）（共 14 分）
解：（I）由题意得，b2=1，c=1． 所以a2=b2+c2=2．
支付金额
不大于 2 000 元
大于 2 000 元
支付方式
仅使用 A
27 人
3人
仅使用 B
24 人
1人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元
的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随
P(E) =0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E) 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付
金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件， P(E) 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法
机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本
仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面 PAB⊥平面 PAE；
（Ⅲ）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF∥平面 PAE？说明理由．
（19）（本小题 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 的右焦点为 (1, 0) ，且经过点
A(0,1) ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 O 为原点，直线 l : y kx t(t 1) 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP
与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经过定点． （20）（本小题 14 分）
已知函数 f (x) 1 x3 x2 x ． 4
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程； （Ⅱ）当 x [2, 4] 时，求证： x 6 f (x) x ； （Ⅲ）设 F (x) | f (x) (x a) | (a R) ，记 F (x) 在区间[2, 4] 上的最大值为 M（a），
（B）y= 2x
（C） y log1 x 2
（4）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
（D）5
（D） y 1 x
（A）1
（B）2
（C）3
（5）已知双曲线
x2 a2
y2
1（a>0）的离心率是
5 ，则 a=
（D）4
（A） 6
（B）4
（C）2
1
（D）
2
（6）设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
由
x2 2
y2
得 (1 1
2k 2 ) x2
4ktx
2t 2
2
0
．
则
x1
x2
4kt 1 2k 2
，
x1x2
2t 2 2 1 2k2
．
所以 |
OM
|
|
ON
|
|
kx1
x1 t
1||
kx2
x2 t
1|
|
k
2
x1
x2
k
(t
x1x2
1) x1
x2
(t
1)2
|
2t 2 2
|
k
2
2t 2 2 1 2k 2
要求的一项。
（1）已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A∪B=
（A）（–1，1）
（B）（1，2）
（2）已知复数 z=2+i，则 z z
（C）（–1，+∞） （D）（1，+∞）
（A） 3
（B） 5
（C）3
（3）下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
1
（A） y x2
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1． 2
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线AP的方程为
y
y1 1 x 1． x1
令y=0，得点M的横坐标
xM
x1 y1
1
．
又 y1 kx1 t ，从而 | OM |
xM
|
kx1
x1 t
1
|
．
同理，
|
ON
|
|
kx2
x2 t
| 1
．
y kx t,
确定有没有变化． （18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为 PA 平面ABCD， 所以 PA BD ．
又因为底面ABCD为菱形，
所以 BD AC ． 所以 BD 平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD， AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE． 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD． 所以AB⊥AE． 所以AE⊥平面PAB． 所以平面PAB⊥平面PAE． （Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE． 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
k
(t
1 2k 2 1) (
1
4kt 2k
2
)
(t
1) 2
|
2|
1 1
t t
|
．
又| OM | | ON | 2 ，
所以
2|1 1
t t
|
2
．
解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
（20）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由 f (x) 1 x3 x2 x 得 f (x) 3 x2 2x 1．
由 g(x) 1 x3 x2 得 g'(x) 3 x2 2x ．
4
4
令 g'(x) 0 得 x 0 或 x 8 ． 3
g'(x), g(x) 的情况如下：
4
4
令 f (x) 1，即 3 x2 2x 1 1，得 x 0 或 x 8 ．
4
3
又 ห้องสมุดไป่ตู้ (0) 0 ， f (8) 8 ， 3 27
所以曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程是 y x 与 y 8 x 8 ，
27
3
即 y x 与 y x 64 ． 27
（Ⅱ）令 g(x) f (x) x, x [2, 4]．
b2
32
c2
2
3
c
1 2
．
因为 b c 2 ，
所以 (c
2)2
32
c2
2
3
c
1 2
．
解得 c 5 ． 所以 b 7 ．
（Ⅱ）由 cos B 1 得 sin B 3 ．
2
2
由正弦定理得 sin A a sin B 3 3 ．
b
14
在△ABC 中， B C A ．
所以 sin(B C) sin A 3
（9）8
（10）–3 1
（11） (x 1)2 y2 4
（12）40
（4）B （8）B
（13）若 l m, l ，则 m ．（答案不唯一）
（14）130 15 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B ，得
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 40 1000 400 ． 100
（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于
2 000元”，则 P(C) 1 0.04 ． 25
（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”． 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，
2019年北京市高考数学试卷(文科)
2019年北京市高考数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A={ x|-1＜x＜2} ，B={ x |x＞1} ，则A∪B=（）A. B. C. D.2. 已知复数z=2+ i，则z? =（）A. B. C. 3 D. 53. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42=1（a＞0）的离心率是，则a=（）5. 已知双曲线-yA. B. 4 C. 2 D.6. 设函数f（x）=cosx+ b sin x（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2-m1= lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. B. C. D.8. 如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A.B.第1 页，共15 页二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知向量=（-4，3），=（6，m），且⊥，则m=______．，10. 若x，y 满足则y-x 的最小值为______，最大值为______．，，11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为______．12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为______．13. 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______．14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=- ．（Ⅰ）求b，c 的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．16.设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．19.已知椭圆C：+=1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；圆C交于两个不同点P、Q，直线（Ⅱ）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±）1与椭AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|?|ON|=2，求证：直线l经过定点．20.已知函数f（x）=x3-x2+x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）的斜率为l的切线方程；（Ⅱ）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．答案和解析21.【答案】C【解析】解：∵A={x|-1 ＜x＜2}，B={x|x ＞1}，∴A∪B={x|-1 ＜x＜2} ∪{x|x ＞1}= （-1，+∞）．：C．故选直接由并集运算得答案．算题．考查并集及其运算，是基础的计本题22.【答案】D【解析】解：∵z=2+i，∴z? = ．：D．故选直接由求解．算题．的计考查本题复数及其运算性质，是基础23.【答案】A【解析】增，和在（0，+∞）上都是解：在（0，+∞）上单调递减函数．：A．故选判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．调性．数函数和反比例函数的单幂函数、指数函数、对考查24.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，s=1s=2体，k=2，s=2不满行循环足条件k≥3，执体，k=3，s=2行循环足条件k≥3，执不满出s的值为2．，满此时足条件k≥3，退出循环，输故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．25.【答案】D【解析】2=1（a＞0），得b2=1，解：由双曲线-y又e= ，得，即，解得，a= ．故选：D．由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2=c2 联立求得a 值．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题．26.【答案】 C【解析】解：设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0?”“（f x）为偶函数”，“（f x）为偶函数”? “b=0，”∴函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0是”“（f x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．“b=0?”“（f x）为偶函数”，“（f x）为偶函数”? “b=0，”由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与第6 页，共15 页解：设太阳的星等是m1=-26.7，天狼星的星等是m2=-1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．把已知熟记代入m2-m1= lg ，化简后利用对数的运算性质求解．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．28.【答案】 B【解析】解：由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO=2，Q 到线段AB 的距离为2+2cosβ，AB=2?2sin β=4sin，β扇形AOB 的面积为?2β?4=4，β△ABQ 的面积为（2+2cos ）β?4sin β=4sin β+4sin βcos β=4，sin β+2sin2 βS△AOQ+S△BOQ=4sin β+2sin2- β?2?2sin2 β=4s，in β即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin．β故选：B．由题意可得∠AOB=2∠APB=2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．29.【答案】8【解析】解：由向量=（-4，3），=（6，m），且⊥，得，∴m=8．故答案为：8．⊥则，代入，，解方程即可．本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题．30.【答案】-3 1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，-1），B（2，3），令z=y-x，作出直线y=x，由图可知，平移直线y=x，当直线z=y-x 过A 时，z有最小值为-3，过B 时，z有最大值1．故答案为：-3，1．由约束条件作出可行域，令z=y-x，作出直线y=x，平移直线得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2+y2=4 11.【答案】（x-1）【解析】解：如图，抛物线y2=4x 的焦点为F（1，0），∵所求圆的圆心F，且与准线x=-1 相切，∴圆的半径为2．则所求圆的方程为（x-1）2+y2=4．故答案为：（x-1）2+y2=4．由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．31.【答案】40【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V= ．故答案为：40．由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．32.【答案】若l⊥α，l⊥m，则m∥α【解析】解：由l，m 是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．由l，m 是平面α外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α，l⊥m，第9 页，共15 页则m∥α．中线、面、面面间的位置空间本题的判断，考查考查满足条件的真命题推理能力与计算能力，属于中档题．，考查关系等基础知识33.【答案】130 15【解析】客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140（元），，顾解：①当x=10时客需要支付140-10=130（元）；即有顾②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）×80%≥m×70%，即有x≤，意可得m≥120，由题可得x≤=15，则x的最大值为15元．：130，15故答案为①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m-x）×80%≥m×7，0%解不等式，结合恒成立思想，可得x 的最大值．应用，考查运算能力，属于中档题．化简的本题题考查不等式在实际问34.【答案】解：（1）∵a=3，b-c=2，cosB=- ．2=a2+c2-2accosB ∴由余弦定理，得 b= ，∴b=7，∴c= b-2=5；（2）在△ABC 中，∵cosB =- ，∴sinB= ，由正弦定理有：，∴sinA= = ，∴sin（B+C）=sin（-A）=sin A=．【解析】第10 页，共15 页（1）利用余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）=sin（-A）=sinA，根据正弦定理可求出sinA．本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题．35.【答案】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），∴（-2+2d）2=d（-4+3d），解得d=2，∴a n=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12．（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得：22S n=-10n+=n-11n=（n-）-，∴n=5或n=6时，S n取最小值-30．【解析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{a n}的通项公式．2-11n=（n-）2-，由此能（Ⅱ）由a1=-10，d=2，得S n=-10n+=n求出S n的最小值．本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．36.【答案】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×=400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p==．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，第11页，共15页发现他本月的支付金额大于2000 元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化．【解析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，求出A，B 两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n=25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．37.【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∴BD ⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，PA、AC 平面PAC，∴BD ⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，∴△是等边三角形，∵E 为CD 的中点，∴⊥，∵∥，∴AB⊥AE，∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥AE，∵PA∩AB=A，PA、AB 平面PAB，∴AE⊥平面PAB，∵AE 平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB 上存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下：分别取PB、PA 的中点F、G,连接CF、FG、EG，第12 页，共15 页在三角形PAB 中，∥且，在菱形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以CE∥AB，且，所以CE∥FG，且，即四边形CEGF 为平行四边形，所以∥，又，，∴.【解析】（Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）推导出AB⊥AE，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在中点F，分别取PB、PA 的中点F、G,连接CF、FG、EG，推导出四边形CEGF 为平行四边形，所以，进而CF∥平面PAE．本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．38.【答案】解：（Ⅰ）椭圆C：+ =1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．可得b=c=1，a= = ，2则椭圆方程为+y =1；2+2 y2=2 联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，（Ⅱ）证明：y=kx+t 与椭圆方程x设P（x1，y1），Q（x2，y2），△=16k2t2-4（1+2 k2）（2t2-2）＞0，x1+x2=- ，x1x2= ，第13 页，共15 页（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）22=（1+t-2t）+k?+（kt-k）?（-）=，|OM|?|ON|=2，即为|?|=2，2即有|t-1|=（t-1）2，由t≠±，1解得t=0，满足△＞0，即有直线l方程为y=k x，恒过原点（0，0）．【解析】（Ⅰ）由题意可得b=c=1，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求椭圆方程；2+2y2=2联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线（Ⅱ）y=kx+t与椭圆方程x恒过定点的求法，计算可得结论．本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．39.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=，由f′（x）=1得x（x-）=0，得，．又f（0）=0，f（）=，∴y=x和，即y=x和y=x-；（Ⅱ）证明：欲证x-6≤f（x）≤x，只需证-6≤f（x）-x≤0，令g（x）=f（x）-x=，x∈[-2，4]，则g′（x）==，可知g′（x）在[-2，0]为正，在（0，）为负，在[，]为正，∴g（x）在[-2，0]递增，在[0，]递减，在[，]递增，又g（-2）=-6，g（0）=0，g（）=-＞-6，g（4）=0，∴-6≤g（x）≤0，∴x-6≤f（x）≤x；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，第14页，共15页F（x）=|f（x）-（x+ a）|=|f（x）-x-a|=|g（x）-a|∵在[-2，4]上，-6≤g（x）≤0，令t= g（x），h（t）=|t -a|，当t∈[-6，0]时，h（t）的最大值M（a）的问题了，化为则问题转①当a≤-3 时，M（a）=h（0）=|a|=-a，3；此时-a≥3，当a=-3 时，M（a）取得最小值②当a≥-3 时，M（a）=h（-6）=|-6-a|=|6+a|，∵6+a≥3，∴M（a）=6+ a，也是a=-3 时，M （a）最小为3．为-3．时 a 的值综上，当M（a）取最小值【解析】数f ′（x），由f ′（x）=1 求得切点，即可得点斜式方程；（Ⅰ）求导数研究g（x）-6≤（f x）-x≤0，再令g（x）=f（x）-x，利用导不等式转化为（Ⅱ）把所证；点即可得证调性和极值在[-2，4]的单合绝函数h（t）=|t-a|，结（Ⅲ）先把F（x）化为|g（x）-a|，再利用（Ⅱ）的结论，引进称轴对t=a与-3 的关系分析即可．函数的对调性，通过对值称性，单大．度较数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难此题考查了导第15 页，共15 页。
2019年北京卷文数高考试题 Word版含答案
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>05a=（A ）6 （B ）4（C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京卷文科数学高考真题
数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
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第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 。
(1)已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB= (A) (-1，1) (B)（1，2） (C) (-1,+∞) (D) (1，+∞)(2)已知复数z=2+i ，则=(A)(B) (C) 3 (D) 5(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是 (A)y =x12(B) y =2-x(C) 12log y x(D) y =1x(4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4(5)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >) ，则a=(A)(B) 4 (C) 2 (D)12(6) 设函数f (x )=cos x +b sin x （b 为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件(7) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k = 。
已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）10.110（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-(8) 如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷正式版)【含答案及解析】
2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷正式版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，集合，则（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ A ） 2 （ B ）（ C ）（ D ）4. 若满足则的最大值为（ A ） 1 （ B ） 3（ C ） 5 （ D ） 95. 已知函数，则（ A ）是偶函数，且在 R 上是增函数（ B ）是奇函数，且在 R 上是增函数（ C ）是偶函数，且在 R 上是减函数（ D ）是奇函数，且在 R 上是增函数6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A ） 60 （ B ） 30（ C ） 20 （ D ） 107. 设 m , n 为非零向量，则“ 存在负数，使得 m = λn ” 是“ m · n <0” 的（ A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（ C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3 361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 10 80 ．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48 ）（ A ） 10 33 （ B ） 10 53（ C ） 10 73 （ D ） 10 93二、填空题9. 在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 . 若 sin = ，则 sin =_________ ．10. 若双曲线的离心率为，则实数 m =__________ ．11. 已知，，且 x + y =1 ，则的取值范围是 __________ ．12. 已知点 P 在圆上，点 A 的坐标为 (-2,0) ， O 为原点，则的最大值为 _________ ．13. 能够说明“ 设 a ， b ， c 是任意实数．若 a > b > c ，则a + b > c ” 是假命题的一组整数 a , b , c 的值依次为 ______________________________ ．14. 某学习小组由学生和学科网 & 教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ ）教师人数的两倍多于男学生人数．① 若教师人数为 4 ，则女学生人数的最大值为 __________ ．② 该小组人数的最小值为 __________ ．三、解答题15. 已知等差数列和等比数列满足 a 1 = b 1 =1, a 2 + a 4 =10, b 2b 4 = a 5 ．（Ⅰ ）求的通项公式；（Ⅱ ）求和：．16. （本小题 13 分）已知函数 .（ I ） f ( x ) 的最小正周期；（ II ）求证：当时，．17. （本小题 13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： [20,30 ），[30,40 ），┄ ， [80,90] ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（Ⅱ ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 [40,50 ）内的人数；（Ⅲ ）已知样本中有一半男生的分数学 . 科网不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18. （本小题 14 分）如图，在三棱锥 P – ABC 中，PA ⊥ AB ，PA ⊥ BC ，AB ⊥ BC ， PA = AB = BC =2 ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点．（Ⅰ ）求证：PA ⊥ BD ；（Ⅱ ）求证：平面BDE ⊥ 平面 PAC ；（Ⅲ ）当PA ∥ 平面 BD E 时，求三棱锥 E – BCD 的体积．19. （本小题 14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0) ， B(2,0) ，焦点在 x 轴上，离心率为．（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4:5 ．20. （本小题 13 分）已知函数．（Ⅰ ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ ）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷
2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将【答案】答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出旳四个选项中，选出符合题目要求旳一项。
〔1〕集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，那么A B =〔A 〕{|2<<5}x x 〔B 〕{|<45}x x x >或 〔C 〕{|2<<3}x x 〔D 〕{|<25}x x x >或 〔2〕复数12i =2i+- 〔A 〕i 〔B 〕1+i 〔C 〕i -〔D 〕1i -〔3〕执行如下图旳程序框图，输出旳s 值为〔A 〕8〔B 〕9〔C 〕27〔D 〕36〔4〕以下函数中，在区间(1,1)-上为减函数旳是〔A 〕11y x=-〔B 〕cos y x =〔C 〕ln(1)y x =+〔D 〕2x y -= 〔5〕圆〔x +1〕2+y 2=2旳圆心到直线y =x +3旳距离为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〔D 〕〔6〕从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中旳概率为〔A 〕15〔B 〕25〔C 〕825〔D 〕925〔7〕A 〔2，5〕，B 〔4，1〕.假设点P 〔x ，y 〕在线段AB 上，那么2x −y 旳最大值为 〔A 〕−1〔B 〕3〔C 〕7〔D 〕8〔8〕某学校运动会旳立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个时期.下表为在这10名学生中，进入立定跳远决赛旳有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛旳有6人，那么〔A 〕2号学生进入30秒跳绳决赛〔B 〕5号学生进入30秒跳绳决赛〔C 〕8号学生进入30秒跳绳决赛〔D 〕9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕向量=a b ，那么a 与b 夹角旳大小为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔10〕函数()(2)1x f x x x =≥-旳最大值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔11〕某四棱柱旳三视图如下图，那么该四棱柱旳体积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(12)双曲线22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕旳一条渐近线为2x +y =0〕，那么a =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏；b =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(13)在△ABC 中，23A π∠=，，那么b c =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. (14)某网店统计了连续三天售出商品旳种类情况：第一天售出19种商品，翌日售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出旳商品有3种，后两天都售出旳商品有4种，那么该网店①第一天售出但翌日未售出旳商品有﹏﹏﹏﹏﹏﹏种；②这三天售出旳商品最少有﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏种.【三】解答题〔共6题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程〕 〔15〕〔本小题13分〕{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.〔Ⅰ〕求{a n }旳通项公式；〔Ⅱ〕设c n =a n +b n ，求数列{c n }旳前n 项和.〔16〕〔本小题13分〕函数f 〔x 〕=2sin ωx cos ωx +cos2ωx 〔ω>0〕旳最小正周期为π.〔Ⅰ〕求ω旳值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕旳单调递增区间.〔17〕〔本小题13分〕某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米旳部分按4元/立方米收费，超出w 立方米旳部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月旳用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：〔I 〕假如w 为整数，那么依照此次调查，为使80%以上居民在该月旳用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？〔II 〕假设同组中旳每个数据用该组区间旳右端点值代替，当w=3时，可能该市居民该月旳人均水费.〔18〕〔本小题14分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥〔I 〕求证：DC PAC ⊥平面；〔II 〕求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 旳中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由.〔19〕〔本小题14分〕椭圆C ：22221x y a b+=过点A 〔2,0〕，B 〔0,1〕两点. 〔I 〕求椭圆C 旳方程及离心率；〔II 〕设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 旳面积为定值.〔20〕〔本小题13分〕设函数()32.f x x ax bx c =+++ 〔I 〕求曲线().y f x =在点()()0,0f 处旳切线方程；〔II 〕设4a b ==，假设函数()f x 有三个不同零点，求c 旳取值范围；〔III 〕求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点旳必要而不充分条件.。
2019年北京市高考数学试卷(文科)
2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）（2019•北京）已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪B ＝（ ）A ．（﹣1，1）B ．（1，2）C ．（﹣1，+∞）D ．（1，+∞）2．（5分）（2019•北京）已知复数z ＝2+i ，则z •（ ） z =A ． B ． C ．3 D ．5353．（5分）（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y ＝xB ．y ＝2﹣xC ．y ＝log xD ．y 1212=1x4．（5分）（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）（2019•北京）已知双曲线y 2＝1（a ＞0）的离心率是，则a ＝（ ）x 2a 2‒5A ． B ．4 C ．2 D ． 6126．（5分）（2019•北京）设函数f （x ）＝cos x +b sin x （b 为常数），则“b ＝0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2﹣m 1lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k ＝1，2）．已知=52E 1E 2太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10﹣10.18．（5分）（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考数学北京卷文(附详解)
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2019年北京卷 文科数学真题(解析版)
2019年北京卷 文科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =（ ）A.B. 4C. 2D.12【答案】D【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a=，解得12a = ，故选D.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E E E E -=⋅= ，故选D.8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为βr 2+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |s in （π-β）+12|OP ||OA |Sin （π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B .二、填空题：每小题5分，共30分。
2019年北京高考文科数学真题及答案
绝密★启封并使用完毕前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（A （B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考文数北京卷-答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学（文）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】C【解析】由题意得{}|1AB x x =-∪＞，即()1,A B =-+∞∪，故选C ． 【考点】集合的并运算． 2．【答案】D【解析】通解：因为2z i =+，所以2z i =-，所以()()()222422415z z i i i i i ⋅=+-=-+-=--=，故选D ．优解：222||215z z z ⋅==+=，故选D ．【考点】共轭复数的概念和复数的代数运算． 3．【答案】A【解析】对于幂函数y x α=，当0α＞时，y x α=在()0,+∞上单调递增，当0α＜时，y x α=在()0,+∞上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数1y x =可转化为1y x -=，所以函数1y x=在()0,+∞上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数x y a =（0a ＞，且1a ≠），当01a ＜＜时，x y a =在(),-∞+∞上单调递减，当1a ＞时，xy a =在(),-∞+∞上单调递增，而选项B 中的函数2xy -=可转化为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此函数2x y -=在()0,+∞上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数log a y x =（0a ＞，且1a ≠），当01a ＜＜时，log a y x =在()0,+∞上单调递减，当1a ＞时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，因此选项C 中的函数12log y x =在()0,+∞上单调递减，故选项C 不符合题意．故选A ．【考点】幂函数，指数函数，对数函数的单调性． 4．【答案】B【解析】执行程序框图，2,2;2,3;2s k s k s =====，结束循环，输出s 的值为2，故选B ． 【考点】循环结构的程序框图． 5．【答案】D【解析】通解：由双曲线方程可知21b =，所以c =所以c e a ==解得12a =，故选D ．优解：由22221,1b e e b a =+=，得215=1+a ，得12a =，故选D ．【考点】双曲线的标准方程和离心率． 6．【答案】C【解析】0b =时，()cos f x x =，显然()f x 是偶函数，故“0b =”是“()f x 是偶函数”的充分条件；()f x 是偶函数，则有()()f x f x -=，即()()cos sin cos sin x b x x b x -+-=+，又()()cos cos ,sin sin x x x x -=-=-，所以cos sin cos sin x b x x b x -=+，则2sin 0b x =对任意x ∈R 恒成立，得0b =，因此“0b =”是“()f x 是偶函数”的必要条件．因此“0b =”是“()f x 是偶函数”的充分必要条件，故选C ． 【考点】充分必要条件的判断． 7．【答案】A【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为1m 与1E ,天狼星的星等与亮度分别为2m 与2E ，则由已知条件可知1226.7, 1.45m m =-=-，根据两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，把1m 与2m 的值分别代入上式得，()1251.4526.7lg 2E E ---=，得12lg 10.1E E =，所以10.11210E E =，故选A ． 【考点】指数与对数的运算． 8．【答案】B【解析】如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧AB 上取一点C ，则阴影部分面积为ABP △和弓形ACB 的面积和．因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当ABP △的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB 的长为定值，故当点P 为优弧AB 的中点，点P 到弦AB 的距离最大，此时ABP △面积最大，即当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P 为优弧AB 的中点时阴影部分的面积．因为APB ∠为锐角，且=APB β∠，所以2,=180AOB AOP BOP ββ==︒-∠∠∠，则阴影部分的面积()211+222sin 1802244sin 22AOP BOP OAB S S S S ββββ=+=⨯⨯⨯︒-+⨯⨯=+△△扇形，故选B ．【考点】三角形面积，扇形面积公式．第Ⅱ卷二、填空题 9．【答案】8【解析】因为⊥a b ，所以4630m ⋅=-⨯+=a b ，解得8m =． 【考点】向量垂直，向量的数量积． 10．【答案】3-1【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，令z y x =-，作出直线=0y x -，并平移，当平移后的直线过点()2,3A 时，z 取最大值，()max 1y x -=；当平移后的直线过点()2,1C -时，z 取最小值，()min 3y x -=-． 【考点】线性规划．【考查能力】数形结合，运算求解．11．【答案】22(1)4x y -+=【解析】因为抛物线的标准方程为24y x =，所以焦点()1,0F ，准线l 的方程为1x =-，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径2r =，所以圆的方程为22(1)4x y -+=． 【考点】抛物线的几何性质，圆的标准方程． 12．【答案】40【解析】如图，由三视图可知，该几何体为正方体1111ABCD A B C D -去掉四棱柱1111B C GF A D HE -所得，其中正方体1111ABCD A B C D -的体积为64，()111114224242B C GF A D HE V -=+⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为642440-=．【考点】几何体的三视图，体积．13．【答案】若l m ⊥，l α⊥，则m α∥.（或m α∥，l α⊥，则l m ⊥，答案不唯一） 【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题（1）：若l m ⊥，m α∥，则l α⊥，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面ABCD 为平面α，11A D 和11A B 分别为l 和m ，满足条件，但结论不成立．命题（2）：若l m ⊥，l α⊥，则m α∥，此命题正确．证明：作直线1m m ∥，且与l 相交，故l 与1m 确定一个平面β，且1l m ⊥，因为l α⊥，所以平面α与平面β相交，设n αβ=∩，则l n ⊥，又1m ，n β⊂，所以1m n ∥，又1m m ∥，所以m n ∥，又m 在平面α外，n α⊂，故m α∥．命题（3）：若m α∥，l α⊥，则l m ⊥，此命题正确．证明：过直线m 作一平面，且与平面α相交，脚线为a ，因为m α∥，所以m a ∥．因为l α⊥，a α⊂，所以l a ⊥，又m a ∥，所以l m ⊥．【考点】空间中线面的位置关系． 14．【答案】13015【解析】①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需60+80=140（元），总价达到120元，又10x =，即顾客少付10元，所以需要支付130元．②设顾客买水果的总价为a 元，当0120a ≤＜时，顾客支付a 元，李明得到0.8a 元，且0.80.7a a ≥，显然符合题意，此时0x =；当120a ≥时，则()0.80.7a x a -≥恒成立，即18x a ≤恒成立，min 18x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤，又120a ≥，所以min1=158a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15x ≤．综上可知，015x ≤≤，所以x 的最大值为15．【考点】不等式问题，参数的取值范围． 三、解答题（共6小题，共80分）15．【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =． 所以7b =．（Ⅱ）由1cos 2B =-得sin B =由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==． 【考点】利用正、余弦定理理解三角形． 16．【答案】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ． 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++．所以2(22)(43)d d d -+=-+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a ＞；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．【考点】等差数列的通项公式，前n 项和公式，等比数列的性质．17．【答案】解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A 的学生有27330+=人，仅使用B 的学生有24125+=人， A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有1003025540---=人． 估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为401000400100⨯=． （Ⅱ）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则1()0.0425P C ==． （Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”． 假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II ）知，()=0.04P E ． 答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，()P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化． 【考点】样本估计总体等统计思想，古典概型的知识． 18．【答案】解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥． 所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA AE ⊥．因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，且E 为CD 的中点， 所以AE CD ⊥． 所以AB AE ⊥． 所以AE ⊥平面PAB ． 所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 则FG AB ∥，且12FG AB =． 因为底面ABCD 菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE AB ∥，且12CE AB =．所以FG CE ∥，且FG CE =． 所以四边形CEGF 为平行四边形． 所以CF EG ∥．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．【考点】线面垂直的判定定理，性质定理，面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理． 19．【答案】解：（I ）由题意得，21b =，1c =． 所以2222a b c =+=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设1122P x y Q x y （，），（，），则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令0y =，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t ktk k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=， 所以12||21tt+=-． 解得0t =，所以直线l 经过定点()0,0．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系． 20．【答案】解：（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =． 又(0)0f =，88()327f =， 所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-． （Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-． 令()0g'x =得0x =或83x =． (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0． 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a -＜时，()(0)|(0)|3M F g a a a =-=-≥＞；当3a -＞时，21()(2)|(2)|63ni i M F g a a a X =-=--=+∑≥＞；当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．【考点】利用导数求曲线的切线方程，不等式的证明，与函数最值有关的问题．。