微积分-上海大学
上海大学春季学期《微积分A3》(A卷)答案
a
z ) x
f2 (b
z ) x
0，
z x
cf1
af1
bf
2
两端对
y
求偏导：
f1 (a
z ) y
f2 (c b
z ) y
0，
z y
cf
2
af1
bf
2
故 a z b z =c x y
2+1 分 1+1 分 1分
13、判断级数 (1)n (n!)2 的敛散性。
n 1
(2n)!
解： an1 ((n 1)!)2 an (2n 2)!
17、计算 zdV ，其中 是由 x2 y2 z2 4z 和 x2 y2 z2 2z 所围的空间区域。
解：利用球面坐标， 可表示为 2cos r 4cos, 0 2 , 0 ， 2
A、 2x 2y
B、 2x 2y
C、 2x 2
D、 2x 2
2、对于二元函数 f x, y在点 x0, y0 处，下列关系正确的是
（D）
A、连续是偏导数存在的充要条件。
B、偏导数存在是可微的充要条件。
C、具有方向导数是可微的充分条件。
D、偏导数连续是可微的充分条件。
3、设 D (x, y) 0 x2 y2 a2 (a 0) ，则二重积分 e d x2y2 D
2分
(n!)2 (n 1)2 1 1，级数绝对收敛 (2n)! (2n 1)(2n 2) 4
1分
2分
1分
草稿区
1+1 分 2分 2分
第 3页 (共 5 页)
得分 评卷人
四.计算下列各题：（每小题 6 分，共 24 分）
15、计算 1 x y d ，其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1 。
上海大学-高等数学-环与域
实例
例7 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系， 则偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与 y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例：
14
实例(续)
例8 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别给下图
例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环. {0}和R也 是实数环R的子环，称为平凡子环.
定理14.12 (子环判定定理) 设R是环, S是R的非空子集, 若 (1) a,b∈S，ab∈S (2) a,b∈S，ab∈S
则 S 是 R 的子环.
5
实例
例3 (1) 整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数n，
解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 关于加法不封闭.
(3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元.
(4) 不是环, A关于加法不构成群.
(5) 不是环, 关于乘法不封闭.
11
格与布尔代数
• 格的定义 • 格的性质 • 格的等价定义 • 子格与格的同态 • 特殊的格 • 布尔代数的性质 • 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果x, yS，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界.
上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)
《高等数学教程》第九章 向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ）4．;342,324m n CD m n BC-=-=5．;}116,117,116{}116,117,116{---或6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。
9．模：2; 方向余弦：21,22,21--;10．434ππγ或=;11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα;12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或-3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或7．12 , 219;8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a(1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 , 619;9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-;6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥7．;共线必须与b a8．3π;9．)68(51)68(51k j k j ---或;10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-.9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31;11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ;12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ;9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(;6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ;2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y tx 31121 ;4．13422zy x =-=--;5．0592298=---z y x ;7．341111;8．4273;9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-;5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ;6．012=++y x ;7．2849161-==+z y x ;8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ;10．012720=-++z y x ;11．564922-=-=-z y x ;12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332;15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ;16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为半径的球面。
上海大学大一秋季学期理工《微积分1》教学要求
《微积分》教学要求说明：从2013学年起《微积分》课程教学内容分为三个学期完成，课时数分别为60，60，40.（课时总数没有变化，但时间跨度从四学期变为三学期）第一学期（60学时）第一章 函数与极限（14学时）1 了解极限的概念，了解分段函数的极限的计算。
2 掌握极限四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
3 了解极限的性质（惟一性、有界性和保号性）和两个极限存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
5 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
6 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
说明1：本章原来教学时数是16，现改为14，建议第一节（常用符号介绍）、第二节（函数的概念）作为自学内容。
说明2：用,N X εεδε---，定义证明极限不作要求。
第二章 导数与微分（12学时）1 理解导数（包括左、右导数）的概念，了解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间关系。
2 掌握导数的四则运算法则、反函数与复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
会求分段函数的导数。
3 了解高阶导数的概念。
掌握初等函数的二阶导数的计算。
会求简单函数的n 阶导数。
4 掌握求隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。
5 了解微分的概念与四则运算。
说明：建议导数的经济意义作为自学内容。
高阶导数以二阶为主。
第三章 微分中值定理及导数的应用（12学时）1 理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。
2 掌握洛必达法则求不定式极限的方法。
3 理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。
会用单调性证明不等式。
4 会求最大值、最小值问题，会解决简单的实际应用问题。
5 会用导数判别函数图形的凹凸性，会求拐点。
说明1：建议第六节（函数图形的描绘）、第七节（曲率）、第八节（方程的近似解）作为自学内容。
(完整)上海师范大学高数试题(11)
《微积分下》作业3答案学院 专业 年级班级 姓名 学号 一． 单选题（共4×10分）1．函数（ A ）为微分方程y xy 2'=的解A ．2x y = B.x y = C.x y 2= D.2x y =2． .函数3x y =为微分方程 ( C )的解A. 322'y y = B.433'xy y -= C.03'=-y xy D.22'x x y y =+ 3. 微分方程022=+y dx yd 的通解是( D ). A.x A y sin = B.x B y cos = C.x B x y cos sin += D.x B x A y cos sin += 012=+r i r ±=12 )sin cos (21x c x ce y x ββα+=x B x A cos sin +=4. 微分方程''3'25y y y -+=的通解是( C ).A.2125x x y k e k e =++B. 2125x x y k e k e =+-C. 21252x x y k e k e =++D. 21252x x y k e k e =+- 0232=+-r r 2,121==r r x x e c e c y 221+=0=λ 不是特征方程的根 设A y =* 把*,**,'''y y y 代入原方程2552=⇒=A A 原方程的通解为25221++=x x e c e c y 5．微分方程dy y ytg dx x x=+的通解是（ C ） A.1sin cx y x = B.sin y x c x =+C.sinycx x= D.sin x cx y =令v xy= 6.通过坐标系的原点且与微分方程1dyx dx=+的一切积分曲线均正交的曲线的方程是（ A ） A. 1yex -=+ B.10y e x ++=C. 1ye x =+ D.222y x x =+根据题意11+-=x dx dy 11ln c x y ++-= yce x -=+1 曲线通过原点 01ce = 1=⇒c 1yex -=+7. 微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是( D )A.()x y x e c =+B.()y x y e c =+C.()x y x c e =-D.()y x y c e =-y ye y x dy dx -=- yy p 1)(-= y ye y Q -=)( )()(11y dy y y dy y e c y cdy e e y e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=-⎰ 8．函数()y x 满足微分方程2'ln 0xy y y x +-=且在1x =时，1y =，则在 x e =时，=y ( B )A.1eB.12C.2D.ex x xy dx dy y ln 1112=⋅+⋅ xx y x dx yd ln 11)1(-=⋅-9. 微分方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式是（ D ） A.()x ax b e + B.()x ax b xe +C.()x ax b ce ++D.()x ax b cxe ++x y y y 323=-'-'' b ax y +=*x e y y y 223-=-'-'' x Axe y =*"3'232x y y y x e -+=- x cxe b ax y ++=*10．设)(x f 连续，且满足2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f （ B ） A.2ln xe B.2ln 2xeC.2ln +x eD.2ln 2+x e2)()(⋅='x f x fy dxdy2= dx dy y 21= c x y +=2lnx e c y 21= 2ln )0(=f 2ln 1=⇒c x e y 22ln ⋅=二.计算题(共6×10分)1.求方程2220d y dyy dx dx++=满足初始条件04,'2x x yy ====-的特解解：0122=++r r 0)1(2=+r 112-=r xe x c c y -+=)(214.0==y x 代入41=⇒c)1()(212-++='--x x e x c c e c y2.0-='=y x 代入22=⇒c xex y -+=∴)24(为原发方程的特解。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第一章
解
(1) ∵ f ( x )
1 ( x)2 1 x 2 f ( x) cos( x) cos x
∴f(x)是偶函数. (2)∵ f ( x) [( x ) ( x)]sin( x ) ( x x)( sin x) ( x x) sin x f ( x)
则
所以 f ( x) g ( x) 是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数. (2)设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令 F ( x) f ( x) g ( x) , 则
所以 f ( x) g ( x) 是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:
ww
所以 F ( x) f ( x) f ( x) 是奇函数.
7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数；
w.
tt
x (l , l ) 有 F ( x) f [( x)] f ( x) f ( x) f ( x) [ f ( x) f ( x)] F ( x)
ne
1
(3)原不等式的解为 2 x 1 ,用区间表示是(-2,1).
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t
(2) 原 不 等 式 可 化 为 x 1 1 或 x 1 1 , 其 解 为 x 2 或 x 0 , 用 区 间 表 示 是 (-∞,0)∪(2,+ ∞).
1 x2 ； (1) f(x)＝ cos x
(3)f(x)＝
ww
f (0) 1 02 1,
2
2
2
1 1,
1 a2 f (a) 2 a 1
上海大学通信学院学科复习资料-信号
拉氏变换基本性质
一、线性（叠加）
若 ，则
二、微分
若 ，则 .[若积分从 开始，则 取 ].
三、积分
若 ，则
四、延时（时域平移）
五、 域平移
六、尺度变换
七、初值
八、终值
九、卷积
十、相乘
十一、对 微分
第五章傅利叶变换应用于通信系统
一、系统函数H(jw)
稳定系统，零状态响应
冲激响应与系统函数之间傅利叶变换关系
阶跃函数
3.7傅利叶变换的基本性质
（一）对称性
若
（二）线性叠加
若
则
（三）奇偶虚实性
（1）f(t)为实函数
（2）f(t)为虚函数
（四）、尺度变换特性
若 ，则 （a为非零实常数）
（五）、时移特性
若 ，则
（六）频移特性
若 ，则
（七）、微分特性
若 ，则 ，
频域微分特性 ，
（八）、积分特性
若 ，则
3.8卷积特性（卷积定理）
一个系统输出只取决于该时刻输入，该系统称为无记忆系统（即时系统）。
反之则为记忆系统）（动态系统）。
例：电容器： .
iii、集总参数系统与分布参数系统；
iv、线性系统与非线性系统。
令 是一个连续时间系统，对 响应， 是对应于 的输出，则1、 是 的响应；（叠加性）
2、 是 响应；（ 为任意常数）（齐次性，均匀性，比例性）
（一）、时域卷积定理
若 ， 则
（二）、频域卷积定理
若 ， 则
3.9周期信号傅利叶变换
（ 为单脉冲傅利叶变换）
第四章拉普拉斯变换、 域分析
单边拉氏变换
乘以衰减因子 后要满足绝对可积条件， 取值范围称为收敛域。
大学数学AP微积分知识点
大学数学AP微积分知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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的势相等，是阿列夫0； 实数R与N的势不相等，是阿列 夫1； 曲线上的点、平面上的点、空 间的点与实数R的点数目相等， 即势相等，是阿列夫1；
一 有限 与 无限
1900年，在巴黎举行的第二届 国际数学家大会前的一场历史 性的演说中， Hilbert向数学界 提出了23个悬而未决的问题。 其中第一个问题是：有没有一 个数集，它的势在阿列夫0与阿 列夫1之间（连续统假设）。
一 有限 与 无限
集合中元素的“个数”——“势”。 两个集合如能建立1—1对应，则 称这两个集合势相等。 Hilbert旅馆问题：某旅馆有n间单 人房间,已经住满了客人,此时再来 一个客人,则无法安排。 某旅馆有正整数间单人房间,已经 住满了客人,此时再来一个客人， 编号为0。把住n号房的客人移到 n+1号房，此时1号房可安排给0号 客人。
1 n lim(1 ) e n n
一 有限 与 无限
1£ ®Ë µ à ÷Î Þ Ï Þ ¸ ö 1µ Ä 1£ ¬ 2£ ® Î Þ Ç î Ð ¡ µ Ä Ð Ô Ô ò £ º µ Ä » ý Ð ¡ ¡ £ Ä Ç Ã ´ Î Þ Ï Þ ¸ ö µ Ä µ Ä º Í Ó ë » ý Ê Ç Î Þ Ç î Ð ¡ Ä Ø £ ¿ » ý ² » Ê Ç Ó Ð Ê Ç Î Þ Ê Ç Ï Þ ¸ ö Î Þ Ç î Ç î Ð ¡ · ñ ¶ Ô
二 逆向 思考
如 f ( x ), g ( x ) 有极限，则和、 差、积、商（分母不为0） 有极限； 如 f ( x ), g ( x ) 连续，则和、 差、积、商（分母不为0） 连续； 如可导，则和、差、积、 商（分母不为0）可导； 如可积，则和、差可积
1.
一 有限 与 无限
f : {客人} {房间} 是1 — 1对应
说明：N与N 的势相等。
直线或线段由点构成。
f : (1,1) (, )
一 有限 与 无限
2 f 是1 1对应， 说明：
x t an
x
集合（ 1， 1）、（ ，） 的势相等。
N,Z,Q
一 有限 与 无限
一 有限 与 无限
1940年（一说1938年）奥地利 数学家K.Gōdel（哥德尔）证明 连续统假设与其他集合论公理 系统无矛盾性 1963年美国数学家P.Cohen(科 恩）证明连续统假设与其他集 合论公理系统是彼此独立的。 因此连续统假设不能用举世公 认的集合论公理系统证明其对 错。在这意义上，这一问题已 获解决。
1 学会向书本、老师、周围学
2 尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题 3 注重持续性学习
（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性
演绎性 广泛性
（研究对象） （论证方法） 结论 假设
logic
理性 思维
（应用）
£ ¨££ £££ §£ °££ §£££ ó 1)££££££ à £££ ·£ 2)££ ±× ££££££ ù ± ££ 3)£· £££££ à · ££££
欢迎你！
上海大学成教 学院
新同学
高等数学讲座
讲课教师
俞国胜
Tel: 66135670 办公室:F-423 E-mail: cosguosheng@ 学习园地:
2018/9/4 2
（一）上大学学什麽？
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术 • 学会自学