数学建模 航空公司的预订票策略
概率模型三 航空公司的预订票策略
概率模型三航空公司的预订票策略问题重述:在激烈的市场竞争中，航空公司为了争取更多的客源开展了预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果没有按时登机，可以不加任何费用乘坐下一班机或者退票;也可以订票时只定座位，到登机时才付款。
这里我们考虑预订票的费用在登机前支付的情形。
开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，可能会有一些定了机票的乘客不能按时到达致使飞机不满员飞行而利润降低甚至亏本;而如果不限制预订票的数量，当持票按时前来登机的乘客超过飞机的容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不论什么方式补救，也会导致声誉受损和议定的经济损失，如客源减少、公司无偿提供食宿、付给一定的赔偿金等。
所以航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。
问题分析:关键的问题是如何度量公司的经济利益，社会声誉。
收益=机票收入-飞行费用-赔偿金;社会声誉用持票按时前来登机，但因为满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准。
在这两个指标中，预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。
因此决策目标是两个指标的平均值，决策变量是预订票数量的险恶。
模型假设:rrn(1) 飞机的容量是常数，机票的价格为常数，飞行费用为常数，与乘客数量无关，g机票的价格按照g,r/,n制订，其中称为利润调节因子，如表示飞机,,1,,0.6 60%的满员率就不会亏本。
(2) 预订票数量的限额为常数m(m,n)，每位乘客不能按时前来登机的概率为，每位乘p客是否按时前来登机是相互独立的。
(3) 每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数。
b模型建立:m(1) 公司的经济利益用公司的平均利润来衡量。
当个预订机票的乘客中有位乘客不Gk能按时前来登机时的收益为，(m,k)g,rm,k,n, G,,ng,r,(m,k,n)bm,k,n,B(m,p)而按照假设2，不按时前来登机的乘客数服从二项分布: Kkkm,kp,P(K,k),Cp(1,p) km,,mn1mG(m),[(ng,r),(m,k,n)b]p，[(m,k)g,r]p因此平均利润为 ,,kk,,,k0kmn mm,n,1kp,mpG(m),qmg,r,(g，b)(m,k,n)p注意到，因此有。
数学建模 航空公司的预订票策略说课材料
数学建模航空公司的预订票策略书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。
航空公司的预订票策略
航空公司的预订票策略
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
当然也可以订票时只订座，登机时再付款，这两种办法对下面的讨论是等价的。
设飞机容量为n，若公司限制只预订n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。
如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。
这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。
假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%~60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多，被挤掉的概率不要太大等），确定最佳的预订票数量。
数学建模(航空公司的预定票策略)
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
机票预售价格和策略的数学模型
图 14 图中星号为实际值；曲线为拟合值。 从上图中可以看出，拟合曲线和每个点结合的也很不错
45
4. 预测 利用前十周的数据拟合后的模型对第十一，十二周进行预测，结果如下表： 表六 模型三对十一十二周价格的预测 Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits 71 500.0000 60.4830 381.4556 618.5444 72 500.0000 73.4987 355.9452 644.0548 73 500.0000 87.5420 328.4208 671.5792 74 590.0000 98.7812 396.3925 783.6075 75 590.0000 109.1008 376.1664 803.8336 76 490.0000 118.4582 257.8263 722.1737 77 490.0000 127.1480 240.7945 739.2055 78 490.0000 165.9637 164.7170 815.2830 79 490.0000 187.8259 121.8681 858.1319 80 490.0000 209.9188 78.5666 901.4334 81 580.0000 229.1729 130.8294 1029.1706 82 580.0000 247.1375 95.6195 1064.3805 83 480.0000 263.8217 -37.0810 997.0810 84 480.0000 279.5293 -67.8674 1027.8674 把预测后的曲线和实际值画成联合曲线如下图：
2. 用 SAS 软件对模型进行求解： 考虑到机票的价格的波动以 7 天为周期， 所以对原序列作 7 步差分， 差分后的时序图如图 8。
数学建模---最佳预定票策略(案例分析) 20页PPT文档
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量；
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更 多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票 业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未 能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票， 无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座， 登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是
等价的。
设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预 定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的 乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而 利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢
m n 1
m
m n 1
(m g f )(1 pk ) g ( kpk kpk )
k 0
k 0
k 0
m n 1
m n 1
(mg f ) (mg f ) pk gE(k ) g kpk
k 0
k 0
所以
mn1
2000 2000
1 y 4 x y dx 1 4000 3 ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
1000
此式当y 350是0 达到最大，因此组织3500吨 此种商品为最好的策略。
2、最佳预订票策略 一、 问题的提出
（显然可以只考虑 2000y4000的情况），则收
益（单位万元）为
数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。
航空公司定票策略(数学建模相关习题)
m n 1
(4 )
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
(4)和(5)是两个目标,双目标最优问题 模型求解 化为单目标求解.先将(4)式除以r,变为J(m) g=r/nλ
1 b mn 1 J (m ) = S (m ) / r = qm 1 + ∑ (m k n ) pk 1 λn g k =0
模型建立经济效益平均经济效益sm每次航班的效益s不能按时登机的乘客数k随机变量社会效益考虑到社会声誉最多只能挤掉j个顾客超过j人会给公司带来损m表示
航空公司的预订票策略
问题的提出 略 问题的分析 经济收益：机票收入-飞行费用和赔偿金
社会声誉：订票而来但不能登机的乘客数。需要限制 预订票而能登机的乘客数——随机变量 目标应当是数学期望—双目标优化问题 决策变量——预定票数
模型假设 H1：飞机容量是n，机票价格是g。飞行费用r。均为常数 机票价格按g=r/nλ制定， λ <1表示利润调节因子， λ =0.6意义? H2: 预定票数量限制为m(m>n). 每位乘客不能按时前来乘机的概率为p,且相互独立 H3: 每位被挤掉的乘客的赔偿金为常数b.
模型建立 经济效益
不能按时登机的乘客数k 平均经济效益S(m),每次航班的效益s
社会效益
(4 )
考虑到社会声誉,最多只能挤掉j个顾客, 超过j人会给公司带来损 失. 目标用超过j人的概率Pj(m)表示.等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
m Pj(m)
S (m ) = qmg r (g + b ) ∑ (m k n ) pk