梯形中常见的辅助线(古柏教学)
梯形中常见的辅助线
梯形中的常见辅助线一、平移1、平移一腰：例1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17.求CD 的长.例22例3连接EF 3例4、例5例6例7例8.并证明你的结论.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
四、作梯形的高1、作一条高BABCD例10如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。
2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，∠ABC=60°，AD=3cm ，BC=5cm ，求：(1)腰AB 的长；(2)梯形ABCD 的面积． ，例12如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。
1例13。
2例14；（2）(21EF =3例15、∠CBE 。
例16BE 之间有例17，求梯形ABCD课后作业（答题时间：40分钟）1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .2.如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.22 **3.如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（） AB DCEFABC DDEDFDA.130B.140C.150D.160*4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.**8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？。
帮你总结梯形辅助线
帮你总结梯形中常见的辅助线常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图2,在梯形ABCD中,.求证：.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．【例4】.如图,在梯形中,.求证：.4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：．【例6】.已知：如图,在梯形中, .求证：梯形是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．【例7】.已知：如图4,在梯形中,是的中点,且 .求证：.【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD＋BC=DC , 求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE 平分∠BCD．6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD 中, M、N分别是BD 、AC 的中点.求证： .【例10】.如图,梯形中, ,、分别平分和 ,为中点, 求证：．【例11】.已知：如图,在梯形中,是CD的中点.求证：.【例12】.如图,梯形中, ,为腰的中点,求证：.通过解决以上问题可以看出,添加辅助线有助于把复杂的梯形问题转化为简单的平行四边形或三角形的知识解决.虽然解决梯形问题时, 辅助线千变万化, 形状各异,使人眼花缭乱,不容易掌握,但正是这些地形形色色的梯形辅助线给同学们解决梯形问题提供了快捷和方便.相信通过以上对梯形辅助线的介绍和归纳,你已经掌握了分析思考梯形辅助线的方法.“梯形问题”既是一个神奇的世界,也是一个创造者的乐园.通过思考、解题、探索,你一定会领略到数学大花园的千姿百态,体味到数学思想的灵巧和美妙!。
梯形中常见辅助线的作法有哪些_
在解答或证明梯形的有关问题时，常常需要添加辅助线，从而把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题，再借助所学的平行四边形知识和三角形知识加以解决.下面把梯形问题中添加辅助线的几种常用方法进行归纳，供大家参考.一、连接对角线例１如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四条边的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接AC 、BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，即EH 1BD ；同理FG 12BD .∴EH FG ，即四边形EFGH 是平行四边形.又∵FG 12BD ，EF 12AC ，BD ＝AC ，∴FG ＝EF ，∴平行四边形EFGH 为菱形.点评：对于与对角线有关的问题，可连接对角线把梯形分成三角形.二、平移对角线例２如图2所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD .求证：AC 2＋BD 2＝（AB ＋DC ）2.∶ON ＝12BC ．延长一边.数海泛舟⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥梯形中常见辅助线的作法有哪些？山东省枣庄市第二中学谢高峰图1＝∥＝∥＝∥＝∥＝∥２８于A形中AD2 BC△BC可作一腰.ABCD中，AD∥是等腰梯形.E点.∠C（两直线平，两腰相等的梯使之交于一点，从而利用特.形ABCD中，（1）若CM为＝CD；（2）若数海泛舟２９则GH 点，EF 交DB 、AC AD ）.＝HC .连接DH 并AHD ≌△CHM .CM ）＝1（BC －AD ）..ABCD 中，AD ∥MN ∥BC ，MN ＝BC 的延长线于点E ，EN ，AD ＝CE ，CE ）＝12（BC ＋AD ）.使从而得到一组全等数海泛舟３０。
梯形常见辅助线作法(教案)
梯形常见辅助线作法(教案)第一章：梯形的概念与性质1.1 梯形的定义解释梯形的概念，让学生理解梯形的基本含义。
通过图形示例，让学生观察和描述梯形的特征。
1.2 梯形的性质介绍梯形的性质，如对边平行、对角相等等。
通过几何证明，让学生理解和掌握梯形的性质。
第二章：梯形的画法2.1 直角梯形的画法讲解如何画出一个直角梯形，包括确定上底、下底和高。
提供实际操作练习，让学生亲自动手画出直角梯形。
2.2 任意梯形的画法讲解如何画出一个任意梯形，包括确定四条边的长度和角度。
提供实际操作练习，让学生亲自动手画出任意梯形。
第三章：梯形的面积计算3.1 直角梯形的面积计算讲解直角梯形面积的计算方法，利用上底、下底和高。
提供例题和练习题，让学生应用直角梯形的面积计算方法。
3.2 任意梯形的面积计算讲解任意梯形面积的计算方法，利用对角线分割成的三角形和矩形。
提供例题和练习题，让学生应用任意梯形的面积计算方法。
第四章：梯形的应用题4.1 实际问题中的应用题提供一些与实际生活相关的问题，让学生运用梯形的知识解决。
引导学生通过画图、列式解答问题，培养学生的解决问题的能力。
4.2 综合问题中的应用题提供一些综合性的问题，让学生运用梯形的知识和其他几何知识解决。
引导学生通过画图、列式解答问题，培养学生的解决问题的能力。
第五章：梯形的辅助线作法5.1 梯形的高线作法讲解如何作一个梯形的高线，包括利用直角三角形的性质。
提供实际操作练习，让学生亲自动手作出梯形的高线。
5.2 梯形的角平分线作法讲解如何作一个梯形的角平分线，包括利用圆和直尺。
提供实际操作练习，让学生亲自动手作出梯形的角平分线。
5.3 梯形的对称轴作法讲解如何作一个梯形的对称轴，包括利用中点和直尺。
提供实际操作练习，让学生亲自动手作出梯形的对称轴。
第六章：梯形的角分线与中位线6.1 梯形的角分线作法解释梯形角分线的概念和作法。
通过实际操作练习，让学生亲自动手作出梯形的角分线。
梯形的几种辅助线做法
龙文学校个性化辅导讲义梯形问题常见辅助线的作法梯形是在学习了三角形和平行四边形后学习的又一种特殊的四边形，因此，利用化归的思想方法，我们可利用平移、旋转等作出辅助线，通过割补、拼接，把梯形的问题转化为我们已经熟悉和解决了的三角形和平行四边形问题，从而用三角形和平行四边形的有关知识解决梯形问题。
下面通过例题具体说明梯形问题常见的辅助线的做法及其应用。
一、平移梯形一腰 ，将梯形转化成平行四边形。
即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。
例1、如图1，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=DC ，BD ⊥DC ，且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20cm ，求此梯形的中位线长。
二、平移梯形的一条对角线，将梯形转化成平行四边形的直角三角形。
即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题。
例2、如图2，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形中位线的长等于 cm 。
思考：分别过A 、B 、C 三点作对角线的平行线，是否可以解出此题呢？（提示：可以，解法同上。
）三、过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角梯形和一个矩形。
例3、如图3，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC=BD ，AD=AB=4cm ，∠A=1200，求梯形ABCD 的面积。
图3ADBCEF图1A DBCE 图2ADBC E四、延长梯形两腰交于一点，构成两个相似三角形。
例4、如图4，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A+∠B=900，AB=a ，CD=b ，E 、F 分别是AB 、CD 中点，求EF 的长。
(说明：此题也可以通过过点E 平移两腰来求得，请同学们自己练习。
)五、连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形。
梯形中常见的辅助线
梯形中的常见辅助线一、平移1、平移一腰:例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，/ A = 90° AB // DC, AD = 15, AB = 16, BC = 17.求CD的长.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰：例3 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，/ B + Z C=90° , AD=1 , BC=3 , E、F 分别是AD、BC 的中点,连接EF，求EF的长。
3、平移对角线:例4、已知：梯形ABCD 中，AD//BC , AD=1 , BC=4 , BD=3 , AC=4，求梯形ABCD 的面积.例5 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC , AD=3 , BC=7 , BD= 5 - 2，求证：AC 丄BD。
例6如图，在梯形ABCD 中，AD//BC , AC=15cm , BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD 的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，/ B=50 °，/ C=80 ° , AD=2 , BC=5，求CD 的长。
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC, AC = BD , AD = BC.判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6,在直角梯形ABCD中，AD//BC ,AB 丄AD , BC=CD , BE 丄CD 于点E，求证:四、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，/ ABC=90 ° , AB=2DC，对角线AC丄BD，垂足为F,过点F作EF//AB，交AD于点E,求证：四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD 中，AD//BC , AB=CD，/ ABC=60 ° , AD=3cm , BC=5cm ,AD=DE 。
梯形的常用辅助线
梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC⊥BD。
变式训练1.已知等腰梯形ABCD的两条对角线AC ，BD互相垂直,上底AD=11，下底BC=19，求梯形ABCD的面积2.在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例3］在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
三、作梯形的高作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
［例4］在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。
C第9题图跟踪练习1等腰梯形的上底、下底、高之比为1∶3∶1，则下底角的度数是（ ） A 30° B 45° C 60° D 75°2.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.3.梯形的上底长为5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.4直角梯形的斜腰长为12cm ，这条腰和一底所成的角为30°，则另一腰是________5如图4-84，ABCD 是一梯形，DC AB //，AB ＝5，23=BC ，︒=∠45BCD ，︒=∠60CDA ，DC 的长度是（）A ．338+B ．8C ．219 D ．38+6 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD 于点O ，∠BAC=60°，若，则此梯形的面积为（ ）A ．2 B．1C．27.梯形ABCD中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN上一点，那么PC+PD 的最小值为8 如图2，等腰等形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=5， ∠B=60°，BC=8， 且AB ∥DE ，（1）求ΔDEC 的周长和面积 （2）求梯形的面积9已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BD=6，AC=BC=8。
梯形中常见的辅助线
梯形中的常见辅助线ABCD 中，/ A = 90°, AB// DC , At > 15, AB= 16, BC = 17.求 CD 的长.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围。
2、平移两腰：例3如图，在梯形 ABCD 中, AD//BC ,/ B +Z C=90°, AD=1, BC=3 E 、F 分别是 AD BC 的中点，连接EF,求EF 的长。
一、平移1、平移一腰:B例1.如图所示，在直角梯形B G F ft C3、平移对角线:例4、已知：梯形ABCD中, AD//BC, AD=1, BC=4 BD=3 AC=4,求梯形ABCD的面积.例5 女口图,在等腰梯形ABCD中, AD//BC, AD=3 BC=7 BD=5.2 ,求证：AC丄BD。
例6 如图，在梯形ABCD中, AD//BC, AC=15cm BD=20cm 高DH=12cm 求梯形ABCD的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7 如图，在梯形ABCD中, AD//BC ,Z B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5 求CD的长。
£I例8.如图所示，四边形 ABCD 中，AD 不平行于BC, AC= BD, AD= BC.判断四边形 ABCD 的形状，并证明 你的结论.2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCD 中, AD//BC , AB=CD Z ABC=60 , AD=3cm BC=5cm 求：（1）腰AB 的长；⑵ 梯形ABCD 的面积.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例 9 女口图 6，在直角梯形 ABCD 中, AD//BC , AB1 AD, BC=CD BE ± CD 于点 E ,求证：AD=DE四、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD 中, AB//DC ,/ ABC=90 , AB=2DC 对角线 AC 丄 BD 垂足为 F ,过点 F 作EF//AB ，交AD 于点E ,求证：四边形 ABFE 是等腰梯形。
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5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
3、平移对角Leabharlann ：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD= ，求证：AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2） 。
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
**8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．
课后作业（答题时间：40分钟）
1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。
四、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
，
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
五、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
二、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
三、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
梯形中的常见辅助线
一、平移
1、平移一腰：
例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）
A. 19B. 20C. 21D. 22
**3.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）
A. 130B. 140C. 150D. 160