初二上梯形辅助线专题训练(非常经典)
八年级数学梯形中常见辅助线
ABCD的面积．
A
D
BE
FC
作梯形的高,梯形转化成:长方形和 直角三角形.
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC 的中点，EF⊥AB于点F．
求证：S梯形ABCD=AB×EF．
AD F
E
B
CG
平移底,梯形转化成:三角形.
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC,
AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE
的长．
A
D
B
E CF
平移对角线,将梯形转化成：
平行四边形、三角形.
2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，
AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则
梯形的面积=
．
AB
D
CF
E
3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C= 90°， 请说明EF= （BC-A1D）．
梯形中常见辅助线
例题精讲
1.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B＝70°，∠C＝40°，
求证:CD＝BC－AD.
CB
F
C
延长两腰,将梯形转化成三角形.
A
D
B
F
C
平移一腰,梯形转化成:平行四边形和 三角形.
２．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB＝DC＝AD＝5，BC＝11；求梯形
2
AE D
BG
F
HC
教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？
；led防爆灯的量 防爆手电筒的量 / led防爆灯的量 防爆手电筒的量 ；
异能,最终还是忍住不问.因为亭飞正在一边冷眼旁观,她那天の话犹历历在目.“不用谢,”陆
初二数学辅助线题大全
10 道初二数学辅助线题题目一已知在三角形ABC 中，AB = AC，D 是BC 中点，求证：AD⊥BC。
解析：连接AD，因为AB = AC，D 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD⊥BC。
题目二在平行四边形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是CD 中点，连接EF，求证：EF 平行且等于AD 的一半。
解析：连接AF、EC，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB⊥CD，AB = CD。
又因为E 是AB 中点，F 是CD 中点，所以AE = CF。
可得四边形AECF 是平行四边形，所以EF⊥AC，EF = AC 的一半。
又因为平行四边形ABCD 中，AD = BC，AC = 2AO（O 为对角线交点），所以EF 平行且等于AD 的一半。
题目三在三角形ABC 中，⊥A = 90°，AB = AC，D 是BC 中点，连接AD，E、F 分别是AB、AC 上的点，且BE = AF，求证：ED⊥DF。
解析：连接AD，因为AB = AC，⊥A = 90°，D 是BC 中点，所以AD = BD = CD，且AD⊥BC，⊥BAD = ⊥CAD = 45°。
可证⊥BDE⊥⊥ADF（SAS），所以⊥BDE = ⊥ADF，又因为⊥ADB = 90°，所以⊥EDF = 90°，即ED⊥DF。
题目四在梯形ABCD 中，AB⊥CD，⊥A + ⊥B = 90°，E、F 分别是AB、CD 的中点，求证：EF = (AB - CD) / 2。
解析：延长AD、BC 交于点G，因为AB⊥CD，所以⊥GDC = ⊥A，⊥GCD = ⊥B。
又因为⊥A + ⊥B = 90°，所以⊥G = 90°。
因为E、F 分别是AB、CD 的中点，所以EF 是梯形ABCD 的中位线，所以EF = (AB + CD) / 2。
在直角三角形GDC 和直角三角形GAB 中，F、E 分别是斜边CD、AB 的中点，所以GF = CD/2，GE = AB/2。
《梯形》辅助线专题训练
《梯形》辅助线专题训练通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解决梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。
ABCD E平移对角线，转化为三角形、平行四边形。
ABCDE延长两腰，转化为三角形。
ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。
ABCD EF中位线与腰中点连线。
ABCD EF一、平移1、平移一腰例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长。
解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2.梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰例3.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
ABCDABCD E解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)(2121CH BG BC GH EF --==1)13(21)(21)]([21)(21=-=-=+-=--=AD BC DE AE BC DE AE BC3、平移对角线例4.已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD 的面积。
梯形辅助线专题训练 (1)
梯形辅助线专题训练 (1)梯形辅助线专题训练题（5.1作业）班级姓名常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:课后练习：1、如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=60°，∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD 的面积．2、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2， BC=4，求∠B 的度数及AC 的长。
3、已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，求等腰梯形的周长。
A BCD4、 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，求梯形ABCD 的面积。
5、 在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长. 6、 已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.7、 已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，ABCDABCDB CA DE∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．9、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB的长．10、如图6，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．ABCDE11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD 的高．12、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为 .13、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，10CD B C ==，21AB =，9AD =．求AC 的长．BC DOA12题特殊四边形补充题：1.如图，将边长为8㎝的正方形ABC D 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.43.如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．A ．2 B ．4π- C ．π D ．π1- 4.如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为（ ） A ．4x B ．12x C ．8xD ．16xAB CQR MD5.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、326.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ， 使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A ．23B ．26C ．3D ．6 7.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）8.如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠=________度．A DE PB C ADF9.矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD ⊥于E ，若13OE ED =∶∶，3AE =，则BD = ．10.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．11.若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为 ．12.如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC E F ∥，∥，∥，、 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．13.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点EF DCA BE MFD CABE MA D CF E B作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．14．如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．（1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？A DF CE G B15.在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E．（1）求BDE △的周长；（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．16.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）. （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.xA Q DEB PC O17.如图，直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ，①当2t <≤4时，试探究2S 与t之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516？18.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF= 90 ，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m= tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何tE的坐标．19.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D第19题图③第19题图②D 第19题图①。
辅助线典型例题练习
略解：
5.补成梯形
例9．如图9，已知：G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝ (2AA1＋BB1＋CC1)。
分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。
略证：
2.补成矩形
例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。
分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。
分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。
略证：
三、练习1、在△ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE= BD，求证：BE平分∠ABC。
略解：
4.补成等边三角形
例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。
证明：EC＝ED
分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。
略证：
二、补成特殊的四边形
1.补成平行四边形
例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。
梯形中常见辅助线及例题
例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
【变式2】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。
三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
最新梯形中的常用辅助线总结与对应练习题
. 求证： 中,
. . 求证：梯
形
是等腰梯形 .
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。 ［例 2］如图，在梯形 ABCD中， AB//CD，∠D＋∠ C=90°，BC=1，AD=3，E、F 分别是 AB、CD的中点， 连接 EF，求 EF的长。
【变式】如图，在梯形
【变式 1】在等腰梯形 ABCD中， AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5 2 ，求证： AC⊥ BD。
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【变式 2】（平移对角线）已知梯形 ABCD的面积是 32，两底与高的和为 16，如果其中一条对角线与 两底垂直，则另一条对角线长为 _____________ ［例 4］在梯形 ABCD中， AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高 DH=12cm，求梯形 ABCD的面积。
D
C
A
B
三、作对角线： 即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例 6］在直角梯形 ABCD中， AD//BC，AB⊥ AD，BC=CD，BE⊥CD于点 E，求证： AD=D。E
四、作梯形的高 1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
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［例 7］如图，在直角梯形 ABCD中， AB//DC，∠ ABC=9°0 ， AB=2DC，对角线 AC⊥BD，垂足为 F，过 点 F 作 EF//AB，交 AD于点 E，求证：四边形 ABFE是等腰梯形。
中，
，
1 EF=2(CD-AB)
， 、 为 、 的中点。求证：
3、平移对角线：一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线 , 与另一底的延长线相交 , 得到一个 平行四边形和三角形 , 把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．
八年级数学梯形中常见辅助线
B
E
C
F
平移对角线,将梯形转化成： 平行四边形、三角形.
2．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC， AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD，则 梯形的面积= ．
A
B
D
E
C
F
3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C= 90°， 1 请说明EF= （BC-AD）．
A
D
B
E
F
C
作梯形的高,梯形转化成:长方形和 直角三角形.
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC 的中点，EF⊥AB于点F． 求证：S
梯形ABCD
=AB×EF．
A F 转化成:三角形.
⒋如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AC⊥BD， AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE 的长．
2
A B
E
D
C
G
F
H
教学反思：
你能总结梯形中常见辅助线吗？
；微商软件 / ；
糊の身影时,他の心头却突然再次响起了那诡异の声音.白重炙迷茫の四处一扫,却发现四周の人毫无异样.内心不禁震愕起来.这次他没有盘坐在山上,也没有进入入定状态,这声音却是就这样莫名响起…… 本书来自 聘熟 当前 第柒肆2章 没大没不咋大的 "咚,咚,咚！" 声音连绵不绝,响个不 停,频率比以前更快更欢乐了几分,并且听着非常清晰,非常の稳定,没有以往の飘渺,异常の欢乐,异常の亲热,宛如许久没见の亲人重逢一样. "俺叉,没想到离开了几个月,还有这效果?" 白重炙目瞪口呆,因为此刻他几多の清楚,这声音の源头在何方,并且他内心中有种莫名の感觉,此刻他绝对可 以几步登顶.因为声音の源头…就在那五
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梯形辅助线专题训练口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下：作法 图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。
ABCDE平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
ABCDE延长两腰，转化为三角形。
ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。
ABCD E F中位线与腰中点连线。
ABCD EF（一）、平移1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC＝17. 求CD 的长.解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5， 所以BC 的取值范围是： 5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：例3如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得ABCDABCDE∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以)(2121CHBGBCGHEF--==1)13(21)(21)]([21)(21=-=-=+-=--=ADBCDEAEBCDEAEBC3、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形AB CD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则512=⨯=BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD=⨯=⨯+=∴梯形S．例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：A C⊥BD。
解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=25，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
ABDC EH在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222100)25()25(AE CE AC ==+=+，从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD 。
例6如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于点E ， 则四边形ACED 是平行四边形， 即DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。
所以DBEABCD S S ∆=梯形由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=（cm ）1612202222=-=-=DH BD BH （cm ） 所以)(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。
（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
解：延长BA 、CD 交于点E 。
在△BCE 中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC －ED=5－2=3例8. 如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形.证明：延长AD 、BC 相交于点E ，如图所示. ∵AC ＝BD ，AD ＝BC ，AB ＝BA ， ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA.∴EA ＝EB.又AD ＝BC ，∴DE ＝CE ，∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°， ∴∠EDC ＝∠EAB ，∴DC ∥AB. 又AD 不平行于BC ， ∴四边形ABCD 是等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
解：连结BD ，由AD//BC ，得∠ADB=∠DBE ；ABCDABCDE由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。
（四）、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线A C⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5c m，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm∵AB=DCcmEFBCFCBE1)(21=-==∴∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cmAB CDE F∴AB=2BE=2cm ，cm BE AE 33== ∴2342)(cm AEBC AD S ABCD =⨯+=梯形例12如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。
证：作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，则易知AE=DF 。
在Rt △ABE 和Rt △DCF 中， 因为AB>CD ，AE=DF 。
所以由勾股定理得BE>CF 。
即BF>CE 。
在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。
证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=21（AB ＋CD ）①在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD OE 21=②由①、②得AB ＋CD=AD 。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)(21AD BC EF -=。
证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD ≌△CFG 则AD=CG ，DF=GF由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG ，且BG EF 21=因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-= 所以EF//AD ，EF )(21AD BC -=3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。
解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点 ∵∠BAD=900且AD ∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD ∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等） DE=EC （E 点是CD 的中点） ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE在△ABF 中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE例16、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 中点，试问：线段AE 和BE 之间有怎样的大小关系？解：AE=BE ，理由如下： 延长AE ，与BC 延长线交于点F ． ∵DE=CE ，∠AED=∠CEF ， ∠DAE=∠F ∴△ADE ≌△FCE ∴AE=EF∵AB ⊥BC ， ∴BE=AE ．例17、已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为DC 中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=3c m ，EF=5cm ，求梯形ABCD 的面积．解：如图，过E 点作MN ∥AB ，分别交AD 的延长线于M 点，交BC 于N 点． ∵DE=EC ，AD ∥BC ∴△DEM ≌△CNE四边形ABNM 是平行四边形 ∵EF ⊥AB ，∴S 梯形ABCD =S □ABNM =AB ×EF=15cm 2．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22AB CDAB DCEFA BCD EFM N3. 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160ABCDE*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.AB CD5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.AB CD6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.ABCDE7. 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＋DC ＝8，求AB 的长.ABCD**8. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？A B C DE。