黄立宗推荐-梯形辅助线专题训练题--好

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【黄冈中考】备战中考数学梯形的押轴题解析汇编二人教新课标版

【黄冈中考】备战2012年中考数学—— 梯形的押轴题解析汇编二梯形一、选择题1.（2011湖南长沙，10，3分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，AD =2，BC =4，则梯形的面积为（） A.3 B.4C.6D.8【解题思路】根据梯形的面积公式计算，该等腰梯形的高未知.通过添加高线将四边形问题转化为三角形问题，通过解直角三角形求出高的长度，进而求出梯形面积.【答案】解：过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点B 作DN ⊥BC 于N ，于是四边形AMND 为矩形，所以MN=AD=2，Rt △ABM ≌△DCN ，所以BM=CN=（4-2）÷2=1.因为∠B =45°，所以在Rt △ ABM中，AM=BM=1.因此梯形的面积为：=+AM BC AD )(211)42(21⨯+=3. 故选A.【点评】本题考查了梯形的性质及面积计算.关于梯形问题是中考的一考查点之一.往往需要作辅助线，将其转化为矩形或三角形问题.这样问题一般难度中等.1. （2011台北28）某直角柱的两底面为全等的梯形，其四个侧面的面积依序为20平方公分、36平方公分、20平方公分、60平方公分，且此直角柱的高为4公分。

求此直角柱的体积为多少立方公分？(A) 136 (B) 192 (C) 240 (D) 544【分析】：由四个侧面的面积可判定两个底面是等腰梯形，两底长分别是9、15；腰长是5。

做出等腰梯形的高，根据勾股定理易求的高是4，在计算出面积. 【答案】：B【点评】：快速判定底面是等腰梯形是解题的关键，进而做出梯形的两个高，运用勾股定理求出梯形的高，代人公式即可。

难度中等. 3. （2011年湖北省武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=DC=CB ，若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是A.40°.B.45°.C.50°.D.60°.分析：由AB ∥DC ，可得∠BDC=∠ABD=25°，DC=CB ，可得∠BDC=∠CBD=25°，所以∠ABC=50°.利用等腰梯形两个底角相等. 答案：C点评：本题是一道难度较大的题。

梯形辅助线专练

例1. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8，DC ＝6，∠B ＝45°，BC ＝10，求梯形上底AD 的长.分析：作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，这样可构造两个直角三角形.解：分别过点A 、D 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则四边形AEFD 是矩形. 在R t △ABE 中，∵∠B ＝45°，∴AE ＝BE.设AE ＝BE ＝x ，则AB ＝x ＝8，∴x ＝4，∴AE ＝BE ＝DF ＝4，在R t △DFC 中，CF ＝＝2， ∴AD ＝EF ＝BC －BE －CF ＝10－4－2＝8－4.例2. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长.解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64.所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8. 例3. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，BD ＝6cm . 求梯形ABCD 的面积.解：过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E. 又AD ∥BC ，∴四边形ACED 是平行四边形. ∴AC ＝DE ，S △ADC ＝S △ECD . ∵S △ADC ＝S △DAB ，∴S △DAB ＝S △ECD . ∴S △DBE ＝S 梯形ABCD .∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD. ∵AC ＝DE ，∴BD ＝DE ＝6cm .∵AC ⊥BD ，AC ∥DE ，∴DE ⊥BD.∴S 梯形ABCD ＝S △DBE ＝BD ·DE ＝×6×6＝18（cm 2）.例4. 如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形.证明：延长AD 、BC 相交于点E ，如图所示. ∵AC ＝BD ，AD ＝BC ，AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA. ∴EA ＝EB. 又AD ＝BC ，∴DE ＝CE ，∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°，A B C D E FA B C D EA B CE D A B CD E∴∠EDC ＝∠EAB ，∴DC ∥AB. 又AD 不平行于BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形. 例5. 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1. E 是AD 的中点，求证：CE ⊥BE.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵CD ∥BF ，∴∠D ＝∠EAF ，∠DCE ＝∠F. ∵DE ＝AE ，∴△CDE ≌△FAE. ∴AF ＝CD ＝1，EF ＝CE.∵AB ＝2，BC ＝3，∴AB ＋AF ＝BC. 即BF ＝BC. ∴BE ⊥CE. 1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C. 21D. 22AB CD**3. 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（）A. 130B. 140C. 150D. 160ABCDE*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.AB CD5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.AB CD6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.ABC D E FA BCDE7. 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＋DC ＝8，求AB 的长.ABCD**8. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？AB CDE1、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=3，则CD= 。

《梯形》辅助线专题训练

《梯形》辅助线专题训练通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解决梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。

ABCD E平移对角线，转化为三角形、平行四边形。

ABCDE延长两腰，转化为三角形。

ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。

ABCD EF中位线与腰中点连线。

ABCD EF一、平移1、平移一腰例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长。

解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2.梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰例3.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

ABCDABCD E解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)(2121CH BG BC GH EF --==1)13(21)(21)]([21)(21=-=-=+-=--=AD BC DE AE BC DE AE BC3、平移对角线例4.已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD 的面积。

梯形

等腰梯形常用辅助线专项练习姓名一、选择：1、如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD 的下底在x 轴上，且B 点坐标为（4，0），D 点坐标为（0，3），则AC 长为（）A ．4B ．5C ．6D ．不能确定2、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积是（） A ．310 B ．320 C ．6+34 D ．12+383、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ．AD=2，BC=6，∠B=60°，则梯形ABCD 的周长是（） A ．12 B ．14 C ．16 D ．184、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，若CD=3，AB=5，则AC 的长为（）A ．24B ．4C ．33D ．525、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B=60°，CD=2cm ，则梯形ABCD的面积为（）cm 2．A ．33B ．6C ．36D ．126、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AD=4，BC=8，则AE+EF 等于（）A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空：7、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=2，第1题第2题图第3题图第4题图第5题图第6题图8、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥BD ，∠A=60°，AD=2，梯形ABCD 的面积为（结果保留根号）。

9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC=6cm ，则等腰梯形ABCD 的面积为。

10、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC 且AC ⊥BD 于E ，AD=2，BC=8，则该梯形的面积为。

八年级下册数学梯形的辅助线基础题人教版(含答案)

八年级下册数学梯形的辅助线基础题人教版一、单选题(共7道，每道15分)1.梯形ABCD，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠B＝70°，∠C＝40°，则CD的长为（）A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：平移一腰2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠B＋∠C＝90°，AD＝7，BC ＝15，求EF的长A.2B.4C.6D.8答案：B试题难度：三颗星知识点：平移两腰3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是（）A.24B.20C.16D.12答案：A试题难度：三颗星知识点：平移对角线4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长（）A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：延长两腰5.梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，CD=，∠B=60°，∠C=45°，则梯形ABCD的周长为（）A.B.C.D.13答案：A试题难度：三颗星知识点：做高线6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）A.2.2B.1.3C.2.5D.2.3答案：D试题难度：三颗星知识点：延长一腰中点与梯形一个顶点的连线7.在梯形ABCD中，AB∥CD，点M为BC的中点，DM平分∠ADC，下面结论不正确的是（）A.∠DAM=∠BAMB.DM⊥AMC.AD=BCD.AD=DC+AB答案：C试题难度：三颗星知识点：与一腰上一点有关辅助线。

黄立宗推荐-梯形辅助线的常见作法--好--

梯形辅助线的常见作法---黄立宗编排梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。

例1：（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。

求证：B= C证明：过点D作DM//AB交BC于点M。

因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM因为 BA=DC 所以 DM=DCDMC= CDMC= B B= C（2）梯形外平移一腰例2：（如图2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F，求证:EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵□ACED中，AD∥CE AD=CE∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF∴:EF=FB(3)梯形内平移两腰例3 ：（如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN又∵BF=CF ∴FM=FN∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C∴∠B=∠C(4)延长两腰例4：（如图4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA,CD交于点E∵∠B=∠C ∴BE=CE∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA∴AB=CD结论得证（5）过梯形上底的两端点向下底作高例5：（如图5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。

解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形∴DC=EF∴AE=(AB-EF)= (AB-CD)=3∴ DE===4∴=(2+8)x4=20(6)平移对角线 ---求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形辅助线的添设方法[1]共17页文档

梯形辅助线的添设方法[1]
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
开动脑筋
在
转
梯形
平移腰
化为
中
作高
常
三角
用
形
的
补为三角形
或
作
平
辅
平移对角线
行
助
四
线
其他方法
A
2D
23
3
32
B 60°
3 E`
45 ° C
3
布置作业：
1、课本179页B组题 2、求证：对角线垂直的等腰梯形的高等于它的中位线
A F B
D G
E
C
H
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
边
方
形
法
灵活应用
等
A
D
A
平
B
移
E
A
D
CB
A
E O
D
E
C D
B
FC
B
C
腰
1.以上图中相等的线段，相等的角 2.平移腰可将梯形的两腰、两底角放置在一个三角形.
作
A
D
BE
F
C
高ห้องสมุดไป่ตู้
O
补A
D

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梯形辅助线专题训练题---黄立宗编排
考号姓名
1、如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D=60°，∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD 的面积．
2、在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=DC=AD=2， BC=4，求∠B 的度数及AC 的长。

3、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，求等腰梯形的周长。

A
B C
D
4、如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，求梯形ABCD 的面积。

A
B
C
D
E
5、如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.
A B
C
D C
D
A B
A
B C
D
6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.
A
B C
D
7、如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.
A
B
C
D
E
8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．
求证： CE=BF ．
9、如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，9038BD C D BD C AD BC =∠===，°，，
．求A B 的长．
B
C
A
D
E
10、如图6，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求B E 的长．
11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD=60°，若CD=3，
AB=8，求梯形ABCD 的高．
12、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为多少.
13、如图，在梯形ABCD 中，∥ADBC ，AB=CD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、
DA 的中点，小王
B
C
D
O
A
12题图
根据以上条件猜测出四边形EFGH是菱形，你同意他的观点吗？请回答，并说明理由。

14、如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，连结AP、EF。

（1）试说明AP=EF的道理；（2）猜想AP与EF有怎样的位置关系，并说明理由。

15、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BG⊥CD于G，P是BC上任意一点，作PE⊥AB，
PF⊥CD。

求证：PE＋PF=BG。

16、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=8cm，BC=21cm，动点P从点
A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度移动，动点Q从点C开始沿CB边向B点以每秒2cm的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间t秒，求t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形。

17、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC
于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE 。

18、如图，在直角梯形ABCD 中，,8,24,90,//0cm AB cm AD B BC AD ===∠
cm BC 26=，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以s cm /1的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B
以s cm /3的速度运动。

P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts 。

（1）当t 为何值时，四边形PQCD 平行为四边形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？。