梯形辅助线做法练习题

《梯形》辅助线专题训练

《梯形》辅助线专题训练通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解决梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。

ABCD E平移对角线，转化为三角形、平行四边形。

ABCDE延长两腰，转化为三角形。

ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。

ABCD EF中位线与腰中点连线。

ABCD EF一、平移1、平移一腰例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC ＝17. 求CD 的长。

解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2.梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰例3.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

ABCDABCD E解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)(2121CH BG BC GH EF --==1)13(21)(21)]([21)(21=-=-=+-=--=AD BC DE AE BC DE AE BC3、平移对角线例4.已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD 的面积。

北京市八年级数学下册梯形的辅助线课后练习

梯形的辅助线课后练习题一：(1)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，腰AB= 4，两底之差为2，求另一腰CD的长；(2)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，AD=8，BC=14，求梯形ABCD的周长；(3)如下图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求那个梯形各内角的度数；(4)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F别离是AD、BC的中点，那么EF= ．题二：(1)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N别离为AB、CD、BC、DA的中点，已知BC=7，MN=3，那么EF= ；(2)如图，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则梯形ABCD的面积为；(3)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB= 4，BC=7，求∠B的度数；(4)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，E在BC上，CE=2，那么DE= ．题三：已知：等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，那么等腰梯形的下底是cm．题四：已知：等腰梯形的一个底角等于60°，它的两底别离为4cm和7cm，那么它的周长为cm．题五：如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD= 4，BC=8，求AC的长．题六：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，假设AD=3，BC=7，求梯形ABCD面积的最大值．题七：如图，梯形ABCD中，AD∥B C，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，假设AD=2.7，AF=4，AB=6，求CE的长．题八：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N别离为AB、CD的中点，求线段MN的长．题九：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB= 4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM．求△ABM的面积．题十：如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，∠B=90°，AB=AD+BC．点E是CD的中点，点F是AB上的点，∠ADF= 45°，FE=a，梯形ABCD的面积为m．(1)求证：BF=BC；(2)求△DEF的面积(用含a、m的代数式表示)．题十一：以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，如此的梯形( ) A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出题十二：以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，如此的梯形(不全等的)( ) A．至少能做3个B．恰好能做2个C．仅仅只能做1个D．一个也不能做梯形的辅助线课后练习参考答案题一：(1)25；(2)34；(3)60°，60°，120°，120°；(4)1．详解：(1)过D作DE⊥BC于E，∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四边形ADEB是个矩形，∴AB=DE= 4，CE=BC AD=2，Rt△DEC中，CD=22+=22DE CE+=25；42；(2)过A、D点作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵AB=CD，∠B=∠C，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∵AD=8，BC=14，BE=CF=3，又∵在Rt△ABE中，∠B=60°，∴AB=2BE=6，∴梯形ABCD的周长为8+14+6+6=34；(3)如下图，过点C作CE∥AD，又DC∥AE，∴四边形AECD为平行四边形，又DC=AD=BC，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=BC，∴∠EAC=∠ECA，∠CEB=∠B，∵∠B+∠CAB=90°，即3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠B=60°=∠DAB，∠D=∠DCB=120°；(4)过点E作AB、CD的平行线，与BC别离交于G，H，∵∠B+∠C=90°，∴∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，∴∠EGH+∠EHG=90°，∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，△EGH为直角三角形，∵E、F别离是AD、BC的中点，∴BG=CH=0.5，GH=2，GH=1，∴EF=1．依照直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，EF=12题二：(1)4；(2)13；(3)60°；(4)5．详解：(1)过点N别离作N G∥AB，NH∥CD，得平行四边形ABGN和平行四边形DCHN，∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC AD，MG=MH，∴GH=2MN=6，∴AD=76=1，∴EF= 4；(2)∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D+∠DCB=180°，∵∠D=120°，∴∠B=∠DCB=60°，∵对角线CA平分∠BCD，∴∠ACB=30°，∵AD=DC，∴∠DAC=∠ACD=30°，∴∠BAC=90°，∴BC=2AB，∵梯形的周长为AD+DC+BC+AB=5AB=20，∴AB= 4，∴AC=43，BC=8，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB= 4，AC=43，BC=8，=123；∴AE=23，∴梯形ABCD的面积为(4+8)×23×12(3)过点A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC CE=73= 4，∴CD=AB= 4，∴AE=AB=BE= 4，∴△ABE是等边三角形，∴∠B=60°；(4)过D作DF∥AC交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD=3，∵BC=7，∴BF=BC+CF=7+3=10，∵CE=2，∴BE=72=5，EF=2+3=5，∴BE=EF，BF=5．又∵AC⊥BD，DF∥AC，∴∠BDF=90°，∴DE=12题三：6cm．详解：过D作DE∥AB交BC于E，∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE=2cm，DE=AB=4cm，∠DEC=∠B=60°，AB=DE=DC，∴△DEC是等边三角形，∴EC=CD= 4cm，∴BC= 4cm+2cm=6cm．题四：17cm．详解：过上底极点D作DE∥AB交BC于E，那么四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，AD=BE，∵梯形的一个底角是60°，∴∠C=60°，又∵腰长AB=CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=BC BE=74=3cm，∴它的周长为3+7+3+4=17cm．题五：62详解：过D作DE∥AC交BC的延长线于E，∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴ADEC是平行四边形，∴AD=CE，AC=DE，即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12，又∵AC=BD，∴BD=ED，∴△BDE为等腰直角三角形，∴AC=BD=62题六：25．详解：过D作DE∥AC交BC延长线于E，∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴依照等底等高的三角形面积相等得出△ADC的面积等于△DCE的面积，即梯形ABCD的面积等于△BDE的面积，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE=90°，BE=3+7=10，∴现在△BDE的边BE边上的高越大，它的面积就越大，即当高是12BE时最大，即梯形的最大面积是12×10×12×10=25．题七：2.3．详解：延长AF、BC交于点G，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴△AFD≌△GFC，∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7，∵AF⊥AB，AB=6，∴BG=10，∴BC=BG CG=7.3，∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，∴∠EAG=∠AGE，∴AE=GE，∴BE=12BG=5，∴CE=BC BE=2.3．题八：3．详解：如图，过D作DE∥BC，DF∥MN，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BC，∴CD=BE=5，AE=AB BE=115=6，∵M为AB的中点，∴MB=AM=12AB=12×11=5.5，ME=MB BE=5.55=0.5，∵N为DC的中点，∴DN=12DC=12×5=2.5，在四边形DFMN中，DC∥AB，DF∥MN，∴FM=DN=2.5，∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=12AE，∴F为AE的中点，又∵DE∥BC，∴∠B=∠AED，∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠AED=90°，∴∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴DF=MN=12A E=12×6=3．题九：8．详解：延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN=12AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN=12×AB•BN=12×4×8=16，∴S△ABM=12S△ABN=8，即△ABM的面积为8．题十：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是直角梯形，∴∠A=90°，∵∠ADF=45°，∴∠AFD= 45°，∴AD=AF，∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，∴BF=BC；(2)连接FC，设AD=AF=x，BC=BF=y，连接CF，作DH⊥BC于H，易证四边形ABHD为矩形、△CDF为直角三角形，又∵E是CD中点，∴CD=2EF=2a，由勾股定理得x2+y2=2a2…①，由直角梯形的面积公式可得：(x+y)2=2m…②，由②①，得xy=m a2，∵S△DFC=S梯形ABCD S△AFD S△BFC=12(x+y)2 12x2 12y2 = xy，∴S△DEF=12S△DFC=12m12a2．题十一：D．详解：如图，过点B作BE∥AD，那么显现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能组成三角形∴如此的梯形一个也不能作．应选D．题十二：C．详解：作DE∥AB，那么DE=AB，①当a=5为上底，b=10为下底，c、d为腰时，105=5，与15，20不能组成三角形，故不知足题意；②当a=5为上底，b=15为下底，b、d为腰时，155=10，与10，20不能组成三角形，故不知足题意；③当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，205=15，与10，15能够组成三角形，故知足题意；④当b=10为上底，c=15为下底，a、d为腰时，1510=5，与5，20不能组成三角形，故不知足题意；⑤当b=10为上底，d=20为下底，a、c为腰时，2010=10，与5，15不能组成三角形，故不知足题意；⑥当c=15为上底，d=20 为下底，a、b为腰时，2015=5，与5，10不能组成三角形，故不知足题意；综上可得只有当a=5为上底，d=20为下底，b、c为腰时，知足题意，即以线段a=5，b=10，c=15，d=20做梯形四边形，如此的梯形(不全等的)只能做一个．应选C．。

梯形中常用的辅助线

图５
例４在课外活动课上，师让同学们老做～个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风
ＡＥＢＦＢＣ。Ｈ？Ｄ。Ｇ｝Ｄ．故Ｅ ∥ ＧＦ ∥ Ｅ即四边形ＥＧＦＨ，ＧＨ，ＦＨ
是平行四边形．
１＇
（）ｏｃ６
（）０Ｄ６√
Ｄ
解：如图４所示，点Ｄ作过
构造全等三角形
Ｄ／Ａ交ＢＥ／ＣＣ的延长线于点Ｅ，则
四边形ＡＥ为ＣＤ
ＣＥ
例６在梯形ＡＣ中，Ｄ／Ｂ，Ｅ＝ＢＤＡ／ＣＡ
ＢＤＥ，Ｆ＝Ｃ求证：Ｆ．
故Ｊ形＝ＡＣ）ｅｓ＾去（Ｂ＋ＤＡ梯黝
＝ ×２５× １２＝１ｏ．５
ＦＧ是三角形的中位线，则
４平移对角线— — 构造平行四边形和以．
两条对角线为边的三角形
Ｆ
Ｃ
ＥＩＣ。Ｉ／ＦＡＦＧ／
因为ＡＢ∥ ＣＡＤ，Ｐ∥ Ｂ，以，Ｃ所四边形
ＡＣＰＢ是平行四边形．因而有
ＡＰＤ＝Ｃ＝３。ＡＰ＝ＢＣ，０，ＡＢ＝ＰＣ．
可得Ｆ＝０，ＦＢ＝Ｆ，Ｄ＝Ｆ．５￣Ａ
则ＢＦ＝Ａ４ＣＢ＝，Ｆ＝ＣＤ＝１．０
１
Ｅ／Ｂ，Ｆ＝１Ａ）Ｆ／ＣＥ（Ｄ＋．
证明：图如６联结Ａ并，Ｆ
ＡＤ
平行四边形，从

黄立宗推荐-梯形辅助线的常见作法--好--

梯形辅助线的常见作法---黄立宗编排梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。

例1：（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。

求证：B= C证明：过点D作DM//AB交BC于点M。

因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM因为 BA=DC 所以 DM=DCDMC= CDMC= B B= C（2）梯形外平移一腰例2：（如图2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F，求证:EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵□ACED中，AD∥CE AD=CE∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF∴:EF=FB(3)梯形内平移两腰例3 ：（如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN又∵BF=CF ∴FM=FN∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C∴∠B=∠C(4)延长两腰例4：（如图4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形。

证明：延长BA,CD交于点E∵∠B=∠C ∴BE=CE∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA∴AB=CD结论得证（5）过梯形上底的两端点向下底作高例5：（如图5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。

解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形∴DC=EF∴AE=(AB-EF)= (AB-CD)=3∴ DE===4∴=(2+8)x4=20(6)平移对角线 ---求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形与重心经典例题

类型一：梯形中的辅助线1、（2010北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。

求∠B的度数及AC的长。

思路点拨:平移一腰，把梯形分成一个平行四边形和三角形。

解法一：过A点作AE∥DC交BC于点E．∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD=EC，AE=DC．∵AB=DC=AD=2，BC=4，∴AE=BE=EC=AB．可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC=90°，∠B=60°．在Rt△ABC中，．∴∠B=60°，．解法二：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，∴∠AFB=∠DGC=90°．∵AD∥BC，∴四边形AFGD是矩形．∴AF=DG．∵AB=DC．∴Rt△AFB≌Rt△DGC．∴BF=CG．∵AD=2，BC=4，∴BF=1．在Rt△AFB中，∵2BF=AB，∴∠B=60°．∵BF=1，∴．∵FC=3，由勾股定理，得，∴∠B=60°，．总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，，（熟记梯形面积公式）解得x+y=8，z=8，过D作DE∥AC交BC的延长线于E．∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，根据勾股定理得，∵AC=DE，．【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）∴△CFB≌△AEB（AAS）∴CF=AE．∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，∴AFCD是矩形∴AD=CF，∴AD=AE．在Rt△ADC和Rt△AEC中，∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）∴CD=CE．【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

数学人教版八年级下册第十八章梯形的中位线和常用辅助线--

B
（A）ab/2 D （B） ab （C）（ a+b）/2 F （D） ab/4
C
2
（二）、选择题：
1. 梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm ，则梯形的中位线的长是（ B）.
（A）6√2 cm （B）6 cm （C）3√2 cm 3 cm
（ D）
2. 如图，直角梯形ABCD的中位线 EF的长为a，垂直于底的腰长 AB 为b，图中阴影部分的面积为（ A ）.
A
E
A D
E
B
F
C
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半·
A
E D
∵EF是梯形ABCD的中位线
F ∴
EF ∥A D∥ BC
B
C
1 EF （AD+BC） 2
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
A E D
证明：（一）延长DE交CB 延长线于F
A 15 B 8 F C ED Nhomakorabea构造旋转变换
其他方法
F是梯形的腰DC的中点
A
D
F
B C
E
梯形ABCD面积与哪个图形面积相等?
梯形中位线的定义
A D
E
B
F 连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线
C
已知：点 E和F分别是梯形ABCD的腰 AB、DC的中点，猜想EF与AD+BC的数量关系，以及EF与AD、BC的位置关系，并加以证明。
54º
B
E
O
补三 B
A
D C
角 1、若梯形ABCD是等腰梯形时，
ΔOBC是什么三角形？

梯形常见辅助线

梯形常见辅助线姓名___________班级__________学号__________分数___________一、填空题1．（15180－2011陕西）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD ＝3，BC ＝7，则梯形ABCD 面积的最大值____________． A DC B2．（5032）如图所示，在等腰梯形ABCD 中，∠B ＝45°，已知腰长是3cm ，则∠ADC ＝______度，高DE ＝_____．AB C D E3．（5031－2009广东湛江）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A +∠B ＝90°，CD ＝5，AB ＝11，点M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则线段MN ＝．BM4．（2552）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°，AD ＝1，BC ＝3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则EF ＝． F A B C DE5．（1367）等腰梯形的腰长与上底相等，下底是上底的2倍，则这个梯形的各内角度数分别为______________．6．（1422－2009浙江南充）如图等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝4，BC ＝7，则梯形ABCD 的周长是．DC A B二、证明题7．（15316）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝70°，∠C ＝40°，求证：CD ＝BC －ADDB C A三、解答题8．（14896）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，EF ⊥AB 于点F ．求证：S 梯形ABCD ＝AB ×EF ． G F EDB C A9．（5242）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，BD=5cm ，AC=6cm ，AE=3cm ，求梯形ABCD 面积。