现代控制理论论文

湖北民族学院姓名 XX班级 XX学号 XXXXXXXX摘要最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。

它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。

最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。

一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。

然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。

系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。

因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。

变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。

庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。

尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。

关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；线性二次型AbstractThe optimal control, also called dynamic optimization or infinite dimension, optimization of modern control theory, the most basic part of the core. It is the center of the research question: how to control system based on the dynamic characteristics, to choose, can control system according to certain technical requirements, and makes the operation performance of the system or the quality of describing a "index" in certain significance to achieve optimal value. The optimal control problem has four points for dynamic systems, controlled, The initial and terminal conditions (state) and, Performance index and allow control.A typical of optimal control problem is described as follows: the state equation and initial conditions are given, and given the objective function. Then a feasible method for the control system of the output state transition to the target state and optimum performance. The optimal performance index and quality in the specific conditions of the optimal value is functional form. Therefore solution of optimal control problem is due to the constraint condition of functional, belongs to the category of variational learning. The variational method, the maximum principle (minimum principle) and dynamic planning is the optimal control theory, the basic contents and methods. The Pontryagin maximum principle, Behrman dynamic programming and Kaman linear quadratic optimal control is obtained in the constraint condition of the optimal solution of the three powerful tools, used in the most optimal control problem. Especially the linear quadratic optimal control, because its in mathematics and engineering implementation is simple, so it has great practical value.Key words: The optimal control, Control rule, optimal performance indicators, The linear quadratic一绪论1.1背景和意义要求将最优控制问题典型解决方法变分法、极值原理和动态规划及其在时间最短控制问题的应用和线性二次型最优控制问题（包括线性二次型实验及仿真结果）作为主要内容。

其中有关线性二次型的实验要利用MATLAB软件建立数学模型及仿真并作对结果一定的分析。

通过理论与实践操作加深对最优控制这门课程的理解，使之能应用于以后的学习和工作。

1.2主要内容现代控制理论是在经典控制理论基础上逐步发展起来的。

其基本内容包括：线性系统的状态空间理论，最优估计与最优滤波、最优控制理论，系统辨识理论、鲁棒控制、自适应控制。

它以状态空间法为基础，研究多输入多输出、变参数、非线性、高精度、高效能等控制系统的分析与设计问题。

我们这个学期学习的是现代控制理论中一个重要核心部分：最优控制。

在上个世纪50年代初期，就出现了最短时间控制问题研究的论文，为最优控制理论的应用提供了第一批模型。

实际上，任何问题都存在优化问题。

优化问题可以分成两大类：参数最优化问题和最优控制问题。

参数最优化问题也称为静态最优化问题，它可以被抽象为在各种约束条件下的函数求极值的问题。

最优控制问题又称为动态最优化问题，它可以被数学抽象为在各种约束条件下泛函求极值的问题。

泛函求极值世纪上就是变分问题。

经典变分法只能解决一类简单的最优控制问题，因为它只适于研究不带闭域约束而且数学模型要具有足够的可微性的场合。

但实际问题往往具有闭域约束，而且往往不具备所需的可微性。

这样，就需要探索新的理论和新的方法，以便求解各种实际的最优控制问题。

在这些新的方法中，苏联学者庞德里亚金与20世纪50年代提出的“最大值原理”和美国学者贝尔曼与同一时期提出的“动态规划”具有特别重要的意义。

这两种方法从不同的角度发展了经典变分学，完善了最优控制理论，推动了最优控制理论的实际应用。

卡尔曼在60年代初提出和解决的线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题，可以构成最优闭环反馈系统，在工程上实用价值很大。

二 线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。

它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。

线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。

它能兼顾系统性能指标的多方面因素。

例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。

线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。

2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.2.1） )(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。

假设n m l ≤≤≤1，)(t U 不受约束。

若)(t Y r 表示预期输出变量，它是l 维向量，则有 )()()(t Y t Y t e r -=称为误差向量。

现在的问题是，选择最优控制)(t U 使下列二次型性能指标11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J e t Se t e t Q t e t U t R t U t dt =++⎰（2.2.2）为最小，这就是线性二次型最优控制问题。

（其中S 是l l ⨯半正定对称常数矩阵，)(t Q 是l l ⨯半正定对称时变矩阵，)(t R 是m m ⨯正定对称时变矩阵，终端时间f t 是固定的，终端状态)(f t X 自由。

2.3 二次型性能指标及其涵义11()()[()()()()()()]22f t T T Tf f t J e t Se t e t Q t e t U t R t U t dt =++⎰（1）终端代价（限制终端误差）：1()()2Tf f e t Se t（2）过程代价（限制控制过程误差）：01()()()2f t Te t L e t Q t e t =⎰（3）控制代价（限制控制U (t )的幅值及平滑性）：1()()()2f t Tu t L U t R t U t =⎰2.4线性二次型最优控制问题的几种特殊情况2.4.1状态调节器问题：若I t C =)(（单位矩阵），)(t Y r =0，则 ()()()Y t X t e t ==-。

于是性能指标变为11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J X t SX t X t Q t X t U t R t U t dt =++⎰则问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态)(t X 保持在零值附近，因而称为状态调节器问题。

2.4.1.1有限时间状态调节器f t 是给定的终端时刻，)(f t X 是自由的终端状态，控制函数)(t U 不受约束。

要求确定最优控制函数)(*t U ，使性能指标达到最小值。