高三数学练习题及答案(六)

一、单项选择题：1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N . 因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．i(1+i)2 D ．i(1+i)【答案】A【解析】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确； 对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 3．已知命题:P x R ∃∈，使得20x x+<，则命题P ⌝是( )A ．x R ∀∈，都有20x x+ B ．x R ∃∈，使得20x x+C ．x R ∀∈，都有20x x +或0x = D ．x R ∃∈，都有20x x+或0x = 【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题P ⌝是：x R ∀∈，都有20x x+或0x =， 故选：C ．4．已知函数()3110sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()()211nx x x ++-展开式中4x 的系数为（ ） A ．120 B ．140C ．135D ．100【答案】C【解析】由函数的解析式可得：()21'10cos 2f x x x =+，函数()31106f x sinx x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则()010n f ='=，则二项式()()()2210391(1)1(1)1(1)n x x x x x x x x ++-=++-=-⋅-，()91x -的展开式的通项公式为19()r rr T C x +=⋅-，故分别令4,1r r ==,可得展开式中4x 的系数为()4199135C C --=.故选C .5．已知0a >，过(),0a 作33y x x =-的三条切线，三个切点横坐标成等差数列，则a =（ ）A ．2BC ．D【答案】B【解析】设切点一般形式为(),x y ，则2033y y x x a-'==--， 即32333x x x x a -=--，化简得：322330x ax a -+=，由题意知：此方程有3个不同解，设为123x x x 、、，则()()()()()323212312312231312323322x ax a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+=---=-+++++-⎣⎦，对应系数得：12312233112332032a x x x x x x x x x a x x x ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎩①②③， 把1322x x x +=代入①得：223322a ax x =⇒=④， 由②得：()213310x x x x x ++=，故22213132202x x x x x x +=⇒=-代入③得：32322x a -=-⑤，由④：22a x =代入⑤得：33222a a a ⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭故选B ．6．已知ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是ABC 内部两点，且满足1(),4AD AB AC =+18AP AD BC =+，则ADP △的面积为（ ）.A ．4B ．3C ．2D 【答案】A【解析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系． 等边三角形△的边长为4，(2,B ∴--，(2,C -，由足11()[(244AD AB AC =+=-，(2-+，(0-=，，1(08AP AD BC =+=，1(48+，10)(2=，，ADP ∴∆的面积为111||||222S AD DP ==⨯ 故选：A ．7．数列 ，，，，1617815413211的前n 项和n S 为( )．A ．12211--+n n B ．n n 2122-+ C ．n n 2112-+ D ． 12212--+n n 【答案】C 【解析】试题分析：由数列前几项易得：n n n a 21)12(-=，]2112[815413211n n n S +-+++++++=）（）（）（）（n n n n n n n 211211)211(212)]12(1[)21814121()]12(531[2-+=--+-+=+++++-++++= .故选C.8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【解析】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22c aC b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a cD c ,(,0,)(,0,)222c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2cDM a b D A a c =-=，因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.因为2222102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．设,,a b c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221c a b=+ D ．121c b a =- E.212c a b=+【答案】AD【解析】由题意,设()4690a b ck k ==>=,则4log a k =,6log b k =,9log c k =,对于选项A,由2ab bc ac +=,可得2b b c a +=,因为6694log log log log k k b b c a k k +=+=log 9log 4log 6log 6k k k k +66log 9log 4=+6log 362==,故A 正确,B 错误;对于选项C,46log lo 21212log 4log 6log g 96k k k k k a b +=+=+=,9222log 9log 81log k k c k===,故221c a b≠+,即C 错误; 对于选项D,64log log 21212log 6log 4log 9k k k k k b a -=-=-=,911log 9log k c k==,故121c b a=-,即D 正确;对于选项E,4612log 42log 6log 14412log log k k k a b k k =+=++=,2log 81k c =,故212c a b ≠+,即E 错误. 故选:AD.10．若函数32())(20f x x ax a =-<在6,23()a a +上有最大值，则a 的取值可能为（） A ．6- B ．5-C ．4-D ．3-【答案】ABC【解析】令()2(3)f x x x a '=-，得10x =，2(0)3ax a =<， 当03a x <<时，()0f x '<；当3ax <或0x >时，()0f x '>， 则()f x 的增区间为(),,0,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，减区间为,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而()f x 在3a x =处取得极大值3()327a af =-，由3()27a f x =-，得22()(3)03a a x x -+=，解得3a x =或6a x =-，又()f x 在6,23()a a +上有最大值， 所以6336a a a +<-，即4a -， 故选ABC.11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称B ．函数()y f x =的图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．该图象对应的函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【答案】ABC【解析】由函数的图象可得2A =，由124312πππω⋅=-，0>ω,得2ω=． 再由最值得22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，又2πϕ<，得3πϕ=，得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选项D 正确.当6x π=-时，()0f x =，不是最值，故A 不成立；当512x π=-时，()2f x =-，不等于零，故B 不成立；3+22+2232k x k πππππ≤+≤得7++1212k x k ππππ≤≤，k Z ∈，故C 不成立； 故选：ABC ．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ = B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+,联立214y kx y x =+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．用17列货车将一批货物从A 市以/vkm h 的速度匀速行驶直达B 市.已知A 、B 两市间铁路线长400km ，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于220v km ⎛⎫⎪⎝⎭,则这批货物全部运到B 市最快需要________h ,此时货车的速度是________/km h . 【答案】8，100【解析】这批货物全部运到B 市需要时间为24001640016208400v v v v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+≥= 当40016400v v =，即100v =，速度越快，时间越短， 所以最快需要100/km h 的速度行驶，需要8小时， 故答案为8,100.14．椭圆2262x y +=1和双曲线23x -y 2＝1的公共焦点为F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是___________【答案】13【解析】设P 是双曲线右支上的一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ．则m n m n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩mn ＝3． |F 1F 2|＝4．∴cos ∠F 1PF 2222224()2424616122233m n m n mn mn mn +-+----====⨯． 故答案为13．15．有下列四个说法：①已知向量(1,2)a =， (2,)b m =-，若a 与b 的夹角为钝角，则1m <； ②先将函数sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12后，再将所得函数图象整体向左平移6π个单位，可得函数sin(2)3y x π=+的图象；③函数()sin lg f x x x =-有三个零点；④函数()sin f x x x =在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增. 其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号） 【答案】②③④【解析】点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．对①，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，即()()12201220m m ⎧⨯-+<⎪⎨⨯-⨯-≠⎪⎩，解得1m <且4m ≠-，所以①错误；对②，先将函数sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12后，得函数sin 2y x =的图象，再将图象整体向左平移6π个单位，可得函数sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象，②正确；对③，函数()sin lg f x x x =-的零点个数，即()0f x =解的个数，亦即函数sin y x =与lg y x =的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：由图可知，③正确；对④，()sin cos f x x x x '=+，当02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '≤，当02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π时，()0f x '≥，故函数()sin f x x x =在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，④正确． 故答案为：②③④． 16．若()33xf x x =+，11x =，()1n n x f x -=，分别计算2x ，3x ，4x ，进而猜想n x =______. 【答案】32n + 【解析】由题意可得：()()213133113422x f x f ⨯=====++， ()323333343453234x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+， ()433333353464235x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+，且3112=+， 据此可猜想：32n x n =+. 故答案为：32n +． 四、解答题：本小题共6小题，共70分。