第22章量子力学基础教案
大学物理：第 22 章 量子力学基础
海森堡（W. Heisenberg）在1927年发表了著名的位 置—动量不确定关系
x px ~ h
以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射 “中央亮纹”半角宽度满足：
x
如果把单缝看成对电 子坐标的测量仪器， x— 相当于对电子坐 标测量的不确定度。 单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性
的概率为：
对N 个粒子， N Ψ
给出粒子数的分布密度。
* ( r , t )dV r , t r , t dV * dN NΨ r , t Ψ r , t dV
对N 粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为
[例22-2] 用几率波说明弱电子流单缝衍射 让入射电子几乎一个一个地通过单缝 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 —— 说明电子具有 “粒子性”，但不满足经典的决定论。 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样——衍射图样来源于“单个电子” 所具有的波动性——统计规律。 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 德布洛意波（物质波）也称为概率波。
Einstein-Bohr 争论（1927-1955） 在1927年Solvey会议上： Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。
Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。
说明：
1. Ψ ( r , t ) 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。
有意义的是
2 * r , t r , t r , t r , t
2
对单个粒子， Ψ
第22章量子力学基础教案
第二十二章量子力学基础知识1924 年德布罗意提出物质波概念。
1926 年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927 年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
---------------------------------------------------------------------------教学要求：*了解实物粒子的波动性及实验 , 理解物质波的统计意义；*能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；*了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；*理解不确定关系并作简单的计算；*了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程*了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01) 、 22-03) 、22-05) 、22-07) 、22-09) 、 22-11) 、22-13) 、22-15) 、22-17) 、22-18) 、-------------------------------------------------------------------§22-1波粒二象性1924 年，法国德布罗意在博士论文中提出 : “整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
量子力学教案
§1.1 经典物理学的困难宏观物理的机械运动：牛顿力学电磁现象：麦克斯韦方程光现象：光的波动理论热现象热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。
19世纪末20世纪初：“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。
”：（1）“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利－金斯公式，在高频部分趋无穷。
（2）“以太漂移”，迈克尔逊－莫雷实验表明，不存在以太。
历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。
预示物理学正面临新的挑战。
黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热光的波粒二象性玻尔原子结构理论（半经典）微观粒子的波粒二象性量子力学一．黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。
热辐射：任何物体都有热辐射。
当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设→维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。
光电效应的规律：（1）存在临界频率；（2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。
光强越大，光电子数目越多。
(３)时，光一照上，几乎立刻（）观测到光电子。
这些现象无法用经典理论解释。
三．原子的线状光谱及原子的稳定性氢原子谱线频率的巴耳末公式： ,叫波数。
原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。
§1.2 早期的量子论一．普朗克的能量子假设1．普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。
h叫普朗克常数焦尔.秒。
2．普朗克的能量子假设对一定频率的电磁波，物体只能以为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量叫一能量子。
量子力学基础教案
量子力学基础教案
量子力学基础教案
一、教学目标
1.掌握量子力学的基本概念和原理，理解量子力学的实验基础和基本假设。
2.掌握量子力学中的基本运算和符号表示，了解量子力学中的基本概念和术
语。
3.理解量子力学中的基本问题和方法，了解量子力学在物理、化学、生物等
领域的应用。
二、教学内容
1.量子力学的历史背景和基本概念。
2.量子力学的基本原理和假设。
3.量子力学中的基本运算和符号表示。
4.量子力学的基本问题和解决方法。
5.量子力学的应用领域和实例。
三、教学步骤
1.导入新课，介绍量子力学的历史背景和基本概念。
2.讲解量子力学的基本原理和假设，通过实例帮助学生理解。
3.讲解量子力学中的基本运算和符号表示，让学生掌握基本操作方法。
4.讲解量子力学的基本问题和解决方法，让学生了解量子力学的应用领域和
实例。
5.课堂练习和讨论，让学生加深对量子力学的理解。
6.总结本节课内容，布置课后作业。
四、教学评价
1.通过课堂表现和作业评价学生的学习效果。
2.通过小组讨论和报告评价学生的合作能力和表达能力。
3.通过定期测验和期末考试评价学生的学习成果。
第22章量子力学基础
实物粒子的波动性（1）光的波粒二象性光的干涉和衍射现象表明了光具有波动性，光电效应和康普顿散射表明了光具有粒子性。
频率为ν、波长为λ的光波对应的光子的能量为h εν=，动量为hp λ=，光子的质量为h m c c εν==22。
（2）德布罗意物质波假设法国物理学家德布罗意从对称思想出发，大胆地设想：不仅光具有粒子和波动两种性质，而且实物粒子也具有这两种性质。
并且假设描述粒子性质的能量E 和动量p 与描述波动性质的频率和波长λ之间的关系与光子一样，具有E mc h ν==2， p m λ=hv =式中m 、v 分别是实物粒子的动质量和速度，上两式都称为德布罗意公式，和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，其波长称为德布罗意波长。
（3）实物粒子的波粒二象性在经典力学中，所谓“粒子”是指该客体既具有一定的质量和电荷等属性(即物质的“颗粒性”或“原子性”)，又具有一定的位置和一条确切的运动轨迹(即客体在每一时刻有一定的位置和速度或动量)；而所谓“波动”是指某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相干叠加性的现象。
显然，在经典概念下，粒子性和波动性是很难统一到一个客体上去的，经典物理中没有波粒二象性。
然而，大量实验表明，不但是电磁波，就是象电子、中子、质子和原子这样的物质粒子，都具有粒子性和波动性这两个方面的性质（衍射图样可证实波动性）。
1． 波函数及其统计解释（1）波函数 1925年，薛定锷提出了描述物质波的波函数。
能量为E 、动量为p 的自由粒子沿x 方向运动时，对应的物质波是单色平面波，波函数为：()()ψ,i Et px x t e ψ--=0 (22-1)如果粒子做三维自由运动，则波函数可表示为：ψ(r ,t)= ψo exp[()i Et p r h π--⋅2] = ψ()exp(Et hi π2-) (22-2) （2）波函数的统计解释 1926年德国物理学家玻恩提出，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数并不象经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波)，从而赋予了量子概念下的粒子性和波动性以统一明确的含义。
【学习课件】第22章量子力学基础
动量)去描述微观粒子。
x
但波动性使微观粒子的坐 标和动量(或时间和能量) 不能 同时取确定值。
b ph
y
o
如：电子经过缝时
位置不确定 xb
电子的单缝衍射实验
x 经过缝后 2021/7/9
方向动量也不确定
px psin
9
海森伯于 1927 年提出不确定原理 对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的
满足不确定性关系式：
xpx h
这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故。
2021/7/9
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22-2 波函数
一、对物质波的理解----概率波的概念 怎样理解物质波（德布罗意波）?
观察一个一个电子依次入射双缝的衍射实验：
7个电子 100个电子
2021/7/9
3000
20000 70000
底片上出现一个 个的点子电子 具有粒子性。随 着电子增多，逐 渐形成衍射图样 来源于电子所 具有的波动性，
2 m 2 2 2(x x)U (x)E (x) 一维定态薛定谔方程
2021/7/9
24
§22.6 薛定谔方程的应用
一、一维无限深势阱中的粒子 1. 粒子的波函数
2m 2 22xUE
粒子处在U的力场中作一维运动。
0 (0xa)
U
( x0及 xa)
粒子只能在宽为 a 的两个无 限高势壁间运动。
2021/7/9
21
一、寻找粒子满足的微分方程的思路：
1.一维自由粒子 由一维自由粒子的波函数
在非相对论情况下，有：
i2(Etpx)
(x,t) 0e h
t
i2
h
E
i
p2 2m
物理教学教案-量子力学
作业完成情况和质量
作业提交情况：学生是否按时提交作业 作业完成质量：作业的正确率、完整性等 作业难度评估：作业的难易程度是否合适 作业反馈情况：教师对学生作业的批改和反馈情况
期末考试和综合评价
期末考试：通过闭卷考试的形式，全面考察学生对量子力学知识点的 掌握情况。
综合评价：结合学生的平时表现、作业完成情况、课堂参与度等方面 进行综合评价，确保评价结果的客观性和全面性。
分析学生的学习 特点，采用适合 学生特点的教学 方法，提高教学 效果
关注学生的学习 进度，及时调整 教学进度和难度， 帮助学生更好地 掌握知识
注重学生的反馈， 及时改进教学方 法和手段，提高 教学质量
教学资源的优化和整合
教材选择：根据学生需求和教学目标，选择适合的教材和参考书籍。 实验设备：确保实验设备的准确性和可靠性，以及实验操作的可行性和安全性。 教学方法：采用多种教学方法，如讲解、演示、讨论等，以提高学生的学习兴趣和参与度。 信息技术：利用信息技术手段，如多媒体、网络等，丰富教学手段，提高教学效果。
案例总结：对案 例进行总结，提 炼出重要的知识 点和结论，加深 学生对课程内容 的理解。
课堂互动和小组讨论
小组讨论：分组讨论相关主题， 培养学生的合作精神和沟通能 力
互动游戏：通过互动游戏增强 学生对知识点的理解和记忆
课堂互动：鼓励学生提问和 参与讨论，促进师生互动
案例分析：结合实际案例进行 分析，帮助学生更好地理解抽
教学方法和手段的改进
增加互动环节，提高学生的参与度 采用多种教学手段，如视频、动画等，帮助学生更好地理解抽象概念 针对不同层次的学生，设计不同的教学方法和难度 加强实践环节，让学生通过实验加深对理论知识的理解
学生需求和学习特点的分析
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学简明教程》授课教案一、第1章：量子力学导论1.1 课程简介介绍量子力学的发展历程及其在现代物理学中的重要性。
解释量子力学与经典力学的区别和联系。
1.2 教学目标让学生了解量子力学的历史背景和发展。
让学生理解量子力学的基本概念和原理。
1.3 教学内容量子力学的历史背景和发展。
量子力学的基本概念：波函数、薛定谔方程、测量问题等。
1.4 教学方法采用讲授法，辅以案例分析、讨论等方式，帮助学生理解和掌握基本概念。
二、第2章：一维势阱与量子束缚态2.1 课程简介研究一维势阱中粒子的行为，探讨束缚态和散射态的性质。
2.2 教学目标让学生掌握一维势阱的基本性质和量子束缚态的解法。
让学生了解束缚态和散射态的区别。
2.3 教学内容一维势阱的基本性质：能级、能态、束缚态和散射态。
量子束缚态的解法：数学表达式、图形表示、解的存在性等。
2.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解一维势阱的性质。
通过实例分析，让学生掌握量子束缚态的解法。
三、第3章：势垒穿透与量子隧道效应3.1 课程简介研究在势垒作用下，粒子穿过势垒的概率问题，探讨量子隧道效应的性质。
3.2 教学目标让学生了解势垒穿透的条件和量子隧道效应的物理意义。
让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
3.3 教学内容势垒穿透的条件：入射粒子的能量、势垒的宽度、形状等。
量子隧道效应的物理意义和数学表达式。
量子隧道效应的应用：纳米技术、扫描隧道显微镜等。
3.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解势垒穿透和量子隧道效应。
通过实例分析，让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
四、第4章：哈密顿算符与量子平均值4.1 课程简介引入哈密顿算符的概念，研究量子系统的能量本征值和本征态。
探讨量子平均值的计算方法及其在实际问题中的应用。
4.2 教学目标让学生理解哈密顿算符的概念及其物理意义。
让学生掌握量子平均值的计算方法及其应用。
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第二十二章量子力学基础知识1924年德布罗意提出物质波概念。
1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程，玻恩对波函数统计解释。
1927年海森堡提出著名的不确定关系。
海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学，形成了完整的量子力学理论。
---------------------------------------------------------------------------教学要求：* 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义；* 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长；* 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，会简单计算粒子的概率密度及归一化常数；* 理解不确定关系并作简单的计算；* 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程* 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤，学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。
教学内容：§22-1 波粒二象性§22-2 波函数§22-3 不确定关系§22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程）§22-5 一维无限深势阱中的粒子§22-6 势垒隧道效应 *§22-7 谐振子 *教学重点：实物粒子的波粒二象性及其统计意义；概率密度和发现粒子的概率计算；实物粒子波的统计意义—概率波;波函数的物理意义及不确定关系。
作业22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、22-17)、22-18)、-------------------------------------------------------------------§22-1 波粒二象性1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上，是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多，而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长。
一 德布罗意假设一切实物粒子都具有波粒二象性（德布罗意按对称性及类比推论提出）。
* 物质波或德布罗意波：其波频率和波长分别为：⎭⎬⎫==p h h E //λν(22-1) 式中：E ——实物粒子的能量 P ——实物粒子的动量 ————德布罗意关系式讨论1）实物粒子波与光的波粒二象性[(21-4)、(21-6)式]完全一致，宏观物体质量大，物质波长极短，难以观测，微观粒子(如电子)，其质量小，物质波长可观测到。
2) (22-1) 式左边为描写“波”的物理量，右边为描写“粒子”的物理量。
3）经电势差U 加速后的电子(初速度忽略不计, 静质量e m )，将获得eU E k =动能，由相对论动量与能量关系：022*********)(E E E E E E E E p c k k k +=-+=-=可得电子动量为：222022121c eUm U e c E E E c p e k k +=+=由德布罗意关系式得波长：2222ceUm U e hc p h e +==λ(22-2)4）如果经电势差U 加速后电子的速率c v <<，可忽略相对论效应，直接由动量eU m E m p e k e 22==得到：nm 225.12U eU m h p h e ===λ (22-3)例22．1 计算电子经过 (1) V 100.16⨯=v ，(2) V 150=U 电压加速后的德布罗意波长。
解 (1) 电子经电场加速后的德布罗意波长可由(22-2)式计算：109785.01(225.12222U c eUm U e hce ⨯+=+=λ代入V 100.16⨯=U ，可得： nm 1071.84-⨯=λ（极短）（电子显微镜加速电子获得波长极短电子波，提高显微镜分辨率）(2) 加速电压为150V 时（忽略相对论效应），采用非相对论波长公式(22-3)得：nm 10.0225.1==Uλ 可知：由加速电压为150V 得动能eV 150=k E 电子的德布罗意波长与X 射线波长同数量级，因此观察电子衍射可采用与X 射线衍射相同方法，例如用晶体作天然光栅实现衍射。
例22.2 计算质量kg 01.0=m ，速率m/s 500=V 的子弹的德布罗意波长。
解： 根据(22-1)式得：m 1033.150001.010626.63434--⨯=⨯⨯===mV h p h λ可见：宏观物体的德布罗意波长小到实验上难以观测，仅表现出粒子性。
二 物质波的实验验证1、电子衍射实验（戴维逊和革末，1927年）热阴极K发出电子，过狭缝D成很细电子射线束，以掠射角φ投射镍单晶M上，集电器B收集反射电子，电流计G测电子流强度I。
保持掠射角φ不变，改变加速电压U大小测量出不同电流强度I，I~曲线如图所示。
绘制U实验表明：随加速电压U增加，当电压取某些特定值时，电流呈现峰值，显示规律性（与X射线在晶体上衍射规律极为相似）。
理论计算：按德布罗意波长公式：nm 225.1Up h ==λ （忽略相对论效应）及电子波λ， φ及晶格常数d 的布拉格公式：λφk d =sin 2 （ k = 1,2,3,……. ）有：U k d /225.1sin 2=φ得电流峰值处对应的电压为：φsin 2/225.1d k U ⨯=实验结果与理论预期值符合相当好 （实验还测量电子波长与德布罗意关系式计算一致）2、 电子衍射实验（汤姆逊，1927年，英国），高能电子束穿过多晶薄膜，照相底片上得到电子衍射环状图样。
3、电子的单缝、双缝和多缝衍射实验（约恩逊，1961年）图为电子双缝衍射实验明暗衍射条纹，直接表现电子的波动性。
* 对质子、中子及原子、分子等的有关实验：证实波动性，其波长也都和德布罗意关系相符合。
三、物质波的统计诠释——概率波粒子概念和波动概念代表仅有两种可能的不同的能量输送方式。
经典波动代表某物理量周期性变化，可产生干涉、衍射现象。
而粒子为颗粒性，其空间广延性却等于零，并在确定轨道上运行。
（性质如此迥异的两概念如何互相联系统一到同一个客体上？）1、概率波概念（波恩）（电子的双缝衍射实验说明这种波动性的意义）两种实验方法：1）射向双缝电子流强度很大，屏上出现衍射图样（图f）--------电子波动性；2）控制电子流，电子一个个发射到屏，一个个感光点（图a、b）----电子粒子性；实验发现：1）当到达屏电子数少，感光点分布无规则，随机性大。
但电子数目不断增多，落点位置分布逐渐显出一定规律性，数目越多，规律性明显，（图c~f）。
2）电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置，电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置。
2）在实验条件相同下，不管开始时电子落点分布多么不规则，最终大量电子落点形成衍射图样都一样。
（大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律）2、波恩统计观点解释：衍射明纹地方，到达电子多，电子在这些地方出现概率大；衍射暗纹地方，到达电子少，电子在这些地方出现概率小，衍射条纹明暗分布与到达该处电子数目成正比，实物粒子的波动性是一种统计行为，实物粒子波是概率波。
（波恩统计解释不仅对电子波适用，其它微观粒子波动性也如此）* 注意：1）物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动，而是指粒子在空间各处出现的概率分布服从波的规律。
2）物质波是概率波的统计解释，不意味必须有大量粒子存在时才具有波动性，容易误解为波动性是粒子间相互作用的结果。
3）单个电子具有波动性，电子自身与自身干涉形成衍射图样。
波动性是微观粒子自身具有的特性。
4）在量子力学的概念中实物粒子波与经典波有明显区别。
实物粒子波不代表描述粒子某一物理量在时空中周期性变化，5）粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现——概率波，保留波具有迭加性，不是经典波，是量子波。
6）实物粒子不是经典粒子，经典粒子在运动过程中有确定的轨道，实物粒子具有波动性，没有明确轨道概念，只是一颗量子粒子。
量子粒子与量子波是统一的。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------§22-2 波函数（实物粒子具有波动性，其运动状态由概率波描述）* 波函数：概率波的数学表达式。
波函数通常以ψ表示（一般是空间和时间的函数）：ψψ)t(r,（不同的粒子，在不同的作用条件下，波函数的具体形式不同）1、粒子一维自由运动的波函数：设：自由粒子沿x轴正方向运动，能量E和动量p恒定。
按照德布罗意关系：德布罗意波长p h =λ德布罗意频率h E =ν （保持不变）在波动理论中频率和波长恒定波为单色平面波（一无限长的波列），有：)(2cos λνπx t A y -=也可表示成复指数函数形式：)(2λνπx t i Ae y --=将波长和频率代入上式，并以ψ表示波函数，0ψ表示波函数振幅，可得：)(0)(20)(20xp Et i xp Et h i h xp t h E i e ee------===ηψψψψππ（在一般情况下，表示实物粒子运动的波函数用复函数形式）2、实物粒子波的强度：用波函数描述概率波是体现粒子在空间各处出现概率大小。
（以电子双缝衍射为例理解两理论解释间关系）（由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度） 可将实物粒子波的强度表示为：*2ψψψ⋅=（波函数模的平方，*ψ为波函数ψ的复共轭函数）3、 概率密度函数：考虑空间某点(x ，y ，z )附近的一个小体积元dV ，若粒子出现在dV 内的概率用ρd 表示，ρd 正比于该处粒子波的强度，即正比于波函数模的平方：dV d 2ψ∝ρ（如果将比例常数包含在波函数ψ中）则概率密度——粒子出现在单位体积中概率为：*2ψψψ⋅===dVd ρρ (22-4)—— 概率密度函数（波函数模平方等于波函数描述粒子在t 时刻出现在空间(x ，y ，z )处的概率密度） 注意：1）波函数意义：波函数在经典物理中没有相对应力学量，也不具可观察测量的直接物理意义， 波函数意义体现在波函数模的平方上，给出了粒子出现的概率密度，并以概率的形式提供有关粒子运动的全部信息，所以：波函数又称为概率幅，其平方等于概率密度。
2）波函数的标准化条件：波函数必须保证粒子在任一时刻任一空间范围内出现的概率具有唯一性，并且不应在某处发生突变和变得无限大， 这要求波函数满足单值，连续，有限的条件——波函数的标准化条件。
3）波函数的归一化条件：任一时刻粒子在整个空间出现的总概率应该等于1，12=⎰dV V ψ(22-5) —— 波函数的归一化条件------------------------------------------------------------------------------------------------------------例22．3 求沿x 轴运动的自由粒子的概率密度函数。