对称矩阵的相似矩阵
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线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化
1 −1 1/ 2 −1 P = 0 0 1/ 2 . 0 1 −1
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
相似矩阵
第三讲Ⅰ 授课题目：§5.3 相似矩阵§5.4 对称矩阵的相似矩阵 Ⅱ 教学目的与要求：1. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件.2. 会求实对称矩阵的相似对角形. Ⅲ 教学重点与难点：重点：相似矩阵的性质及矩阵对角化的条件. 难点：求实对称矩阵的相似对角矩阵. Ⅳ 讲授内容：一、相似矩阵的定义及性质定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A A ~.（2）对称性：若B A ~，则A B ~.（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则（1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.性质2 若1-=PBPA ，则A 的多项式1)()(-=PB P A φφ.推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则1211)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=P P PP A n λφλφλφφφ.注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身； （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。
定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。
推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。
5.4 对称矩阵的相似矩阵
由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
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三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
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3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
实对称矩阵正交相似于对角矩阵的证明
为了证明实对称矩阵正交相似于对角矩阵，我们可以按照以下步骤进行推导：
第一步，我们首先需要了解实对称矩阵的定义，即实对称矩阵A 的所有特征值都是实数，并且对于任意的实数x，都有Ax=xA。
第二步，我们设实对称矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,...,λn，并且设P为可逆矩阵，使得P-1AP为对角矩阵。
第三步，我们设P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，根据对角矩阵的定义，我们可以得到方程组P-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)，即
AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第四步，我们根据矩阵乘法的性质，将AP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)两边同时转置，得到APT=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)。
第五步，由于实对称矩阵A的所有特征值都是实数，因此我们可以将diag(λ1,λ2,...,λn)替换为diag(λ1,λ2,...,λn)T，得到
ATP=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)T，即ATPAP=diag(λ1,λ2,...,λn)。
第六步，我们根据对角矩阵的定义，可以发现ATPAP实际上是一个对角矩阵，因此我们证明了实对称矩阵A正交相似于对角矩阵
diag(λ1,λ2,...,λn)。
综上所述，我们证明了实对称矩阵正交相似于对角矩阵。
相似矩阵的定义及性质
P1A3P P1(3A)P P1EP
(P1AP)(P1AP)(P1AP) 3P1AP E
1
3 1
1
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
3
1
1
1
3
19
所以矩阵
B
能与对角阵相似。 23
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P1AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
4
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似） A 有 n个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立)
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
第五章 相似矩阵(2)
i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征 向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍 是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1
,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。 证明：采用数学归纳法进行证明 （1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设 存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }
第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵
2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1
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线性代数（工）同济大学第五版
推论1. 设A是一个n阶实对称矩阵，则对于A的任一特征
值i一定有A(i ) G(i )，即i的代数重数等于几何重数。
推论2. 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的 r重根, 则 (A E)x 0的解空间的维数是r，从而
R(A E) n r.
推论3. 设 n阶对称矩阵A的所有不相同的特征值为
注：由于对称矩阵A的特征值 为实数,所以齐次 i
线性方程组
(A E)x 0 i
是实系数方程组,由向量可以取实向量.
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定理2. 设1,2是实对称矩阵A的两个不同特征值，1,2 分别是关于特征值1,2的特征向量，则1, 2彼此正交。
由归纳假设，存在k阶正交矩阵Q1使得Q11BQ1 1，其中 1是一个k阶的对角矩阵，于是
bT 0T 1 0T 0T 1 0T
0
B
0
B
0
Q11
0
1
0
Q1
,
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设是A的任一特征值，v是关于特征值的一个单位特征
向量，将其扩充为¡ k1的一个正交规范基：v, w1,, wk ,
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令Q (v, w1,, wk )，则Q是一个正交矩阵，且
b01 b02 L
0
b11
b12
L
b0k
b1k
AQ
(
Av,
Aw1
,,
Awk
)
(v,
w1
,,
wk
)
0 M
b21 M
b22 M
L O
bM2k
bT
@Q
,
0 B
其中 bT (b01, b02 ,K , b0k ),
0 bk1 bk 2 L
b11 b12 L
B
b21
b22
L
M M O
bkk
b1k
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称 u [u,u] 为复向量u的范数。 注：如果u是实向量，则 u u12 u22 L un2，与第 一节定义的欧氏范数相同。 若A是n阶实对称矩阵，则A† AT A，因此
[Au, v] ( Au)†v (u† A†)v) u†( Av) [u, Av].
b2k
,
M
bk1 bk 2 L bkk
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注意到
A
AE
A(QQT ) ( AQ)QT
Q
0
另一方面，A
AT
Q
b
0T BT
QT
,
bT
QT
,
B
因此必有 b 0, BT B，即B是一个k阶对称矩阵，
1, 2 ,, k，相应的特征子空间为V1 , V2 ,,Vk，则
n =V1 V2 Vk , 且上述直和为正交直和。
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如果我们能够求得每一个特征子空间Vi的一个正交 规范基，则可以得到 n =V1 V2 Vk的一个正 交规范基，在这个基下线性变换
于是
A
Q
0
bT
QT
1 Q
B
0
0T
Q11
0
0T 1
1
0
0T
QT
,
Q1
令
1
P
Q
0
0T
Q11
,
0
0T 1
，则
PPT
1 Q
0
0T 1
Q11
0
0T
QT
QQT
E,
Q1
因此P是正交矩阵，且 A PP1 P1AP .
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[u, v] u1v1 u2v2 L unvn u†v, 性质： [u v, w] [u, w] [v, w], [u, v] [v,u],
[u, v] [u, v],
[u,v] [u, v].
特别地， [u,u] u1 2 u2 2 L un 2 ,
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一、对称矩阵的性质
共轭转置的概念：设A是一个m n阶复矩阵，
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M O
am1
am2
L
a1n
a2n
,
M
amn
a11
定义
A†
a12
M
a1n
a21 L a22 L MO a2n L
am1
am2
,
M
amn
即 A† A T ，称为A的共轭转置矩阵。
证明： (1 2 )[1,2 ] 1[1,2 ] 2[1,2 ]
[11,2 ] [1, 22 ] (Q 1, 2都是实数)
[ A1,2 ] [1, A2 ]
Q1,1,2是2是相A应的的特特征征值向，量
[A1,2] [A1,2] 0,
Q A是实对称矩阵
由于1 2
0，故必有
[1
,
2
]
0，即1与
正交。
2
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定理3. 设A是一个n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩 阵P使得P1AP ，其中是一个对角矩阵，其对角 元素就是A的特征值。 证明：我们对矩阵A的阶数n用数学归纳法。 当n 1时命题显然成立； 设若当n k时命题成立，往证当n k 1时命题亦成立， 从而完成归纳证明。
如果A是一个实矩阵，则A† AT ;
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对于复矩阵Amn , Bmn , Cn p及复数有 ( A B)† A† B†, ( AC)† C† A†, ( A)† A†.
对于n维的复向量u (u1,u2 ,,un )T , v (v1, v2,, vn )T ， 其内积为
定理1. 实对称矩阵A的特征值都是实数。
证明：设是A的任一特征值， 是相应的单位特征向量，
则
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[, ] [, ] [ A, ] [, A] [,]
[,] , 因此是实数。