任一个n阶实对称矩阵与对角阵相似证明
实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
相似及相似对角化
p11 p12 L p21 p22 L
p1r1 p2r2
r1 个 r2 个
线性无关 线性无关
M M M MM M M
M
{m
r{ m 重
1pm41
4p4m22
L 4
4pm43rm
r{ m 个
线性无关 1 42 43
互异 和为n
共n个
共n个 合之仍线性无关
称为代数维数； 的维数称为的几何重数。
1、相似对角化条件
1、相似对角化条件
问题：方阵A 与对角阵相似的条件？
定义：
1
若n阶方阵A :
2
O
diag(1, 2,L
, n )，
n
则称A可对角化。
对角化条件：
n 阶方阵 A 与对角阵相似 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
1、相似对角化条件
说明 (1)若 A～Λ diag(1, 2,L , n ),则A与Λ的特征值
2、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理： 设实对称阵A的两个特征值1, 2互异，p1, p2
是对应特征向量，则 p1 p2. 即：实对称阵的不同特征值所对应的特征向量互相正交.
证毕
3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理：设A是n阶实对称阵,1, 2,L , n是A的特征值
则有正交矩阵 Q, 使
1
O
1
r1个
A ~ 对角阵Λ
2 O
2
r2个
O
m
O
m rm个
注
1、相似对角化条件
推论3 如果 n 阶方阵 A 可对角化，则 rank(A)=
A的非零特征值的个数。 证明 若 A 可以对角化，设与其相似的对角阵为 即存在可逆矩阵P，使得 P1AP 。
n阶矩阵相似对角矩阵的充要条件的证明
矩阵相似对角化是线性代数中重要的概念，它在矩阵的理论和应用中扮演着重要的角色。
在矩阵相似对角化的过程中，我们常常会遇到矩阵相似对角化的充要条件问题，即何时一个n阶矩阵能够相似对角化成对角矩阵。
本文将对这一问题进行详细的证明，帮助读者更好地理解矩阵相似对角化的条件和过程。
一、n阶矩阵相似对角化的定义n阶矩阵A经过相似对角化可以转化为对角矩阵D的形式，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵。
这个过程称为矩阵的相似对角化。
那么，n阶矩阵相似对角化的充要条件是什么呢？二、矩阵相似对角化的充要条件1. 必要条件若矩阵A能相似对角化成对角矩阵D，则A和D有相同的特征值。
假设A经过相似对角化得到对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，那么A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化成对角矩阵D。
特征向量组成的矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
三、n阶矩阵相似对角化的充要条件的证明1. 必要条件的证明假设A能相似对角化成对角矩阵D，即存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D。
由特征值的定义可知，对角矩阵D的对角元就是A的特征值。
所以A和D具有相同的特征值。
2. 充分条件的证明假设n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们知道对角化矩阵P的逆矩阵P^-1是A的特征向量，对角矩阵D的对角元是A的特征值。
那么矩阵P的逆矩阵存在，即P是可逆矩阵。
所以A可以相似对角化成对角矩阵D。
四、总结通过以上的证明，我们可以得出n阶矩阵相似对角化的充要条件是：A和D有相同的特征值，并且n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。
这一定理为矩阵相似对角化提供了明确的条件，对于理解和应用矩阵相似对角化具有重要的意义。
五、矩阵相似对角化的应用矩阵相似对角化在科学和工程领域有着广泛的应用，特别是在求解线性代数方程、矩阵的对角化、微分方程的求解等方面。
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
高等数学 5-4实对称矩阵的相似对角形
1
1
2 2
0
1
3
2 2
注：P仅是可逆矩阵，而不是正交矩阵.
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的
特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，
且对角矩阵对角元素即为特征值．
两式相减，得 ( )xx 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xx xi xi xi 2 0, ( ) 0,
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
由定理5.4.1可推出：
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次
线性方程组
(A i E )x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
恰有r个线性无关的特征向量.
定理5.4.1 设A为n阶实对称矩阵,则有正交矩阵P, 使P1 AP ,其中是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵. 证明 设A的的互不相等的特征值为1, 2 , , s ,
它们的重数依次为r1, r2 , , rs (r1 r2 rs n).
以它们为列向量构成正交矩阵P，则 P1AP P1P
其中对角矩阵的对角元素含 r1 个1,
是A的n个特征值.
二、实对称矩阵对角化的方法
, rs 个s , 恰
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1.求A的特征值
2.由( A i E)x 0,求出A的特征向量;
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).
6-3实对称矩阵的相似对角化
0 3
0 1
2 4 ,
2
0 1 3 得特征值 1 2, 2 3 4.
0 对 1 2,由 A 2 E x 0, 得基础解系 1 1 1 对 2 3 4,由 A 4 E x 0, 得基础解系 1 0 与 恰好正交 , 3 2 0 , 3 1 . 2 0 1 所以 1 , 2 , 3两两正交.
于是得正交阵
0 P 1 , 2 , 3 1 2 1 2 2 0 1 则 P AP 0 4 0 0
0 0 1 2 0 1 2 0 0 . 4 1
§6.3
实对称矩阵的 相似对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的.
设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是 对应的特征向量, 若1 2 , 则 p1与 p2正交 .
推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征 向量是线性无关的.
对 2 1,由 A E x 0, 得
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得特征向量 2 1 . -2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
2 2 k 1 满足
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
1 , 2 k 1 , 1
再令 3 3 k1 1 k2 2 及 1 , 3 2 , 3 0 2 , 3 1 , 3 k2 可求出 k1 2 , 2 1 , 1 一般地,由 1 , 2 , , s 求出 1， 2 , , s 的公式为
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定理3 对于任一个n 阶实对称矩阵A , 都存在正交矩阵
Q ,
使得
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛='=-n AQ Q AQ Q λλλ
2
11， 其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。
证 对n 用数学归纳法。
当n=1, 结论显然成立。
假设当1-=k n 时结论成立, 下面证明对k 阶实对称矩阵A 也成立。
设1λ是A 的一个特征值,1α是属于1λ的实单位特征向量,则:
111αλα=A
,
根据第三章Schmit 正交化过程可知,必能找到1-k 个k 维实单位向量k ααα,,,32 (未必是特征向量), 使k ααα,,,21 为两两正交的单位向量组, 令1Q =(k ααα,,,21 ), 则1Q 为正交矩阵, 且
),,,(21211111
1k k A AQ Q AQ Q αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='=-=),,,(2121
k k A A A αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'''
=⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛'''''''''k k k k k k A A A A A A A A A αααααααααααααααααα
21
22212
12111
因为
⎩⎨⎧==='='='k
i i A i i i ,,3,20
1)(1
11111 λ
ααλαλααα
0)(1
1111='='=''='j j j j A A A ααλαααααα (k j ,,3,2 =)
记
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''''=k k k k A A A A B αααααααα 22221 所以,
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛='=-111111
10
0B AQ Q AQ Q λ 因为1B 是k-1阶实对称矩阵, 所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵S , 使得
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛='=-k S B S S B S λλ 2111。
令
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=S Q 0012 显然,
2Q 为正交矩阵,
且
211
2
211
1
2
211
11
20000)(Q B Q Q B Q Q AQ Q Q ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---λλ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'S B S 0010000111
λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'S B S 11
0λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛k λλλ
2
1。
令21Q Q Q =, 因为21,Q Q 为正交矩阵, 故Q 为正交矩阵, 且
),,,(211k diag AQ Q AQ Q λλλ ='=-
由归纳法, 定理成立。
返课件xdch5-3.ppt - 8。